人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《21-2-4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)優(yōu)秀公開(kāi)課3

1、第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.重點(diǎn)：探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.難點(diǎn)：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1. 一元二次方程的求根公式是什么？2. 如何用判別式 b24ac 來(lái)判斷一元二次方程根的情況？課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn) 1：探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x4=0；(2)x25x+6=0；(3)2x2+3x+1=0.想一想 方程的兩根 x1，x2 與系數(shù)

2、a，b，c 有什么關(guān)系？一元二次方程兩根關(guān)系x1x2x2+3x4=0x25x+6=02x2+3x+1=0猜一猜1. 若一元二次方程的兩根為 x1，x2，則有 xx1=0，且 xx2=0，那么方程(xx1)(xx2)=0(x1，x2 為已知數(shù))的兩根是什么？將方程化為 x2+px+q=0 的形式，你能看出 x1，x2 與 p，q 之間的關(guān)系嗎？2. 通過(guò)上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根分別是 x1、 x2， 那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？要點(diǎn)歸納：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)如果 ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根為 x1、 x2，那么 x + x =

3、- b ， x x = c .(前提條件是12a1 2ab24ac0)探究點(diǎn) 2：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用典例精析例 1(教材 P16 例 4)利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積. (1) x26x15 = 0；(2) 3x2+7x9 = 0；(3) 5x1 = 4x2.方法總結(jié)：在運(yùn)用韋達(dá)定理求兩根之和、兩根之積時(shí)，先把方程化為一般式，再分別代入 a、b、c 的值即可.例 2已知方程 5x2+kx6=0 的一個(gè)根是 2，求它的另一個(gè)根及 k 的值.變式題已知方程 3x218x+m=0 的一個(gè)根是 1，求它的另一個(gè)根及 m 的值.例 3不解方程，求方程 2x2+3x1

4、=0 的兩根的平方和、倒數(shù)和.練一練設(shè) x1，x2 為方程 x24x+1=0 的兩個(gè)根，則：(1) x1 + x2 = ，(2) x1 x2 = ，(3)x 2 + x 2 = ，(4) (x - x )2 = .1212方法總結(jié)：求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí)，一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和，兩根之積的形式，再整體代入.12例 4設(shè) x1，x2 是方程 x22(k1)x + k2 =0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 x 2 + x 2 = 4，求 k的值.方法總結(jié)：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足的條件，求待定字母的值時(shí)，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)數(shù)根的條件，即所求的字母應(yīng)該滿(mǎn)足0.三、課堂小結(jié)根與系數(shù)的關(guān)系

5、的內(nèi)容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根為 x1、 x2，那么 x + x = - b ，x x = c .12a1 2a根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x12121 2(x - x )2 = (x + x )2 - 4x x12121 21 + 1 = x1 + x2x1x2x1 x2當(dāng)堂檢測(cè)1 已知一元二次方程 x2+px+q=0 的兩根分別為2 和 1，則 p = ， q = .2. 如果1 是方程 2x2x+m=0 的一個(gè)根，則另一個(gè)根是 ，m = .3. 已知方程 3x219x + m=0 的一個(gè)根是 1，求它的另一個(gè)根及

6、 m 的值.4.已知 x1，x2 是方程 2x2+2kx+k1=0 的兩個(gè)根，且(x1+1)(x2+1)=4. (1)求 k 的值；(2)求(x1x2)2 的值.5. 設(shè) x1，x2 是方程 3x2+4x3 = 0 的兩個(gè)根.利用根系數(shù)之間的關(guān)系，求下列各式的值：(1) (x1 + 1)(x2 + 1)；(2) x2 + x1 .x1x 2拓展提升6. 當(dāng) k 為何值時(shí)，方程 2x2kx+1=0 的兩根差為 1.7. 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 mx2-2mx+m-2=0 (1)若方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； (2)若方程兩根 x1，x2 滿(mǎn)足|x1-x2|= 1 求 m 的值.參

