實(shí)數(shù)典型例題(培優(yōu))

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)相交實(shí)數(shù)典型問題精析（培優(yōu)）例1. （2009年烏魯木齊市中考題）V2的相反數(shù)是（）A. 一應(yīng) B,應(yīng)_2;C. 一 2 D.2文檔分析：本題考查實(shí)數(shù)的概念一一相反數(shù)，要注意相反數(shù)與倒數(shù)的區(qū) 別，實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a ,選A.要謹(jǐn)防將相反數(shù)誤認(rèn)為倒數(shù)，錯(cuò)選 D.例2. （2009年江蘇省中考題）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：1/+Z111/1+5；+且第1個(gè)數(shù)：2 I 2人第2個(gè)數(shù)：3 I 2人3人4第3個(gè)數(shù):143的45人 6 J；+zli'i + 4 "1 + 4 m 'i+klfn第n個(gè)數(shù):I 2人 3人 4八 2n那么，在第10個(gè)數(shù)、第11個(gè)數(shù)、第12

2、個(gè)數(shù)、第13個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（A）A,第10個(gè)數(shù)B.第11個(gè)數(shù)C.第12個(gè)數(shù) D,第13個(gè)數(shù)解析：許多考生對本題不選或亂選，究其原因是被復(fù)雜的運(yùn)算式子嚇住了，不善于從復(fù)雜的式子中尋找出規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律來作出正確的判斷.也有一些考生盡管做對了，但是通過寫出第 10個(gè)數(shù)、第11個(gè)數(shù)、第12個(gè)數(shù)、第13個(gè)數(shù)的結(jié)果后比較而得出答案的，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，影響了后面試題的解答，造成了隱 性失分.本題貌似復(fù)雜，其實(shí)只要認(rèn)真觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)數(shù)開始，減數(shù) 中的因數(shù)是成對增加的，且增加的每一對數(shù)都是互為倒數(shù)，所以這些數(shù)的減數(shù)11111- 、都是2,只要比較被減數(shù)即可，即比較11 12 13 14的大小，答案一目了

3、然.例3（荊門市）定義aXb=a2b,則（12）派3=.解 因?yàn)?aX b=a2b,所以（1 X2）派3= （12 2）派3= （ 1） X3=（1）2 3= 2.故應(yīng)填上2.說明：求解新定義的運(yùn)算時(shí)一定要弄清楚定義的含義，注意新定義的運(yùn)算符號與有理數(shù)運(yùn)算符號之間的關(guān)系，及時(shí)地將新定義的 運(yùn)算符號轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的運(yùn)算符號.例4 （河北?。┕畔ＥD著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10、，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16、，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”. 從如圖所示中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）A.13 = 3+

4、10B.25 = 9+16C.36 = 15+21D.49=18+314=1+39=3+616=6+10解 因?yàn)?5和21是相鄰的兩個(gè)“三角形數(shù)”，且和又是36,剛好符合 “正方形數(shù)”，所以36= 15+21符合題意，故應(yīng)選C.（說明 本題容易錯(cuò)選B, 事實(shí)上，25雖然是“正方形數(shù)”，而9和16也是“正方形數(shù)”，并不是兩個(gè)相鄰 “三角形數(shù)”）.例5. （2009年荊門市中考題）若Jx=_JT= =僅+y）2 ,則x y的值 為（）A. -1 B.1 C.2 D.3分析：因?yàn)?x-1 >0 , 1-x > 0,所以x > 1 , x < 1 ,即x=1.而由 2&

5、 -1 一出X =（x y）,有 1+y=0,所以 y = -1 , x y = 1- （1） =2.所以1 + 22 +23 + 22008 = 22009 -1 .仿照以上推理計(jì)算出1+5+52+5+52期的值是（）5 2009 _15 2010 _120092010- A. 5-1 B. 5-1 C. 4 D. 4解析：本題通過閱讀理解的形式介紹了解決一類有理數(shù)運(yùn)算問題的方232009法，利用例題介紹的方法，有：設(shè)S= 1+5 + 5 +5 +5,則5S =20105-1232009201020105+5 +5 + +5+5,因此 5S-S= 5-1 ,所以 S=4 ，選 D.說明：你能

6、從中得到解決這類問題的一般性規(guī)律嗎？試一試 .1例8.（2009年棗莊市中考題）a是不為1的有理數(shù)，我們把1-a稱為11_ 111 ；=二 .a1 = 一二a的差倒數(shù).如：2的差倒數(shù)是1-2, -1的差倒數(shù)是1-（-D 2.已知 3,a2是a1的差倒數(shù)，氏是的差倒數(shù),a4是生的差倒數(shù)，依此類推，則a2009 -解析：首先要理解差倒數(shù)的概念，再按照要求寫出一列數(shù)，從中找出規(guī)11'_1'a1 = 1 （）律，再應(yīng)用規(guī)律來解決問題.根據(jù)題意可得到：3, a2=334a3I1a4 = 1 413,，可見這是一個(gè)無限循環(huán)的數(shù)列，其循環(huán)周期3為 3,而 2009= 669X 3+2,所以

