2020年高考數(shù)學(xué)靜悟材料理

1、2020 年高考數(shù)學(xué)靜悟材料 三輪復(fù)習(xí)靜悟材料教師贈言 ： 同學(xué)們， 高考臨近， 我們應(yīng)該認(rèn)真的去做好哪些準(zhǔn)備工作呢？首先要掌握高中數(shù)學(xué)中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點，還應(yīng)了解一些常用結(jié)論，最后還要通過多次仿真高考模擬訓(xùn)練，掌握一些的應(yīng)試技巧。因此我們在教學(xué)中注意積累所涉及到的概念、公式、常見題型、常用方法和解題規(guī)律進行了總結(jié)，并按章節(jié)進行了系統(tǒng)的整理，現(xiàn)在印發(fā)給你們，希望同學(xué)們作為復(fù)習(xí)中的重要材料，認(rèn)真閱讀和使用。它能助你在高考中乘風(fēng)破浪，實現(xiàn)自已的理想報負(fù)。集合簡易邏輯與函數(shù)一 考試內(nèi)容及要求1. 集合、簡易邏輯（ 1）集合的含義與表示 了解集合的

2、含義，元素與集合的“屬于”關(guān)系 能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題（ 2）集合間的基本關(guān)系 理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集 在具體情境中，了解全集與空集的含義 3）集合的基本運算 理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集 理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集能使用韋恩（Venn）圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算.（ 3）命題及其關(guān)系理解命題的概念.了解“若p ,則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.（ 4）簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或

3、”、 “且” 、 “非”的含義（ 5）全稱量詞與存在量詞 理解全稱量詞與存在量詞的意義 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定2. 函數(shù)（ 1）函數(shù) 了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念 在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù) 了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義 會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)（ 2）指數(shù)函數(shù) 了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景 理解有理指數(shù)哥的含義，了解實數(shù)指數(shù)哥的意義，掌握哥的運算. 理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握

4、指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.(3)對數(shù)函數(shù) 理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解 對數(shù)在簡化運算中的作用.理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.了解指數(shù)函數(shù)y ax與對數(shù)函數(shù)y log a x (a 0且a 1)互為反函數(shù).(4)募函數(shù)了解哥函數(shù)的概念.1人 一，231萬，一 一.、，、，、， 一 結(jié)合函數(shù) y x, y x , y x,y -, y x的圖象，了解它們的變化情況.x(5)函數(shù)與方程結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，

5、判斷一元二次方程根的存在性及根的個 數(shù). 根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.(6)函數(shù)模型及其應(yīng)用了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及備函數(shù)的增長特征；知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函 數(shù)類型增長的含義.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型) 的廣泛應(yīng)用.二、重要知識、技能技巧1 .函數(shù)是一種特殊的映射：f : A- B (A、B為非空數(shù)集)，#自然定義域：給解析式，常涉及分母，開方，指數(shù)嘉，對數(shù)或三角函數(shù)，復(fù)合函數(shù)定義域.限定定義域，:應(yīng)用條件的限制或有附 加條件的制約解決函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀點2 .函數(shù)值域、最值

6、的常用解法觀察法；配方法；反解法；如 y=c-d或y sin'xjax b 2 cos x法；適用于經(jīng)過去分母、平方、換元等變換后得到關(guān)于y的一元二次方程的一類函數(shù)；基本不等式法；單調(diào)函數(shù)法；數(shù)形結(jié)合法；換元法；導(dǎo)數(shù)法3 .函數(shù)奇偶性判斷f( x) f(x) 0f (x) f ( x)'(_)1, f(x) 0f(x)定義域關(guān)于原點對稱解析式一f(x) f( x)或f( x)圖象(關(guān)于 y軸或坐標(biāo)原點對稱)性質(zhì)：如果 f(x)是奇函數(shù)且在 x=0有定義，則f(0)=0 ；常數(shù)函數(shù)f(x)=0 定義域(1,1)既是奇 函數(shù)也是偶函數(shù)；在公共定義域上，兩個奇、偶函數(shù)的運算性質(zhì).(略

7、)4 .函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式如：“x°一fx">0(xi x2)f(x i) - f(x 2)>0xi x2判斷：定義法；導(dǎo)數(shù)法；結(jié)論法(慎用)奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性；互為反函數(shù)的兩函數(shù)單調(diào)性；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)常見函數(shù)的單調(diào)性(如 y=x+ w ,a C R).x5 .函數(shù)周期性f(x)=f(x+a)對定義域中任意x總成立，則T=a.如果一個函數(shù)是周期函數(shù)，則其周期有無數(shù)個. f(x+a尸f(xa),貝 U T=2a. f(x+a尸-,貝 U T=2a.f(x)f(x)圖象關(guān)于 x=a及x=b對稱，awb,則T=2(b a).f(x)圖象關(guān)

