湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 三角形 2.5 全等三角形 ppt課件

1、湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章 三角形三角形; 如圖是兩組外形、大小完全一樣的圖形如圖是兩組外形、大小完全一樣的圖形. . 用透明紙描出每組中的一個(gè)圖形，并剪下來(lái)用透明紙描出每組中的一個(gè)圖形，并剪下來(lái)與另一個(gè)圖形放在一同，它們完全重合嗎？與另一個(gè)圖形放在一同，它們完全重合嗎？做一做做一做12;12我發(fā)現(xiàn)它們可以完全重合我發(fā)現(xiàn)它們可以完全重合;結(jié)論結(jié)論 我們把可以完全重合的兩個(gè)圖形叫我們把可以完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等圖形作全等圖形. .;像上面可以完全重合的三角形叫像上面可以完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形 相互重合

2、的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.記做：記做：ABC ABC 讀做：讀做：ABC全等于全等于ABC;小提示 全等用符號(hào)全等用符號(hào)“表示，讀作表示，讀作“全全等于等于. . 在表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把在表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上. .;結(jié)論結(jié)論 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等； 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等. . 我們知道，可以完全重合的兩條線段是相等的，我們知道，可以完全重合的兩條線段是相等的，可以完全重合的兩個(gè)角是相等的，由此得到：可以完全重合的兩個(gè)角是相等

3、的，由此得到： 例如，例如，A=A B=B C=C . , , , , AB=A B BC=B C CA=C A ., , ,;例例1 1 如圖，知如圖，知ABC ABC DCBDCB，AB=3AB=3， DB=4 DB=4，A=60A=60. .1 1寫(xiě)出寫(xiě)出ABCABC和和DCBDCB的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；2 2求求ACAC，DCDC的長(zhǎng)及的長(zhǎng)及DD的度數(shù)的度數(shù). .;解解1 1ABAB與與DCDC，ACAC與與DBDB，BC與與CB是對(duì)應(yīng)邊；是對(duì)應(yīng)邊；AA與與DD，ABCABC與與DCBDCB，ACBACB與與DBCDBC是對(duì)應(yīng)角是對(duì)應(yīng)角. .2 2 AC AC與與DBDB

4、， AB AB與與DCDC是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊， AC = DB = 4 AC = DB = 4， DC = AB =3. DC = AB =3.AA與與DD是全等三角形的對(duì)應(yīng)角，是全等三角形的對(duì)應(yīng)角，D =A = 60D =A = 60. .; 思索 假設(shè)知兩個(gè)三角形有兩邊一角對(duì)假設(shè)知兩個(gè)三角形有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，應(yīng)分為幾種情形討論？應(yīng)相等時(shí)，應(yīng)分為幾種情形討論？邊角邊邊角邊邊邊角邊邊角角夾在兩條邊的中間，角夾在兩條邊的中間，構(gòu)成兩邊夾一角構(gòu)成兩邊夾一角 角不夾在兩邊的中間，角不夾在兩邊的中間，構(gòu)成兩邊一對(duì)角構(gòu)成兩邊一對(duì)角 ;邊角邊邊角邊角夾在兩條邊的中間，構(gòu)成兩邊夾

5、一角角夾在兩條邊的中間，構(gòu)成兩邊夾一角 做一做做一做知兩條線段和一個(gè)角，以這兩條線段為邊，以知兩條線段和一個(gè)角，以這兩條線段為邊，以這個(gè)角為這兩條邊的夾角，畫(huà)一個(gè)三角形這個(gè)角為這兩條邊的夾角，畫(huà)一個(gè)三角形 3cm4cm456cm3cm120步驟：步驟：1 1、畫(huà)一線段、畫(huà)一線段ABAB，使它等于，使它等于4cm4cm；2 2、畫(huà)、畫(huà)MABMAB4545；3 3、在射線、在射線AMAM上截取上截取ACAC3cm3cm；4 4、連結(jié)、連結(jié)BCBCABCABC即為所求即為所求ABMC4cm4cm45453cm3cm;、請(qǐng)同窗們把畫(huà)好的三角形剪下來(lái)、請(qǐng)同窗們把畫(huà)好的三角形剪下來(lái), ,并和同桌進(jìn)展比較并

6、和同桌進(jìn)展比較, ,兩人的三角形全等兩人的三角形全等嗎嗎? ?、小組長(zhǎng)把本組剪好的三角形收齊、小組長(zhǎng)把本組剪好的三角形收齊并進(jìn)展比較并進(jìn)展比較, ,一切的三角形全等嗎一切的三角形全等嗎? ?;由此得到斷定兩個(gè)三角形全等的根身手實(shí)：結(jié)論 兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等. .通?？珊?jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊或“SAS.留意：邊角邊定理中的角是指兩邊的夾角.;用幾何言語(yǔ)表達(dá)為：在ABC與DEF中AB=DEB=EBC=EFABCDEFSASABCDEF|;例例2 知：如圖，知：如圖，AB和和CD相交于相交于O，且，且AO=BO， CO=DO. 求證：求證：ACO BDO.

