第三章--多維隨機(jī)變量及其分布總結(jié)

1、第三章 - 多維隨機(jī)變量及其分 布總結(jié)第三章 多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) , 它的樣本空間是 S. 設(shè) X、Y是定義在 S上的隨機(jī)變量 , 則由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 (X, Y)稱為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量.而且還依賴于 X、Y 的相互關(guān)系 , 因此必須把 (X, Y)作為一般地 , (X, Y)的性質(zhì)不僅與 X有關(guān), 與 Y有關(guān) , 一個(gè)整體來研究 .首先引入 (X, Y)的分布函數(shù)的概念 .定義 設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量 , 對(duì)于任意實(shí)數(shù) xF(x, y) = P(X x)(Y y)= PX稱為二維隨機(jī)變量 (X, Y)的分布函數(shù)

2、 , 或稱為隨機(jī)變量分布函數(shù) F(x, y)表示事件 (X x)與事件 (Y y)同時(shí)發(fā)生的概率 . 如果把 (X, Y)看成平面上具有隨機(jī)坐標(biāo) (X, Y)的點(diǎn) , 則分布函數(shù) F(x, y)在(x, y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn) (X, Y)落在平面上的以 (x, y)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn) 左下方的無限矩形內(nèi)的概率 .由上面的幾何解釋 , 容易得到隨機(jī)點(diǎn) (X, Y)落在矩形區(qū)域 x1 < X x2, y1 < Y y2的概率為Px1 < X x2, y1 < Y y2 = F(x2, y2) F(x2, y1) F(x1, y2) + F(x1, y1)(1)與二元函數(shù)類

3、似 , 二元分布函數(shù) F(x, y)也具有如下一些性質(zhì) :1 F(x, y)是變量 x和y的單調(diào)不減函數(shù) , 即當(dāng) x1 < x2時(shí), F(x1, y) F(x2, y); 當(dāng) y1 < y2時(shí), F(x, y1) F(x, y2).2 0 F(x, y) 1, 且 F( , y) = 0, F(x, ) = 0, F( , ) = 0, F(+ ,+ ) = 1.(凡含 的概率分布為 0)3 F(x, y)關(guān)于 x和 y都是右連續(xù)的 , 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).4 對(duì)任意的 (x1, y1) 、 (x2, y2)

4、, x1 < x2, y1 < y2, 有 F(x2, y2) F(x2, y1) F(x1, y2) + F(x1, y1) 0.注: 二元分布函數(shù)具有性質(zhì) 1 4 , 其逆也成立 (2 中0 F(x, y) 1可去), 即若二元實(shí)值函數(shù) F(x, y)(x R, y R)滿足 1 4 , 則F(x, y)必是某二維隨機(jī)變量的 (X, Y)的分布函數(shù) . 其中 4是必不可少的 , 即它不能由 1 3 推出 (除去 0 F(x, y) 1).二、二維離散型隨機(jī)變量如果二維隨機(jī)變量 (X, Y)的所有可能取的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì), 則稱 (X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量 .設(shè)二維

5、離散型隨機(jī)變量 (X, Y)所有可能取的值為 (xi, yj) (i , j= 1, 2, 3, ).記 PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )則由概率定義有 pij 0;pij 1.i1j1我們稱 PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )為二維離散型隨機(jī)變量 (X, Y)的分布律 (概率分布 )或隨機(jī) 變量 X 和 Y 的聯(lián)合分布律 , (X, Y)的分布律也可用表格表示 . 其分布函數(shù)為F(x,y) PX xi,Y yj =pijxi x yj yxi x yj y這里 表示對(duì)一切 xi x, yj y 的那

6、些指標(biāo) i、 j 求和 .xi x yj y例1 一個(gè)口袋中有三個(gè)球 , 依次標(biāo)有 1、2、2, 從中任取一個(gè) , 不放回袋中 , 再任取一個(gè) . 設(shè)每次取球時(shí)各球被取到的可能性相等 , 以 X、Y 分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字, 求 X 、Y 的聯(lián)合分布律與分布函數(shù) .1 2 1解: (X, Y)的可能取值為 (1, 2) 、 (2, 1)、(2, 2). PX = 1, Y = 2= PX = 1PY = 2 / X = 1=.3 2 311同理, 有 PX = 2, Y = 1= 1 , PX = 2, Y = 2= 1 33即(X, Y)的分布律如右表所示 .當(dāng)x <