8、于 x=a及點(b,c)(b w a)對稱，則 T=4(b a).6 .函數(shù)圖象的對稱性若f(a+x)=f(a - x)或f(x)=f(2a- x),則f(x)圖象關(guān)于 x=a對稱，特別地f(x)=f( x)則關(guān)于x=0對稱；a b若f(a+x)+f(b x)=2c ,則f(x)圖象關(guān)于(上了二c)中心對稱，特別地 f(x)+f( x)=0 ,則關(guān)于(0,0)對稱；a b .一右 f(a+x)=f(b - x),則 y=f(x)關(guān)于 x=對稱；2y=f(x)與 y=f(2a x)關(guān)于 x=a 對稱；y=f(x)與丫=f(x)+2b 關(guān)于 y=b 對稱；y=f(x)與丫=f(2ax)+2b ,關(guān)

9、于(a,b)對稱. b a ,一 y=f(a+x) 與 y=f(b x),關(guān)于 x=對稱.7 .要熟練掌握和二次函數(shù)有關(guān)的方程不等式等問題，并能結(jié)合二次函數(shù)的圖象進行分類討論；結(jié)合圖象探索綜合題的解題切入點。抽象函數(shù)未給出函數(shù)解析式，但給出函數(shù)的一些性質(zhì)來探討它的其他性質(zhì)，這樣的題目常以具 體的函數(shù)為背景，處理時要用廣義的定義、性質(zhì)、定理去處理，不能用具體函數(shù)去論證8 .指數(shù)對數(shù)函數(shù)對數(shù)恒等式a loga x=x (a>0 且awl,x>0).對數(shù)運算性質(zhì)(M>Q N>0, p C Q) log a(MN)=log aM+logaN; log a M =log aM l

10、og aN; log aNp=plog aN. Ny=log ax 與 y=log 1x； y=a x與 y=( )x; y=a± y=bx (a>b) aay=log ax與y=log bx圖象間關(guān)系：(略)9 .關(guān)于募函數(shù)：1) 2) 3) 10 .邏輯聯(lián)結(jié)詞，四種命題且、或、否可理解為與交、并、補對應(yīng) 非p即 p是對p的否定，而 p的否命題，則是否定條件，否定結(jié)論 例：p：如果 x=1 ,那么 x21=0;貝U p:如果 x=1 ,那么x21W0.而命題p的否命題是：如果 xw1,那么x21W0.原命題和它的逆否命題、逆命題與否命題都互為逆否命題，互為逆否的兩個命題真假性

11、一致，因此一個命題的真假性難以判斷或一個命題難以證明時，可以判斷或證明它的逆否命題11 .充要條件充分條件，必要條件，充要條件的等價敘述，如，p是q的充分條件若p,則q p q q的一個充分條件是p.關(guān)于充要條件的幾個結(jié)論：“定義域關(guān)于原點對稱”是“函數(shù)為奇或偶函數(shù)”的必要不充分條件在 ABC中，A>B a>b.“ | a |=| b| "是“ a b ”的必要不充分條件“ a n既是等差，又是等比數(shù)列”是“ a n是常數(shù)數(shù)列”的充分不必要條件“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0”是“該方程表示圓方程”的必要不充分條件f ' (x)=0是x為極值點的必要不充分條件

12、證明充要條件的命題要證明兩個方面，首先必須找準(zhǔn)一個命題的條件和結(jié)論.12 .反證法反證法就是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，從這個假定出發(fā)，經(jīng)過推理證出其矛盾，然后推翻假設(shè)肯定原 來命題正確。推出矛盾常見以下幾種：與公理、定理、定義矛盾；與熟知的事實矛盾；與已知矛盾；與不同方向推出的其他結(jié)論矛盾。以下情形適宜用反證法證明：難以甚至無法由已知條件直接證明結(jié)論的；“至多”、“至少”型問題；唯一性的證明；問題的結(jié)論本身以否定形式給出的；要證命題的逆命題是正確的。注意若命題結(jié)論的反面情況有多種，則必須將每一種反面情況都駁倒。13 .解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟為：審題：審題是解題的基礎(chǔ)，它包括閱讀、理解、翻譯、挖掘

