知識講解-《平面向量》全章復(fù)習(xí)與鞏固-提高(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量全章復(fù)習(xí)與鞏固編稿：孫永釗審稿：王靜偉【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.平面向量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；2.向量的線性運算（1）通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；（2）通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；（3）了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）了解平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（3）會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的

2、條件.4.平面向量的數(shù)量積（1）通過物理中"功"等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一：向量的有關(guān)概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的

3、長度).2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如等.(2)幾何表示法：用一條有向線段表示向量.如，等.(3)坐標(biāo)表示法：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量的起點為在坐標(biāo)原點，終點A坐標(biāo)為，則稱為的坐標(biāo)，記為=.3.相等向量：長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.兩向量與相等，記為.4.零向量：長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個，其方向是任意的.5.單位向量：長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：與任一向量共線.注：共線向量又稱為平行向量.7.相反向

4、量： 長度相等且方向相反的向量.要點二、向量的運算1.運算定義運 算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法+=記=(x1，y1)，=(x2，y2)則=(x1+x2，y1+y2)=(x2-x1，y2-y1)+=實數(shù)與向量的乘積記=(x，y)則兩個向量的數(shù)量積記則=x1x2+y1y22.運算律加法：(交換律)； (結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：； ；兩個向量的數(shù)量積：·=·； ()·=·()=(·)；(+)·=·+·3.運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且

5、只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合.其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.當(dāng)基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ). 向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點在原點時，定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=(x，y)；當(dāng)向量起點不在原點時，向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1)(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2

6、-x2y1=0.(3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量，則(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求線段的長度)；(垂直的判斷)； (求角度).要點詮釋：1. 向量的線性運算(1)在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進行向量的計算，將數(shù)和形有機結(jié)合，并能利用向量運算完成簡單的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問題，減法的三角形法則應(yīng)記?。哼B接兩端(兩向量的終點)，指向被減(箭頭指向被減數(shù)).記清法則是靈活運用的前提.2. 共線向量與三點共線問題向量共線的充要條件實質(zhì)上是由實數(shù)與向量的積得到的.通常用來判斷三點在同一條直

7、線上或兩直線平行.該定理主要用于證明點共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題.(1)用向量證明幾何問題的一般思路：先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來證明.(2)向量在幾何中的應(yīng)用：證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件(x1，y1)=(x2，y2)證明垂直問題，常用垂直的充要條件求夾角問題，利用求線段的長度，可以利用或【典型例題】類型一：平面向量的概念例1.給出下列命題：若|=|，則=；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=；=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/；其中

8、正確的序號是 .(2)設(shè)為單位向量，(1)若為平面內(nèi)的某個向量，則；(2)若與平行，則；(3)若與平行且，則.上述命題中，假命題個數(shù)是( )A.0B.1C.2D.3【思路點撥】利用平面向量的相關(guān)基本概念和基本知識進行判斷?！窘馕觥?1)不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；正確； ， 且，又 A，B，C，D是不共線的四點， 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且，因此，.正確； =， ，的長度相等且方向相同；又=， ，的長度相等且方向相同， ，的長度相等且方向相同，故=.不正確；當(dāng)/且方向相反時，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條

9、件，而是必要不充分條件；不正確；考慮=這種特殊情況；綜上所述，正確命題的序號是.(2)向量是既有大小又有方向的量，與模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時，故(2)、(3)也是假命題.綜上所述，答案選D.【總結(jié)升華】本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而容易遺忘.為此，復(fù)習(xí)時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想.向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念.舉一反三：【變式】判斷下列各命題正確與否：(1)；(2)；(3

10、)若，則；(4)若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；(5)對任意向量都成立；(6)對任意向量，有.【解析】(1)錯；(2)對；(3)錯；(4)錯；(5)錯；(6)對.【總結(jié)升華】通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別與聯(lián)系，重點清楚為零向量，而為零.類型二：平面向量的運算法則例2.如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量，表示出來.【思路點撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可.【解析】因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點A，B，C四點構(gòu)成平行四邊形ABCO，所以，=，

11、= =+，由于A，B，O，F(xiàn)四點也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=+=+=2+，同樣在平行四邊形BCDO中，=()=2，=-.【總結(jié)升華】其實在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點中，任兩點為起點和終點，均可用 ，表示，且可用規(guī)定其中任兩個向量為，另外任取兩點為起點和終點，也可用，表示.舉一反三：【變式1】設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：，.【解析】原式= ；原式= ；原式= .【變式2】設(shè)為未知向量，、為已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=0【解析】原方程可化為：(2-3)+(-5+)+(4-3)=0，=+.【總結(jié)升華】平面向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)中實數(shù)與未知數(shù)的運算法則，求