7、 1, 或 y < 1時(shí), Fx, y = 0;當(dāng) 1 x < 2, y 2時(shí), Fx, y = p11 p12 1 ;3 當(dāng) x 2, y 2 時(shí), Fx, y = 1.當(dāng) 1 x < 2, 1 y <2 時(shí), Fx, y = 0;1當(dāng) x 2, 1 y <2 時(shí) , Fx, y = p11 p21 ;30,1或y1或2,2,所以 , (X, Y)的分布函數(shù)為 F(x, y)2,2,2,1,x 2, y 2.三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y)的分布函數(shù)為Fx, y, 若存在非負(fù)函數(shù)f (x, y), 使對(duì)任意的 x、y 有yxF(x,y) f (

8、u,v)dudv ，則稱 (X, Y)為連續(xù)型的二維隨機(jī)變量 , f (x, y)稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X, Y)的概率密度 , 或稱隨機(jī)變量 X、 Y 的聯(lián)合概率密度 .概率密度 f (x, y)具有以下性質(zhì) :1 f (x, y) 0;2 f (x, y)dxdy F( , ) 1若 f (x, y)在點(diǎn) (x, y)處連續(xù) , 則有2F(x,y)xyf(x, y)設(shè) G是 xOy 平面上的一個(gè)區(qū)域 , 則點(diǎn)(X, Y)落在 G內(nèi)的概率為 P( X,Y) Gf (x,y)dxdy (2)G例2 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X, Y)的概率密度為 f(x,y)2Ae (x y)0,x 0,

9、y 其它.0,求: (1) 系數(shù) A; (2)分布函數(shù) F(x, y); (3)概率 P(X, Y) D,其中D: x 0, y0, x + y1.解:(1) 由f (x, y)dxdy 1(2)F(x,y)x e (x y)dxdy =x xe (x y) 0dxdy,(3)P( X,Y)1f (x, y)dxdy dx00,xe xeydxdy例 3 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X, Y)的概率密度為f(x, y)0,y 0,= (1 其它,xyx)(10,e y ),x 0,y 0,其它.1,0其它,y 2, 求 PY X.12 2 xy17解: PY X=f ( x, y)dxdydx (

10、x2)dy .0x 324yx以上關(guān)于二維隨機(jī)變量的討論 , 不難推廣到 n(n > 2)維隨機(jī)變量的情形 . 一般地, 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) 它的樣本空間為 S, 設(shè) X1、X2、 Xn是定義在 S上的隨機(jī)變量 , 則由它們構(gòu)成的一個(gè) n維向量 (X1, X2, Xn)稱為 n 維隨機(jī)向量或 n 維隨機(jī)變量 .對(duì)任意 n 個(gè)實(shí)數(shù) x1、x2、xn, n元函數(shù) F(x1, x2, , xn) = PX1 x1, X2 x2, , Xn xn稱為 n維隨機(jī) 變量 (X1, X2, , Xn)的分布函數(shù)或隨機(jī)變量 (X1, X2, , Xn)的聯(lián)合分布函數(shù) , 它具有與二元分布函數(shù)類似的性 質(zhì)

11、.第二節(jié) 邊 緣 分 布x, Y < + , 從而由 (X, Y)的分布設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量 , 其分布函數(shù)為 F(x, y), 事件X x即為 X 函數(shù)可定出 X 的分布函數(shù) , 記為 FX (x).FX (x) = PX x = P X x, Y < + = F(x, + )= lim F(x,y). y我們稱 FX (x)為關(guān)于 X 的邊緣分布函數(shù) . 類似的可定義關(guān)于 Y的邊緣分布函數(shù)為FY (y) = PY y = PX < + , Yy= F(+ , y) = lim F(x,y).x、離散型設(shè)(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量其分布律為 PX = xi,

12、Y = yj = pij(i , j= 1, 2, 3, ), 則FY (y) F(FX (x) F(x, )pij從而 X 與 Y 的分布律分別為P X xi pij , i = 1, 2, j1; PYyjpij , j = 1, 2, ; i1記 pi P X xi pij , i = 1, 2, ;p jj1PY yjipij ,1j = 1, 2, .分別稱 pi 和 p j為(X, Y)關(guān)于 X 與 Y 的邊緣分布律 .注: 1 邊緣分布律具有一維分布律的一般性質(zhì) .2 聯(lián)合分布律唯一決定邊緣分布律 , 反之不然 .二、連續(xù)型設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為 f (x,