7、證明：證明：在在ACO和和BDO中，中， ACOBDO.SASAO = BO，AOC =BODAOC =BOD，對(duì)頂角相等，對(duì)頂角相等CO = DO，;練習(xí)練習(xí)1. 如圖，將兩根鋼條如圖，將兩根鋼條AA和和BB的中點(diǎn)的中點(diǎn)O連在一同，連在一同，使鋼條可以繞點(diǎn)使鋼條可以繞點(diǎn)O自在轉(zhuǎn)動(dòng)，就可做成丈量工件內(nèi)自在轉(zhuǎn)動(dòng)，就可做成丈量工件內(nèi)槽寬度的工具卡鉗槽寬度的工具卡鉗.只需量出只需量出 AB的長(zhǎng)，就得的長(zhǎng)，就得出工件內(nèi)槽的寬出工件內(nèi)槽的寬AB. 這是根據(jù)什么道理呢？這是根據(jù)什么道理呢？解解 ABOABOABOABO，AB= AB.AB= AB.;2. 如圖，如圖，ADBC，AD=BC. 問(wèn)：?jiǎn)枺篈DC

8、和和CBA 是全等三角形嗎？為什么？是全等三角形嗎？為什么？解解 ADBC ADBC ADCADCCBA.CBA.DAC=BCA，又 AD=BC，AC公共 ;3. 知：如圖，知：如圖，AB=AC，點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是分別是AC， AB的中點(diǎn)的中點(diǎn). 求證：求證：BE=CF.解解 AB=AC, AB=AC, 且且 E E，F(xiàn) F分別是分別是 AC AC，ABAB中點(diǎn)，中點(diǎn)， ABEABEACFACF，AF=AE，又 A公共， BE=CF. BE=CF.; 如圖，在如圖，在ABC和和 中，假設(shè)中，假設(shè)BC = ，B=B，C=C，他能經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射，他能經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換使等變換使A

9、BC的像與的像與 重合嗎？那么重合嗎？那么ABC與與 全等嗎？全等嗎？ A B C B C A B C A B C探探 究究; 類(lèi)似于根身手實(shí)類(lèi)似于根身手實(shí)“SAS“SAS的探求，同樣地，我的探求，同樣地，我們可以經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換使們可以經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換使ABCABC的的像與像與ABCABC重合，因此重合，因此ABC ABC ABCABC;結(jié)論結(jié)論由此得到斷定兩個(gè)三角形全等的根身手實(shí)：由此得到斷定兩個(gè)三角形全等的根身手實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等. . 通?？珊?jiǎn)寫(xiě)成通?？珊?jiǎn)寫(xiě)成“角邊角或角邊角或“ASA“ASA. .;例例

10、3 知：如圖，點(diǎn)知：如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，在同一條直線上， ABDC，AB=CD，B=D. 求證：求證：ABE CDF.證明證明 ABDC ABDC， A=C. A=C.在在ABEABE和和CDFCDF中，中， ABEABECDF CDF ASAASA. .A=CA=C，AB = CDAB = CD，B=DB=D，;例例4 如圖，為丈量河寬如圖，為丈量河寬AB，小軍從河岸的，小軍從河岸的A點(diǎn)沿著和點(diǎn)沿著和 AB垂直的方向走到垂直的方向走到C點(diǎn)，并在點(diǎn)，并在AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)E處立一根標(biāo)桿，然處立一根標(biāo)桿，然后從后從C點(diǎn)沿著與點(diǎn)沿著與AC垂直的方向走到垂直的方向走到D 點(diǎn)，使點(diǎn)，使

11、D，E，B恰恰好在一條直線上好在一條直線上. 于是小軍于是小軍 說(shuō)：說(shuō)：“CD的長(zhǎng)就是河的寬的長(zhǎng)就是河的寬.他能說(shuō)出這個(gè)道理嗎？他能說(shuō)出這個(gè)道理嗎？圖圖3-353-35ABECD;解：解：在在AEB和和CED中，中，A =C = 90A =C = 90，AE = CE，AEB =CED (AEB =CED (對(duì)頂角相等對(duì)頂角相等) ) AEB AEB CED.CED.ASAASA AB=CD .( AB=CD .(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) )因此，因此，CD的長(zhǎng)就是河的寬度的長(zhǎng)就是河的寬度.;練習(xí)練習(xí)1. 如圖，工人師傅不小心把一塊三角形玻璃打碎如圖，工人師傅不小心把一塊