12、解時兼顧到向量的性質(zhì).類型三：平面向量的坐標(biāo)及運算例3.已知點，試用向量方法求直線和(為坐標(biāo)原點)交點的坐標(biāo).【解析】設(shè)，則因為是與的交點，所以在直線上，也在直線上.即得，由點得，.得方程組，解之得.故直線與的交點的坐標(biāo)為.例4.已知，按下列條件求實數(shù)的值.(1)；(2)；.【解析】(1)；(2)；.【總結(jié)升華】此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運算.舉一反三：【變式】平面內(nèi)給定三個向量，回答下列問題：(1)求滿足的實數(shù)m，n；(2)若，求實數(shù)k；(3)若滿足，且，求.【解析】(1)由題意得，所以，得.(2)，；(3)由題意得，得或.例5.已知(1)求；(2)當(dāng)為何實數(shù)時，與平行

13、， 平行時它們是同向還是反向？【解析】(1)因為所以，則(2)，因為與平行，所以即得.此時，則，即此時向量與方向相反.【總結(jié)升華】上面兩個例子重點解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運算中的體現(xiàn)，重點掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計算方法.舉一反三：【變式】已知=(3，4)，=(4，3)，求x，y的值使(x+y)，且x+y=1.【解析】由=(3，4)，=(4，3)，有x+y=(3x+4y，4x+3y)；又(x+y)(x+y)·=3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y= ；又x+y=1x+y=；(x+4y)(x+3y)=；整理得25x48xy+25y=即x(25x+2

14、4y)+24xy+25y= ；由有24xy+25y= ；將變形代入可得：y=±；再代回得：.【總結(jié)升華】這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想.類型四：平面向量的夾角問題 例6.|=1，|=2，= + ，且，則向量與的夾角為( )A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】設(shè)所求兩向量的夾角為，即：所以【總結(jié)升華】解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運算.向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑.對于這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握.舉一反三：【變式】與向量的夾角相等，

15、且模為1的向量是 ( )(A) (B) 或(C) (D)或【解析】設(shè)所求平面向量為，由或時，當(dāng)時，；當(dāng)時，故平面向量與向量的夾角相等.故選B.例7.設(shè)向量與的夾角為，且，則=_.【思路點撥】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算和平面向量的數(shù)量積，以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題.【解析】設(shè)，由得，故填.例8.已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角.【解析】由題意，且與的夾角為，所以，同理可得.而，設(shè)為與的夾角，則.例9.已知、都是非零向量，且+3與垂直，與垂直，求與的夾角。【思路點撥】把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0聯(lián)立求與的關(guān)系應(yīng)用夾角公式求結(jié)果。【解析】例10.已知向量，（1）求證：;（2

16、）若存在不等于0的實數(shù)k和t，使?jié)M足試求此時的最小值?！舅悸伏c撥】（1）可通過求證明;（2）由得，即求出關(guān)于k，t的一個方程，從而求出的代數(shù)表達式，消去一個量k，得出關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值。【解析】（1）（2）由得，即舉一反三：【變式】已知，其中.(1)求證：與互相垂直；(2)若與()的長度相等，求.【解析】(1)因為所以與互相垂直.(2)，所以， ，因為，所以，有，因為，故，又因為，所以.【總結(jié)升華】平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系.如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性.若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進行處理.可使

17、解題過程得到簡化，從而提高解題的速度.類型五：平面向量綜合問題例11.已知向量與的對應(yīng)關(guān)系用表示.(1)證明：對于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立；(2)設(shè)，求向量及的坐標(biāo)；(3)求使，(p，q為常數(shù))的向量的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)，則，故，(2)由已知得=(1，1)，=(0，-1)(3)設(shè)=(x，y)，則，y=p，x=2p-q，即=(2p-q，p).例12.求證：起點相同的三個非零向量，3-2的終點在同一條直線上.證明：設(shè)起點為O，=，=，=3-2，則=2(-)，=-， 共線且有公共點A，因此，A，B，C三點共線，即向量，3-2的終點在同一直線上.【總結(jié)升華】(1)利用向量平行證明三點共線，需分

18、兩步完成： 證明向量平行； 說明兩個向量有公共點；(2)用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：證明向量平行；說明兩向量無公共點.例13.已知.【思路點撥】，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式.【證明】設(shè)則.【總結(jié)升華】在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等.例14. 已知=(cosx+sinx,sinx), =(cosx-sinx,2cosx).（1）記f(x)= ·,若x0,，求f(x)的值域；（2）求證：向量與向量不可能平行.【解析】（1）f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x又f(x)的值域為-1，.（2）假設(shè)則2cosx(c