7、a2009 與 a2 相同，即 a2009 = 4 .典型例題的探索（利用概念）例 3.已知:是的算術(shù)數(shù)平方根,是 立方根，求 的平方根。分析：由算術(shù)平方根及立方根的意義可知a+b-2=2 <1 A，2"b+4=3 <2 > 聯(lián)立 <1><2>解方程組，得：代入已知條件得：，所以故加N的平方根是土。練習(xí)：1.已知，求的算術(shù)平方根與立方根。2 .若一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別為和 ，求 的值。（大小比較）例4.比較的大小。分析：要比較的大小，必須搞清a的取值范圍，由 知,此時(shí)仍無法比較，為此可將 a的取值分別為三種情況進(jìn)行討論，各個(gè)擊破。當(dāng)時(shí)，取

8、,則，顯然有當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，仿取特殊值可得（利用取值范圍）例5.已知有理數(shù)a滿足求的值。分析：觀察表達(dá)式中的隱含條件，被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)即,故原已知式可化為:-2004 - a .a-2005 = a a-2005 = 2004 a - 2005 = 20042 . a-20042 = 2005練習(xí)：若x、v、m適合關(guān)系式J3x +5y -3 - m + J2x+3y-m =，x-2005 + y + /2005-x-y 試求 m 的值。(思路：x-2005+y與2005-x-y互為相反數(shù)，且均有算術(shù)平方根，故二者分別為0)(規(guī)律探索)例6.借助計(jì)算器計(jì)算下列各題：(1)(2)(3)(4)仔細(xì)

9、觀察上面幾道題及其計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能解釋這一 規(guī)律嗎？分析：利用計(jì)算器計(jì)算得：(1), (2)(3), (4)觀察上述各式的結(jié)果，容易猜想其中的規(guī)律為：個(gè)1與n個(gè)2組成的數(shù)的差的算術(shù)平方根等于n個(gè)3組成的數(shù)。即實(shí)數(shù)思想方法小結(jié)實(shí)數(shù)是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，對于初學(xué)者來講，有些概念比較抽象、難 懂，但是，如果我們運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法來指導(dǎo)本章的學(xué)習(xí)，卻會(huì)收到良好的 效果.那么，在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算能力是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，估算思想就是在處理問題時(shí)，采 用估算的方法達(dá)到問題解決的目的，在遇到無理數(shù)的大小比較或確定無理數(shù)的 范圍等問題時(shí)，常用到估算的方法進(jìn)行解決

10、。例1估計(jì)班+1的值是()(A)在2和3之間(B)在3和4之間(C)在4和5之間(D)在5和6之間分析：此題主要考查學(xué)生的估算能力，首先要確定 年的取值范圍，在 估算赤+ 1的取值范圍。因?yàn)?V 10V 16,所以屈<10< V16 ,即3<V10< 4, 4<Vi0+1<5,從而可確定 匹+1的取值范圍。解：選C.、數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來的一種方法。通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ，使復(fù)雜問 題簡單化、抽象問題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的。在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)， 根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)

11、算等都能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要作用。例2如圖1,數(shù)軸上點(diǎn)A表示近，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B ,設(shè)點(diǎn)B 所表示白勺數(shù)為x,求(X必的化BA-0 萬圖1分析：此題是與數(shù)軸有關(guān)的數(shù)形結(jié)合的問題， 要求"一四)+«X的值, 需要先根據(jù)數(shù)軸確定x的值，由數(shù)軸易得x = -/2,從而可求出代數(shù)式的值。解：丁點(diǎn)A表示的數(shù)是 叵,且點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱，二點(diǎn)B表示的數(shù)是-板,即x =-(x - 2)0 .2x =(-,2 - -2)0 22 (f 2) =1 -2 = -1.三、分類思想所謂分類討論思想就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對象分成為數(shù)不多的幾 個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)加以解決，最

12、后予以總結(jié)做出結(jié)論的思想方法。 按照不同的標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)數(shù)會(huì)有一些不同的分類方法。22,3 -5,1,二，0.57,例3在所給的數(shù)據(jù)：30.585885888588885(相鄰兩個(gè)5之間8的個(gè)數(shù)逐次增加1個(gè))其中無理數(shù)個(gè)數(shù)().(A)2 個(gè)(B)3(C)4 個(gè)(D)5 個(gè)解析：作此類題需要掌握實(shí)數(shù)的分類.判斷一個(gè)數(shù)是哪類數(shù)，可以化簡2 x后再判斷，但是對于代數(shù)式分類判斷，則不能化簡后再判斷，如 x是分式，對 于數(shù)、式分類時(shí)，常用策略是：“數(shù)看結(jié)果，式看形式” .。22 =八=2；13/二5 = -V5 ；顯然V 22、3、0.57都是有理數(shù)；所以無理數(shù)的個(gè)數(shù)為3.選B.解釋理由如下：'171