12、三角形玻璃打碎 成三塊，現(xiàn)要到玻璃店重新配一塊與原來(lái)一樣成三塊，現(xiàn)要到玻璃店重新配一塊與原來(lái)一樣 的三角形玻璃，只允許帶其中的一塊玻璃碎片的三角形玻璃，只允許帶其中的一塊玻璃碎片 去去. 請(qǐng)問(wèn)應(yīng)帶哪塊玻璃碎片去？為什么？請(qǐng)問(wèn)應(yīng)帶哪塊玻璃碎片去？為什么？答：應(yīng)帶玻璃碎片去答：應(yīng)帶玻璃碎片去; ;只需這塊玻璃具備決議全只需這塊玻璃具備決議全等三角形的幾個(gè)條件等三角形的幾個(gè)條件: :在在直角三角形中知一個(gè)銳角直角三角形中知一個(gè)銳角和一條直角邊，由和一條直角邊，由AAS斷定定理即可確定兩個(gè)三角形全等，故應(yīng)帶斷定定理即可確定兩個(gè)三角形全等，故應(yīng)帶這塊玻璃去這塊玻璃去.;2. 知：如圖，知：如圖，ABC

13、，CF， 分別是分別是ACB和和 的平分線的平分線. 求證：求證： A B C C F A C B CF=C F .證明：證明： ABCABCABCABC， A =A , A =A , ACB =ACB. ACB =ACB. AC=AC證明：證明： CF=CF. CF=CF. 又又CF，CF分別是分別是ACB和和ACB的平分線，的平分線， ACF=ACF. ACF=ACF. ACFACFACFACF;在在ABC和和 中，中， A B C A = A A = A，B = BB = B， C =C. C =C.又又 ，B=B， BC=B C ABC =ABC. ABC =ABC. (ASA).(A

14、SA).;結(jié)論結(jié)論由此得到斷定兩個(gè)三角形全等的定理：由此得到斷定兩個(gè)三角形全等的定理： 兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等相等的兩個(gè)三角形全等. .通?？珊?jiǎn)寫(xiě)成通常可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊或角角邊或“AAS“AAS. .;例例5 知：如圖，知：如圖，B=D，1=2， 求證：求證：ABC ADC.證明證明 1 =2 1 =2，ACB=ACDACB=ACD同角的補(bǔ)角相等同角的補(bǔ)角相等. .在在ABCABC和和ADCADC中，中， ABCABCADC ADC AASAAS. .B =DB =D，ACB =ACDACB =ACD，AC = ACAC = AC，

15、;例例6 知：如圖，點(diǎn)知：如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，在同一條直線上， ACFD，A=D，BF=EC. 求證：求證：ABC DEF.;證明證明 ACFD ACFD，ACB =DFE.ACB =DFE. BF= EC BF= EC， BF+FC=EC+FC BF+FC=EC+FC，即即 BC=EF . BC=EF .在在ABC ABC 和和DEFDEF中，中， ABCABCDEFDEFAASAAS. .A =DA =D，ACB =DFEACB =DFE，BC = EF，;練習(xí)練習(xí)1. 知：如圖，知：如圖，1=2，AD=AE. 求證：求證：ADC AEB. ADCADCAEBAEBAAS

16、AAS. .1 =21 =2，A = AA = A，AD = AE，證明證明 在在ADC ADC 和和AEBAEB中，中，;2. 知：在知：在ABC中，中，ABC =ACB， BDAC于點(diǎn)于點(diǎn)D，CEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E. 求證：求證：BD=CE.證明證明 由題意可知由題意可知BECBEC和和BDCBDC均為直角三角形，均為直角三角形， 在在RtRtBECBEC和和RtRtCDBCDB中，中，ABC =ACB ABC =ACB ，BC = BC ， Rt RtBEC RtBEC RtCDBCDBAASAAS. .BEC =CDB=90BEC =CDB=90 ，;探求探求 如圖，在如圖，在ABC和和