13、等，通過閱讀，理解問題的類型、 內(nèi)涵、實質(zhì)，以及應(yīng)建立的數(shù)學(xué)模型；建模：在細(xì)心閱讀，深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進數(shù)學(xué)符號，將題目中的非數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成數(shù) 學(xué)語言，然后，根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系一一建立函數(shù)模型，注意字母為取值范圍應(yīng)符合實際 事實。解模：通過函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的運用，進行推理、運算，使問題得到解決；還原評價：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，對于理論的推導(dǎo)結(jié)果，要代入原問題中進行檢驗、 評價，判斷是否符合實際情況。分析、解決應(yīng)用問題的思維過程：(檢驗、評價)三.易錯點提示多變量問題注意主元與輔助元的轉(zhuǎn)換如p C ( 1,4)時，不等式px+1>2x p恒成立，可看成關(guān)于 p的函數(shù)g(p)=

14、(x+1)p+1 2x>0,在(1,4)441上恒成立g(4) 0，(等號不同時取)g(4) 0.單調(diào)函數(shù)要與區(qū)間對應(yīng).關(guān)于范圍的結(jié)論的書寫注意端點的“開閉”bx c ,(4) y=的中心(a,b),漸近線 x=a,y=b ,單倜區(qū)間(00 ,a),(a,+00) (ab+c w 0)x a圖象信息題注意觀察：對稱性、特殊點、升降情況、圖象位置、變化率、最高、最低點等如：y= axx_b 圖象則 a>c>b.x2cy=ax 3+bx2+cx+d貝U a>0,b>0,c<0.復(fù)合函數(shù)要注意定義域的作用2121如求y=log 2(x 3x+2)的單倜區(qū)間，已知

15、f(x+ )=x +,求f(x)均須考慮te義域.x x解決映射的有關(guān)問題，注意分類討論 如 M=x,y,z , N=1,0, 1, f： Mr> Nit足 f(x) f(y)=f(z)的映射個數(shù) .注意代表元素的不同對集合意義的影響。如y|y=x 2、x|y=x 2、(x,y)|y=x2就表示完全不同的三個集合，它們分別表示0,+ 8),r兩個數(shù)集及拋物線y=x2上的點集。避免如下錯誤：yy=x 2n y|y=2 x=(2,2)、(4,4)。用列舉法表示集合時，元素既不能遺漏，又不能違反互異性原則，如方程(x 1)2 (x+2)=0的解集表示為1,1, 2是錯誤的，作為集合只能表示為1

16、, -2.另外注意(1,2),1,2,(1,2) 的區(qū)別.(10)一般來說圖象直觀不能代替代數(shù)論證典型錯誤分析與糾錯：例題1、已知A=x| m 1 x 2m 1 , B=x|2 x 5 ，若A B,求實數(shù)m的取值范圍.【錯解】A B 2 m 1 ,解得：3 m 32m 1 5【分析】忽略A=的情況.【正解】(1) Aw時，A B 2 m 解得：3 m 3；2m 1 5(2) A=時，m 1 2m 1,得 m 2. 綜上所述，m的取值范圍是(，3四、典題訓(xùn)練：一、選擇題：每小題給出的四個選項中，僅有一項是正確的。1 .設(shè)集合 I x|x| 3,x Z, A 1,2, B 2, 1,2,則 AU

17、(Ci B)A. 1B. 1 , 2C. 2 D .0,1, 22x2 .已知命題p：函數(shù)y log 0.5 (x 2x a)的值域為R,命題q：函數(shù)y (5 2a)是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù) a的取值范圍是()A. a 1 B , 1<a<2C . a<2 D . a 1或 a 213 .若函數(shù)y f(x)的定義域為 一,2，則f (log 2 x)的定義域為；24.已知點P(x, y)在圓x2y2 1上，求 y及y 2x的取值范圍 x 25.若定義在R上的偶函數(shù)1一一f(x)在(，0)上是減函數(shù)，且f(§)=2,則不等式f(logx) 2

18、的解集為a,b兩數(shù)中的最小值。若函數(shù)/|jJ/工+f|的圖像關(guān)于直線稱，則t的值為()A. -2 B . 2 C-17 .函數(shù)y ln的大致圖象為yxA.w六六卡B.C.D.8.設(shè)f x是定義域為R的函數(shù)，且fx ,又 f 22 & ,則 f 2006 =9.方程2x 15的解所在區(qū)間是A. (0, 1)10.(2020 江蘇)已知函數(shù)f(x)(2,2 x1,3)1,xxD.(3, 4)0,則滿足不等式0f (1 x2)f(2x)的x的范圍是11.設(shè)函數(shù)f (x)logx(a 0且 a。，右 f(x1 x2 x3x 2008 ) 50,則f(x2)A.12.已知函數(shù)-2-2f(x2)設(shè)