13、 y), 由FX (x) F(x,x) f (x,y)dydx;FY (y)F(,y)y f (x, y)dxdyxi x j 1, y)pijyi y i 1知 X 與 Y 都是連續(xù)型隨機(jī)變量 . 它們的概率密度分別為fX(x) f (x,y)dy;fY(y)f(x, y)dx.稱 fX (x)與 fY (y)分別為 (X, Y)關(guān)于 X 與Y的邊緣概率密度 .例2 設(shè)D是平面上的有界區(qū)域 , 其面積為 A, 若二維隨機(jī)變量 (X, Y)的概率密度為1f (x,y) A, (x,y) D,0, 其它 ,則稱 (X, Y)在 D 上服從均勻分布 .現(xiàn)(X, Y)在以原點(diǎn)為中心、 1 為半徑的圓

14、域上服從均勻分布 , 求邊緣概率密度 .解:f (x, y)dxdy 1, 得 A = .當(dāng)x時(shí),fX (x)f (x,y)dy1 x2 121 x2 dy 1x2; 當(dāng) x 1時(shí), fX (x) = 0,fX(x)1 x20,xx1,1.例3 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為同理可得fY (y)0,y y1.f(x, y)1exp1 2 1 2 2(112)(x1)221(x1)(y2)(y122)222其中 1 、 2 、 1 、的二維正態(tài)分布2、都是常數(shù) , 且 1 > 0,2 > 0, 試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度< < 1.我們稱 (X, Y)為服

15、從參數(shù)為1 、 2 、 1、 2、(x 1)221(x1)(y2) (y122)222所以令t所以(y2)222y2, f X (x), f X (x)表明 , X N(xf(x, y)dy =1211)( y 2)x11y2(1 2 )(x 1 )2222 12 (12), Y N(12(12e2 (x1)2212 (x1)221(x 1)2212 (x21(x 1 )22 12, 則 dyx1122).dy此例說明 ,21)221m2(12) dy1 2(1 ey2)x11dy .2dt ,從而,122et22 dt 2). 同理可得 , fY (y)(y 2 )2222 (y )., 并

16、且與參數(shù)無關(guān) . 所以對(duì)于確定的二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X, Y)中的 X、Y 都服從正態(tài)分布2、 1、 2 而取不同的 , 對(duì)應(yīng)了不同的二維正態(tài)分布 , 但是其中每個(gè)隨機(jī)變量都分別服從相同的正態(tài)分布 因此 , 僅由關(guān)于 X 和 Y 的邊緣概率密度 (分布 ), 一般不能確定 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度 (分布 ).1、第四節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量我們知道 , 兩事件 A、B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB) = P(A)P(B)由此我們引進(jìn)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義 .定義 設(shè) F(x, y)及 FX (x)、FY (y)分別是二維隨機(jī)變量 (X, Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù) , 若對(duì)于所有的 x、 y

17、, 有 PX x, Y y = PX x PY y, 即 F(x, y) = FX (x)FY (y)(1)則稱隨機(jī)變量 X 和 Y 是相互獨(dú)立的 .可見 , 在隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立的情況下 , 由關(guān)于 X 和 Y 的邊緣分布函數(shù)就唯一地確定 (X, Y)的聯(lián)合 分布函數(shù) , 而且還可推得PY y/ X xPY y,X xP X xlim PY y,x X x x x 0 Px X x xlim F(x x,y) F(x, y)x 0 F(x x, ) F(x, )im FX (x x)FY(y) FX(x)FY(y) x 0FX (xx)FY( ) FX(x)FY( )im FX(

18、x x) FX (x)FY(y)x 0FX (xx) FX (x)= FY (y) = PYy.這就是說在 X 和 Y 相互獨(dú)立的情況下條件分布與邊緣分布相同即條件分布化成了無條件分布、離散型設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X, Y)的聯(lián)合分布律為 (X, Y)關(guān)于 X 和關(guān)于 Y的邊緣分布律分別為PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ),piP X xipij , i = 1, 2, j1ijpj PY yjpij , j = 1, 2, i1則 X 和 Y 相互獨(dú)立的充要條件是PX = xi, Y = yj = PX = xi PY = yj, 即pij =