7、考答案自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1. 當(dāng)D 0 時(shí)，方程 ax2+bx+c=0 (a0)的實(shí)數(shù)根可寫(xiě)為 x =-b ± b2 - 4ac2a.2. 當(dāng)0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)0 時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn) 1：探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系想一想一元二次方程兩根關(guān)系x1x2x2+3x4=0-41x1+x2=-3，x1·x2=-4x25x+6=032x1+x2=5，x1·x2=62x2+3x+1=0- 12-1x1+x2= - 3 ，x1·x2= 122猜一猜1.方程(xx1)(xx2)=0(

8、x1，x2 為已知數(shù))的兩根是 x=x1 或 x=x2. (xx1)(xx2)=x2-(x1+x2)x+x1x2=0,x1+x2=-p，x1x2=q.2.x1+x2= - b ，x1x2= c .aa探究點(diǎn) 2：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用典例精析例 1 解：（1）這里 a=1 , b= 6 , c= 15 . = b2- 4ac =( 6 )2 4 × 1 ×( 15) = 96 >0. 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ( 6 ) =6，x1 x2 = 15 .（2）這里 a = 3 , b =7, c = -9.

9、=b2- 4ac = 72 4×3×(-9) =157 > 0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = - 7 ，x1 x2 = -9 = -3 .33（3）方程可化為 4x25x +1 =0，這里 a =4，b = 5，c = 1. = b2- 4ac =( 5)2 4×4×1=9>0.方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x1， x2，那么 x1 + x2 =- -5 = 5 ，x1 x244= 1 .4例 2 解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是 x1，x2，其中 x1=2 . 所以 x1 x2 =2x2=

10、- 6 .即 x2 = - 3 .5琪-由于 x1 + x2=2+ 驏 3桫= - k .555得 k=7.答：方程的另一個(gè)根是- 3 , k=7.5變式題解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是 x1，x2，其中 x1=1.所以 x1 + x2=1+ x2=6，即 x2=5 .由于 x1 x2=1×5= m ,3得 m=15.答：方程的另一個(gè)根是 5，m=15.例 3解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知： x + x= - 3 , x x= - 1 .（1） (x222 122222 1 22驏 3 2驏 1131 + x2 )= x1 + 2x1 x2 + x2 ,x1 + x2 = (x1 + x2 )

11、- 2x1x2 = 琪- 2´ 琪-=.（2） 11x1 + x2驏 3驏 1桫 2桫 24+=xxx x= 琪- 2¸ 琪 - 2= 3.121 2桫桫練一練（1）4（2）1（3）14（4）12例 4 解：由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得= 4(k-1)2-4k2 0，即-8k + 4 0.由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1+x2= 2(k-1) , x1 x2 =k 2.x2 + x2 = (x + x )2 - 2x x= 4(k-1)2 -2k2 =12121 2122k2-8k+4.由 x2 + x2 = 4，得 2k2-8k +4 =4，解得 k1=0，k2=4 .經(jīng)檢驗(yàn)，k2 =

12、4 不合題意，舍去.所以 k=0.當(dāng)堂檢測(cè)1.1-22. 3-323. 解：將 x = 1 代入方程中 3 -19 + m = 0.解得 m =16，設(shè)另一個(gè)根為 x1，則1´ x= c = 16 . x= 16 .1a3134. 解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得 x + x= -k, x x= k -1.121 22所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= k - 1 + (-k) +1 = 4. 解得 k=-7；2(2)因?yàn)閗=-7,所以x1 + x2 = -7, x1 x2 = -4.則(x - x )2 = (x + x )2 - 4x x = 72 - 4

13、´ (-4) = 65.12121 25. 解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得 x + x = - b = - 4 , x x = c = -1.12a31 2a（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= -1+ (- 4) +1 = - 4 .33（2） xxx2 + x2(x + x)2 - 2x x34 2 + 1 = 12 = 121 2 = -.x1x2x1x2x1x29拓展提升6. 解：設(shè)方程兩根分別為 x1，x2（x1x2），則 x1-x2=1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得xxk , x x1 . (x- x )2 = (x+ x )2 - 4x x= 1.驏k 21驏 k 22桫1 + 2 = 21 2 = 212121 2 琪- 4´ 2 = 1, 琪2= 3,k= ±2 3.桫7. 解 ：（ 1 ） 方 程 有 實(shí) 數(shù)