19、3)10 y=f(x)B. 100是R上的偶函數(shù),_ . 2f (x2008 )的值等于.1000 D . 2020對于 xR都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立，當(dāng)x1, x20,3,且 x2時，都有f(x1)fd)x1 x20給出下列命題:(1)f(3)=0 ；(2)直線x=- 6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸;(3)函數(shù)y=f(x)在一 9, 一 6上為增函數(shù)(4)函數(shù)y=f(x)在- 9, 9上有四個零點.其中所有正確 命題的序號為 (把所有正確 命題的序號都 填上)13、已知定義域為R的函數(shù)f (x)2x b：7 可2x 1 a函數(shù)。求a,b的值;若對任意的t R,不等式

20、f(t2 2t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范圍；2114、設(shè)p:函數(shù)f(x) lg(ax x a)的定義域為R ,16q:不等式J271 1 ax對一切正實數(shù)均成立，如果命題 p q為真命題，命題 p q為假命題，求實 數(shù)a的取值范圍。15、已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,)，當(dāng) x 1 時，f(x) 0,且 f(x y) f(x) f(y) .(I)證明f (x)在定義域上是減函數(shù);(n)如果f(4)1 ,求滿足不等式f(x)f(三)二2的x的取值范圍.x 2導(dǎo) 數(shù)一、考試要求：(1)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(2)導(dǎo)數(shù)的運算21能根據(jù)導(dǎo)數(shù)

21、定義，求函數(shù)y c, y x, y x , y 一的導(dǎo)數(shù).(理)x能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用的導(dǎo)數(shù)運算公式：(c)0(c為常數(shù))；(xn)nxn 1(n); (sin x) cosx; (cosx) sinx;1(e ) e ; (a ) a Ina (a 0,且a 1); (Inx) -; x1(logax)-logae (a 0,且a 1)x法則 1： u(x) v(x) u (x) v (x)法則 2: u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)法則3:(v(x) 0)u(x) u (x)v(

22、x) u(x)v (x)2v(x)v (x)(3)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其 中多項式函數(shù)一般不超過三次).了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中 多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不 超過三次).(4)生活中的優(yōu)化問題會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.(5)定積分與微積分基本定理了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念了解微積分基本定理地含義二、重要知識與技能技巧1、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點xo及其近旁有定義

23、，當(dāng)自變量 x在xo處有增量(或稱改為量) x,那么函數(shù) y相應(yīng)的有增量(或稱改變量)Ay=f(x o+Ax) f(x 0)比值y就叫做函數(shù)y=f(x)在Xo到Xo+Ax之間的平 x均變化率.，= fx) f(x0). xx如果當(dāng)x-O時，一y有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在X0處可導(dǎo)，并把這個極限值叫做函數(shù) f(x)在xxo處的導(dǎo)數(shù)(或稱變化率)，記作f ' (x o)或y' |x=x o或f ' (x)|x=x 0.即：y f(Xo x) f(Xo)f (x o)= lim lim .x 0 x x 0x這里須指出：f' (Xo)是函數(shù)y=f(x)在Xo點

24、的導(dǎo)數(shù)值，瞬時速度Vto就是位移函數(shù)s(t)在點t0處的導(dǎo)數(shù)，即：S' (t o)= vt在Xo點處的導(dǎo)數(shù)的步驟to2、求函數(shù)y=f(x)求函數(shù)的增量4 y=f(x o+Ax) f(x o)求平均變化率：1=1(x0x)一f (x0).xx取極限，求函數(shù)在 x。點的變化率，即導(dǎo)數(shù)：f' (x 0)= lim-y. x 0 x3、“函數(shù)f(x)在點x。處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”及“導(dǎo)數(shù)”的概念間的區(qū)別與聯(lián)系：函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)增量y=f(xo+4x) f(x。)與自變量的增量之比的極限。它是一個常數(shù)，不是變量。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點處均可導(dǎo)，這

25、時稱y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，對于區(qū)間(a,b) 內(nèi)一個確定的值x。，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) f' (x。)，這樣的對應(yīng)就構(gòu)成了以區(qū)間 (a,b)為定義域的一個 新函數(shù)，稱為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是對某一區(qū)間內(nèi)任意一點x而言的。y=f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)f ' (x。)就是導(dǎo)函數(shù)f ' (x)在x=x。處的函數(shù)值，即(x)l x x0=f' (x。)，值得注意的是：f' (x °)wf(x。)'4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x。處有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)f(x)的曲線在該點處必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜

26、率；但函數(shù)f(x)的曲線在點x。處有切線，函數(shù)f(x)在該點處不一定可導(dǎo)。如 f(x)= Jx在x=0有切線，但 不可導(dǎo)。函數(shù)y=f(x)在點x。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線 y=f(x)在點P(x0,f(x。)處切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x 0)處的切線的斜率是 f' (x。),切線方程為y-f(x 0)=f ' (x °)(x x。) 三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及易錯點提示1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且在該區(qū)間內(nèi)，f ' (x)>0 ,則 f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若在 該區(qū)間內(nèi)，f' (x)&

27、lt;0,則f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).指出：若可導(dǎo)函數(shù)只有某區(qū)間的個別點處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，如y=x3,在(一oo,+ oo)內(nèi)，y=3x2>0(只在x=0處y' =0)不影響y=x3在(一00,+oo)內(nèi)為單調(diào)增加.2、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的一般方法和步驟如下：確定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間；求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f ' (x);令f' (x)>0 ,所得x的范圍(區(qū)間)為函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間；令f' (x)<0,得單調(diào)減區(qū)間.3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值極值的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點x。附近有定義，如果對 x。左

28、右近旁的所有 x值，者B有f(x)<f(x 0),我們就說f(x。)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作 y極大< =f(x 0),如果對x。左右近旁的所有x值，者B有f(x)>f(x0),我們就說f(x。)是f(x)的一個極小值，記彳y極小值=f(x 0)極大值、極小值統(tǒng)稱為f(x)的極值.指出：一個函數(shù)在給定區(qū)間上的極小值不一定小于極大值.(即極小值可以大于或等于極大值)；極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，它僅與左右近旁的函數(shù)值進行比較；極值點一定是區(qū)間的內(nèi)點?？蓪?dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件，不是充分條件。極值的判定方法。當(dāng)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在X0處有定義時，判別f(x 0)

29、是極大(小)值的方法是：如果在xo在左側(cè)近旁f ' (x o)>0 ,右側(cè)近旁f ' (xo)<0 ,那么f(x°)是極大值；如果在xo在左側(cè)近旁f ' (x o)<0 ,右側(cè)近旁f ' (xo)>0 ,那么f(x°)是極小值.求函數(shù)的極值的步驟：求函數(shù)的定義域求導(dǎo)數(shù)f ' (x)求導(dǎo)數(shù)f ' (x)=0的根.檢查f' (x)在方程f' (x)=0的根的左右的符號，如果左正、右負(fù)，那么 f(x)在這個根處取得極 大值；如果左負(fù)右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值.4、函數(shù)的最大值與最

30、小值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.(開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值和最小值).求閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)的最大值和最小值的步驟：求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與端點函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)或(8,+8)內(nèi)可導(dǎo)且有惟一的極值點x。，那么當(dāng)f(x 0)是極大值時，f(x 0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；當(dāng) f(x 0)是極小值時，f(x 0)就是f(x)在該區(qū)間上的最 小值.對于實際問題，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b )內(nèi)只有一個點使f' (x)=0 ,而且

31、實際問題本身又可以知道f(x)在(a,b)內(nèi)必定取得最大值或最小值，則 f(x 0)就是所求的最大值或最小值，這時也 就無須判斷是極大值還是極小值.5、易錯點提示：(1)注意區(qū)分“求曲線 y f(x)上過點M的切線”與“求曲線y f(x)上在點M處的切線”；前者只要求切線過 M點，M點未必是切點；而后者則很明確，切點就是M點。舉例求函數(shù)y=x3-3x 2+x的圖象上過原點的切線方程解析：易見 O (0, 0)在函數(shù)y=x3-3x2+x的圖象上，y =3x26x+1，但。點未必是切點。設(shè)切點A (x0,y 0).y ' =3x2 6x+1, 切線斜率為 3x026x0+1，又切線過原點，

32、kAO 以x03x026x0+1 即：y0=3x03 6x02+x0又,一切點 A (x0,y 0) y=x3-3x2+x 的圖象上，y 0=x03 3x02 +x0 3由得：x0 =0或x0 = ,切線方程為：y=x或5x+4y=0點評：一般地，過三次曲線的對稱中心(不難證明三次曲線一定是中心對稱圖形，且對稱中心在曲線 上)的切線有且僅有一條；而過三次曲線上除對稱中心外的任一點的切線有二條。以下給出簡 單證明(不要求學(xué)生掌握)：由于三次曲線都是中心對稱曲線，因此，將其對稱中心移至坐標(biāo)原 點便可將三次函數(shù)的解析式簡化為f(x) ax3 bx。若M(xi, yi)是三次曲線f(x) ax3 bx