19、pi pj(2)二、連續(xù)型設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X, Y)的聯(lián)合概率密度為 f (x, y), 關(guān)于 X和Y的邊緣概率密度為 X和 Y相互獨(dú)立的充要條件是等式f (x, y) = fX (x) fY (y)fX (x)和 fY (y), 則(3)幾乎處處成立 .例3 設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 即其聯(lián)合概率密度為f(x, y) 2 1 2 1 2exp2(11 (x 1)22)(x 1)(y2)12證明: X和 Y相互獨(dú)立的充要條件是= 0.立.例4證:例5若(X, Y)的聯(lián)合概率密度為顯然 f X (x)xex 0,其它,(y2)222f (x,y)e (x y)0,其0,它y ,

20、0,則X和Y相互獨(dú)立 .fY (y)ey0,y 0,故有 f (x, y) = fX (x) fY (y). 從而 X 和 Y 相互獨(dú) 其它,設(shè)X與 Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, X 在 0, 0.2 上服從均勻分布 , Y 的概率密度為fY (x)5e 5y, y 0,0,其它 ,試求 : (1) X 與 Y 的聯(lián)合概率密度 ; (2) PY X.解: (1) 由已知條件 , 得 fX (x)5, 0 其x它0.2, 從而得 X 與 Y 的聯(lián)合概率密度為0, 其它 ,25e 5y ,0 x 0.2,y 00,其它.f(x,y)(2) PY X= PY Xf ( x, y)dxdy ,積分區(qū)域

21、如圖x y 0化成二次積分后得0.2 x 1PY Xf ( x, y)dy dx e1 0.3679 .以上關(guān)于二維隨機(jī)變量的一些概念很容易推廣到 n 維隨機(jī)變量的情形設(shè)n 維隨機(jī)變量 (X1, X2, , Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為 得對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1、 x2、 xn, 有F(x1, x2, , xn), 若存在非負(fù)函數(shù) f (x1, x2, , xn), 使xn xn 1F(x1, x2, , xn) =x1f (x1,x2, ,xn)dx1dx2 dxn則稱 f (x1, x2, , xn)為 n維隨機(jī)變量 (X1, X2, , Xn)的聯(lián)合概率密度 .稱 FX1(x1)F(x1, , )

22、 ,FX1,X2 (x1,x2)F(x1,x2, , ), 為關(guān)于X1,(X1,X2),的邊緣分布函數(shù) , fX1(x1)f(x1,x2, ,xn)dx2dx3 dxn ,fX1,X2(x1,x2)f(x1,x2, , xn )dx3 dx4 dxn, 為關(guān)于 X1, (X1, X2), 的邊緣概率密度 .若對(duì)于所有的 x1、x2、xn, 有 F(x1, x2, , xn) FX1(x1)FX2(x2) FXn(xn), 則稱 X1, X2, , Xn是相 互獨(dú)立的 , 對(duì)離散型即連續(xù)型隨機(jī)變量 , 也有類似的結(jié)論 .若對(duì)于所有的 x1、 x 2、 xm; y1、 y2、 yn, 有F(x1,

23、 x2, , xm; y1, y2, , yn) = F1 (x1, x2, , xm) F2 (y1, y2, , yn)其中 F1、F2和 F 依次為 (X1, X2, , Xm)、(Y1, Y2, , Yn)和(X1, X2, , Xm; Y1, Y2, , Yn)的分布函數(shù) , 則稱隨 機(jī)變量 (X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, , Yn)是相互獨(dú)立的 .定理 設(shè)隨機(jī)變量 (X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, , Yn)相互獨(dú)立 , 則Xi (i = 1, 2, , m)與 Yj(j = 1, 2, , n)相 互獨(dú)立 . 又若 h、g是連續(xù)函數(shù) , 則h(X1, X2, , Xm)和g(Y1, Y2, , Yn)也相互獨(dú)立 .第三節(jié)、條件分布離散型：在已知X=xi 的條件下， Y 取值的條件分布為P(Y yj |X xi )pijpi?在已知 Y=yj 的條件下， X 取值的條件分布為P(X xi |Yyj )pijp?j連續(xù)型：在已知 Y=y 的條件下， X 的條件分布密度為f (x| y)f (x, y)； fY (y)解： f (x,y)x11fX (x)f (x,y)dyx 1 112dy 1x1x,0x