17、中，假設(shè)中，假設(shè) ， ， ，那么，那么ABC與與 全等嗎？全等嗎？ A B C BC=BC AB=A B ABC 假設(shè)可以闡明假設(shè)可以闡明A=AA=A，那么就，那么就可以由可以由“邊角邊得邊角邊得出出ABCABCABC.ABC.CA=CA; 將將ABCABC作平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換，使作平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換，使BCBC的像的像 與與 重合，并使點(diǎn)重合，并使點(diǎn)A A的像的像 與點(diǎn)與點(diǎn) 在在 的兩旁，的兩旁，ABCABC在上述變換下的像為在上述變換下的像為 B C B CAA B C A B C .; 由上述變換性質(zhì)可知由上述變換性質(zhì)可知ABC ABC ， A B C那么那么 ， AB=A

18、B =A B AC=A C =A C .銜接銜接 A A .; 1=2 1=2，3=4.3=4.從而從而1+3=2+41+3=2+4， ， ， A B =A B A C =A C即即 B A C =B A C .在在 和和 中，中， A B C A B C SAS. A B C A B C ABC ABC . A B C ， A B =A B B A C =B A C， A C =A C，;結(jié)論結(jié)論由此可以得到斷定兩個(gè)三角形全等的根身手實(shí)：由此可以得到斷定兩個(gè)三角形全等的根身手實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等. .通?？珊?jiǎn)寫(xiě)成通?？珊?jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊或邊邊邊或“SSS“

19、SSS. .;例例7 知：如圖，知：如圖，AB=CD ，BC=DA. 求證：求證： B=D.證明：證明：在在ABC和和CDA中，中， ABC CDA. (SSS)AB=CD，BC=DA，AC=CA，(公共邊公共邊) B =D.;例例8 知：如圖，在知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，點(diǎn)，點(diǎn)D，E 在在BC上，且上，且AD=AE，BE=CD. 求證：求證：ABD ACE.證明證明 BE = CD BE = CD， BE-DE = CD-DE. BE-DE = CD-DE.即即 BD = CE. BD = CE.在在ABDABD和和ACEACE中，中， ABDABDACE ACE SSSSSS.

20、 .AB = AC，BD = CE，AD = AE，;結(jié)論結(jié)論 由由“邊邊邊可知，只需三角形三邊的長(zhǎng)度邊邊邊可知，只需三角形三邊的長(zhǎng)度確定，那么這個(gè)三角形的外形和大小也就固定確定，那么這個(gè)三角形的外形和大小也就固定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫作三角形的穩(wěn)定性了，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫作三角形的穩(wěn)定性.; 三角形的穩(wěn)定性在消費(fèi)和生活中有廣泛的運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性在消費(fèi)和生活中有廣泛的運(yùn)用. 如日常生活中的定位鎖、房屋的人字梁屋頂?shù)榷既缛粘Ｉ钪械亩ㄎ绘i、房屋的人字梁屋頂?shù)榷疾捎萌切螛?gòu)造，其道理就是運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性采用三角形構(gòu)造，其道理就是運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性. .;議一議議一議根據(jù)以下條件，分別畫(huà)根據(jù)以下

21、條件，分別畫(huà)ABCABC和和ABCABC1 ， ， B=B= 45； 3cmAB=A B = 2.5cmAC=A C =; 滿足上述條件畫(huà)出的滿足上述條件畫(huà)出的ABCABC和和ABC ABC 一定全等嗎？由此他能得出什么結(jié)論？一定全等嗎？由此他能得出什么結(jié)論？ 滿足條件的兩個(gè)三角形滿足條件的兩個(gè)三角形不一定全等，由此得出：兩不一定全等，由此得出：兩邊分別相等且其中一組等邊邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等一定全等. .;2 A=A= 80，B=B= 30， C=C=70.; 滿足上述條件畫(huà)出的滿足上述條件畫(huà)出的ABCABC和和 一一定全等嗎？由此他

22、能得出什么結(jié)論？定全等嗎？由此他能得出什么結(jié)論？ A B C 滿足條件的兩滿足條件的兩個(gè)三角形不一定全個(gè)三角形不一定全等，由此得出：三等，由此得出：三角分別相等的兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等三角形不一定全等. .;例例9 知：如圖，知：如圖，AC與與BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O， 且且AB= DC，AC = DB. 求證：求證：A =D.證明證明 銜接銜接BC.BC.在在ABCABC和和DCBDCB中，中， ABC DCB SSS. A =D.AB = DC，BC = CB 公共邊，公共邊，AC = DB ，;例例10 某地在山區(qū)建筑高速公路時(shí)需挖通一條隧道某地在山區(qū)建筑高速公路時(shí)需挖通一條隧道. 為估測(cè)這條隧道的長(zhǎng)度如圖，需