33、上的任一點，設(shè)過 M的切線與曲線y=f (x)相切于(xo, yo),則切線方程為y yo f (xO)(x x°),因點m上此切線上，故 yi yo f的)區(qū) x°),又3 3 3 3 2y°axobx。，/ax,bx1，所以a%bx(a&b%)(3a%b)(x1x0),整理xx仔：(x0x1)(2xOx)0,解得，xOx1或x0o當(dāng)點M是對稱中心即x1=- - =o22時，過點M作曲線的切線切點是惟一的， 且為M,故只有一條切線；當(dāng)點M不是對稱中心即x1 o 時，過點M作曲線的切線可產(chǎn)生兩個不同的切點，故必有兩條切線，其中一條就是以 M為切點(亦即曲線

34、在點 M處)的切線。 32鞏固曲線y x 2x 4x 2上過點(1, 3)的切線方程是 .鞏固5x y 2 o,或 21x 4y 9 o “極值點”不是“點”，而是方程 f /(x) o的根。xo是函數(shù)f(x)極值點則f/(xo) o ;但是 f/(xo) o , xo未必是極值點(還要求函數(shù) f(x)在xo左右兩側(cè)的單調(diào)性相反)；若f/(xo) o (或 f/(xo) o)恒成立，則函數(shù)f(x)無極值。典型錯誤分析與糾錯：例題：設(shè)函數(shù)f (x) ax (a 1)ln(x 1),其中a 1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間錯解：由已知得f/(x) "二91)x 1(1)當(dāng)1 a o時，f /(x

35、) o函數(shù)f (x)在1,上單調(diào)遞減，1 當(dāng)a o時，由f/(x)=o,解得x af/(x), f(x)隨x的變化情況如下表:x(,1) a1 a1, af/(x)一o+f(x)極小值一從上表可知:當(dāng)x (,1)時，f/(x) 0函數(shù)在(，1)上單調(diào)遞減aa11當(dāng)1, 時，f/(x) 0函數(shù)f(x)在-, 上單調(diào)遞增 aa錯因分析：本題解答過程中考生易忽視了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的前提：先求函數(shù)定義域，這一點考生務(wù)必牢記！這樣就/ ax 1 一需要解f (x) 0這一分式不等式，一方面給解題增加了難度，另一方面本題由于忽視了定義域x 1限制導(dǎo)致全盤皆輸。正解：由已知得函數(shù)的定義域為(1,)，且f/(

36、x) ax(a1)x 1(1)當(dāng)1 a 0時，f/(x) 0函數(shù)f (x)在 1,上單調(diào)遞減，1當(dāng)a 0時，由f/(x)=0,解得x af/(x), f(x)隨x的變化情況如下表：x(1,1) a1 a1, af/(x)一0+f(x)極小值從上表可知:當(dāng)x ( 1,1)時，f/(x) 0函數(shù)在(1,-)上單調(diào)遞減 aa1 .,1當(dāng)一， 時，f (x) 0函數(shù)f (x)在一，上單倜遞增aa綜上所述：當(dāng)1 a 0時，函數(shù)f (x)在 1,上單調(diào)遞減，當(dāng)a 0時，函數(shù)f (x)在(1,1)上單調(diào)遞增 a四.典題訓(xùn)練：1、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足lim f f(1 2x)1,則過曲線y f(x)上

37、點(1,f(1)處的切線斜率為()A、2 B、1 C、1 D、22.過點P(1, 2)且與曲線y=3x24x+2在點M (1, 1)處的切線平行的直線方程是 .3、函數(shù)f(x) x3 ax2 3x 9,已知f (x)在x 3時取得極值，則a等于()A 2 B、3 C、4 D、54.曲線1 -xe2.2在點(4, e )處的切線與坐標(biāo)軸所圍的三角形的面積為A、2-e 9、4e2C 、2e d5、若 f(x)3axbx2cx d,a 0為增函數(shù)，則一定有()2A b 4ac2b2 3ac 0.2C 、b 4ac 0 D.2、b 3ac 06.已知a>0,函數(shù)A.0f (x)=x3 - ax

38、在1,B.1+ 8)上是單調(diào)增函數(shù)，則C.2a的最大值是D.37、設(shè)f (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將yf (x)和y f (x)的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是()8.9、若函數(shù)y= f x3+bx有三個單調(diào)區(qū)間，則3b的取值范圍是已知對任意實數(shù)x ,有f(x)f (x), g( x)g(x),且 x 0 時，f (x) 0,g(x) 0,貝Ux 0 時f (x)f (x)10、已知0,g (x) 00,g(x) 0f(x)與g(x)是定義在(x) 0,g (x)(x) 0,g (x)R上的連續(xù)函數(shù)，如果 f(x)與g(x)僅當(dāng)x 0時的函數(shù)值為0,且f (x) g(x),那么

39、下列情形不可能出現(xiàn)的是(A 0是f(x)的極大值，也是 g(x)的極大值日0是f(x)的極小值，也是 g(x)的極小值C 0是f(x)的極大值，但不是 g(x)的極值D 0是f(x)的極小值，但不是 g(x)的極值11、函數(shù) f(x) xln x(x 0)的單調(diào)增區(qū)間是 12、已知直線2x y 4 0,則曲線y ex上到直線距離最近的點的坐標(biāo)是 13 .設(shè)函數(shù)f(x)= ax( a+1)ln( x+1),其中a -1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。b .1.14 .已知f(x) 2ax 一 ln x在x 1,x 一處取得極值, x2(1)求a ,b的值1 右對x 一,4時，f(x) c恒成立，求c了取

40、值氾圍 415 .設(shè)函數(shù) f(x) x(x a)2(x R),其中 a R(1)當(dāng)a 1時，求曲線y f(x)在點(2, f(2)處的切線方程(2)當(dāng)a 0時，求函數(shù)f (x)的極大值和極小值R恒成立(3)當(dāng)a 3時，證明存在k 1,0,使得不等式f (k cosx)f (k2 cos2 x)對任意的x數(shù)列考試內(nèi)容與要求(1)數(shù)列的概念和簡單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念. 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式. 能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)

41、系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.二、重要知識，技能技巧1、數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列單調(diào)性是相鄰項比較大小，2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an 1 an d(d為常數(shù))或an 1 an an an 1(n 2)。 等差數(shù)列的通項：an a1 (n 1)d。(3)等差數(shù)列的前 n和：sn n(a1 an) , sn na1n(n 1)d。22(4)等差中項：若a, A,b成等差數(shù)列，則 A叫做a與b的等差中項，且 A ab o2提醒：為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a 2d,a d,a,a d

42、,a 2d (公差為 d)；3.等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)公差d 0時，等差數(shù)列的通項公式an a1 (n l)d dn a1 d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差 d ；前 n和 Sn na1 n(n-)d dn2 (科 22(2)若公差d 0,則為遞增等差數(shù)列，若公差 d(3)當(dāng) m n p q 時，則有 am an ap aq , (4)若an、bn是等差數(shù)列，則kan、kandd)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為 0.20,則為遞減等差數(shù)列，若公差 d 0,則為常數(shù)歹U。一_. -4,-pbn ( k、p 是非零常數(shù))、ap nq( p,q N)、aSn,S2n Sn,S3n S2n ,也成

43、等差數(shù)列，而an成等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列，且an 0,則lgan 是等差數(shù)列.(5) “首正”的遞減等差數(shù)列中，前 n項和的最大值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前 n項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組 an 0或an 0 確定出前多少項為非負(fù)(或非an 10 an 10正)；法二：因等差數(shù)列前殊性n N 。4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：n項是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特0,an0或' 亙an an 1(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法包上q(5常數(shù))，其中qan(n 2)。(2)等比數(shù)列的通項：an a1qn 1(3)等比數(shù)列的前

44、n和：當(dāng)q 1時，Sn na1 ；當(dāng)q 1時,Sna1(1 qn)1 qa anq1 qn項和時，首先要判斷公比特別提醒：等比數(shù)列前 n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前否為1,再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要對q分q 1和q 1兩種情形討論求解。(4)等比中項：若a,A,b成等比數(shù)列，那么 A叫做a與b的等比中項。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個Tab o提醒：為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如3數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為-,a,aq,(公比為 q);q5.等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng) m n p q 時，則有 amganapgaq

45、 ,6.數(shù)列的通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。已知Sn (即ai a? L an f(n)求an,用作差法：anS,(n 1)Sn Sn i,(n 2)若 ani anf(n)求 an 用累加法：an (an an i) (an 1 an 2)L仇(n 2)。(a? ai)(4)已知f (n)求an,用累乘法：an 芻-亙Lanan i an 2(5)已知遞推關(guān)系求an ,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)a1 (n 2)。ai。特別地，(i)形如ankan ib ( k,b 為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求 an。(2)形如anan1

46、的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。kan i b注意：(i)用an Sn Sn i求數(shù)列的通項公式時， 你注意到此等式成立的條件了嗎？(n 2,當(dāng)n i時，ai Si);(2) 一般地當(dāng)已知條件中含有 an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式an Sn Sn i ,先將已知條件轉(zhuǎn) 化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解。7 .數(shù)列求和的常用方法：(i)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與i的關(guān)系，必要時需分類討論.；常用公式：i 2 3 L n 1n(n i),.(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在

47、一起，再運用 公式法求和.(3)錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(4)裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：)； i i i i(in(n i) n n i n(n k) k ni i i / i i 、 i i22() )k k i 2 k i k i k k ii(k i)k2(,n in)i i i i2k2 (k i)k k i k2( . n . n-l).(5)通項轉(zhuǎn)換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在

48、特征，再運用分組求和法求和。(6)倒序相加法：到首末等距離的和相等8 . “分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題(i)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題三.易錯點提示(i)忽視通項如：已知 &表示an的前K項和，$一$+i=an (nCN+),則an一定是。A、等差數(shù)列B 、等比數(shù)列 C 、常數(shù)列 D 、以上都不正確正確答案：D(2)忽視性質(zhì)b2如：已知數(shù)列-i , ai, a2, -4成等差數(shù)列,-i , bi,b2,b3,-4成等比數(shù)列，則 a一%的值為21 I 1_或一 _ 22如:數(shù)列an的前n項和為sn=n2+2n-1a5a25()A 350 B 351 C 337

49、D 338四.典題練習(xí)(正確答案：A1.A.已知等差數(shù)列an的公差為正數(shù)，且a3 2.A.3.180B. 180a7= 12C. 90a4+a6= - 4,則 So 為()D. 90設(shè)函數(shù) f (x)滿足 f (n+1) = 2f(n)一n 2*.(nC N)且 f (1) =2,則 f (20)為()95B. 97C. 105D. 192已知數(shù)列an的通項公式n+1an= log 2n2( n CM),設(shè)其前n項和為則使S< 5成立的正整數(shù)nA.有最小值63.有最大值63C.有最小值31.有最大值314.設(shè)數(shù)列an是公比為a( aw 1),首項為b的等比數(shù)列，&是前n項和，對任

50、意的 n$+1)A.直線y = ax b上.直線y = bx+ a上C.直線y = bx a上.直線y = ax+ b上5.已知1是a2與b2的等比中項，又是 1與二的等差中項，則 a b-0-A的值是()a2b2A.1或12 八 1B. 1 或一一2,1C. 1 或一36.n在等比數(shù)列an中,已知nCN,且a1+&+an=2 1,那么 a；+a22+an2等于(A.4n1B. 1 (4n1)7.已知anA.8.a1，a50已知：an3n病(n %80 'B.10g(n 1)(na1，a82) (nC. 1 (2n-1) 23D. (2n1) 2),則在數(shù)列 an的前C.a8

51、,a950項中最小項和最大項分別是若稱使乘積a1 a2D.a 9, a50a3 an為整數(shù)的數(shù)n為劣數(shù)，則在區(qū)間(1,2002)內(nèi)所有的劣數(shù)的和為A. 2026 B . 2046 C .1024D .10229 .若an是遞增數(shù)列，對于任意自然數(shù)an=n2+入n恒成立,則實數(shù)入的取值范圍是10 .設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，其前一一 ._ 、.一一.一.一 a991n項積為Tn,并滿足條件a11,a99a10010,a1oo 10,給出下列結(jié)論：(1) 0 q 1; (2) T1981 ； (3) a99al011; (4)使Tn 1成立的最小自然數(shù)n等于199,其中正確的編號為11.(江蘇1

52、0)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:正確答案: 忽視公式12 34 5 67 8 9 10o o o o o按照以上排列的規(guī)律，第 n行(n 3)從左向右的第3個數(shù)為12 .等差數(shù)列an, bn的前n項和分別為S、Tn,若 名=_2,則a！=.Tn 3n 1bii13 (本小題滿分12分)甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2 m,以后每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙每分鐘走5 m.(1)甲、乙開始運動后，幾分鐘相遇.(2)如果甲、乙到達(dá)對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙繼續(xù)每分鐘走 5 m,那(1)(2)(3)求證：1是等差數(shù)列；Sn求an表達(dá)式；若 bn=2 (1 n) an (n>2),求證:b21 2+b32+bn2<1 .15.數(shù)列an中，a1= 8, a4= 2,且滿足:(I )求數(shù)列an的通項公式；an+2 2an+1 + an = 0 (n C