13、_22 2= ：11m10n +11 1222 = ：11 1父10n 111 = ：11 1父（10n 1）Y 2n個(gè)1n個(gè)2 n個(gè)1n個(gè)1n個(gè)2 n個(gè)1n個(gè)1n個(gè)12=/9x 11 ;工2 =33_3 n個(gè)1n個(gè)3平方根典例分析平方根是學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的準(zhǔn)備知識，是以后學(xué)習(xí)一元二次方程等知識的必備基礎(chǔ)，也是中考的必考內(nèi)容之一 .現(xiàn)以幾道典型題目為例談?wù)勂椒礁鶈栴}的解 法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、基本題型例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根J52 1 二（1） 64 ; （2） （一3） ; （3） 49 .分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求一個(gè)數(shù)a的算術(shù)平方根可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的平方等于a的運(yùn)算，更具體地說，就是

14、找出平方后等于 a的正數(shù).解：（1）因?yàn)?2 =64,所以64的算術(shù)平方根是8,即洞=8；（2）因?yàn)椋?3）2 =點(diǎn)評：這類問題應(yīng)按算術(shù)平方根的定義去求.要注意（一3）的算術(shù)平方根是3,而不是3.另外，當(dāng)這個(gè)數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，然后再求其算 J6 /11-術(shù)平方根，不要出現(xiàn)類似） 497的錯(cuò)誤.想一想：如果把例1改為：求下列各數(shù)的平方根.你會(huì)解嗎？請?jiān)囈辉嚴(yán)?求下列各式的值2 =9,所以（一3）2的算術(shù)平方根是3,即+3）2=3；15 648 2 641581- =（一） 二-1（3）因?yàn)?9 49 ,又749 ,所以49的算術(shù)平方根是7 ,即(1) ± J81 ；(2)-

15、灰；(3) 225 ;(4)寸(-4)2 .分析：士，反1表示81的平方根，故其結(jié)果是一對互為相反數(shù)； V16表92示16的負(fù)平方根，故其結(jié)果是負(fù)數(shù)；, 25表示25的算術(shù)平方根，故其結(jié)果是正 數(shù)；J(")2表示(")2的算術(shù)平方根，故其結(jié)果必為正數(shù).解：(1)因?yàn)?92 =81 ,所以土 J81=±9.(2)因?yàn)?2 =16,所以新6 = -4.3 ： _9_叵 3(3)因?yàn)?<5J =25 ,所以 V25 = 5.(4)因?yàn)?42 =(一4)2,所以 J(-4)2 =4.點(diǎn)評：弄清與平方根有關(guān)的三種符號士 3、Q、"它的意義是解決 這類問題的關(guān)

16、鍵.± "a表示非負(fù)數(shù)a的平方根.表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根， Ja表示非負(fù)數(shù)a的負(fù)平方根.注意在a本土石.在具體解題時(shí)，符與“ 的前面是什么符號，其計(jì)算結(jié)果也就是什么符號，既不能漏掉，也不能多添 .例3若數(shù)m的平方根是2a+3和a-12 ,求m的值.分析：因負(fù)數(shù)沒有平方根，故m必為非負(fù)數(shù)，故本題應(yīng)分兩種情況來解. 解：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，故 m必為非負(fù)數(shù).(1)當(dāng)m為正數(shù)時(shí)，其平方根互為相反數(shù)，故(2a+3)+ (a-12) =0,解得 a=3,故2a+3 = 2>3+3 = 9, a-12 = 3-12=-9,從而 a = 92=81.(2)當(dāng)m為。時(shí)，其平方根仍是

17、0,故2a+3 = 0且3a-43 = 0,此時(shí)兩 方程聯(lián)立無解.綜上所述，m的值是81.二、創(chuàng)新題型I,例4先閱讀所給材料，再解答下列問題：若 "片1與蟲x同時(shí)成立，則x的值應(yīng)是多少？有下面的解題過程：4rx=1和都是算術(shù)平方根，故兩者的被開方數(shù)x1,1-x都是非負(fù)數(shù)，而x1和1x是互為相反數(shù).兩個(gè)非負(fù)數(shù) 互為相反數(shù)，只有一種情形成立，那就是它們都等于0, gPx-1=0, 1-x=0,故x = 1 .問題：已知y = -2x +M-1 +2,求xy的值.1 x =解：由閱讀材料提供的信息，可得 2x-1 = 0，故2 .進(jìn)而可得y=2.1 ； _ 1故xm 4.點(diǎn)評：這是一道閱讀

18、理解題.解這類問題首先要認(rèn)真閱讀題目所給的材 料，總結(jié)出正確的結(jié)論，然后用所得的結(jié)論解決問題.（穿墻術(shù)）例5請你認(rèn)真觀察下面各個(gè)式子，然后根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 寫出第、個(gè)式子.+ 16 = 41 父 16 = ,1M 42 = F, 1 父 J42 = 1 M 4 = 4 . v32 =、2 乂 16 = V2 X 42 ="；42 = 72 黑 4 = 4%歷；。48 = M3M16 =干3 M 42 = 3 x V42 = V3m4 = 4J3.分析：要寫出第、個(gè)式子，就要知道它們的被開方數(shù)分別是什么， 為此應(yīng)認(rèn)真觀察所給式子的特點(diǎn).通過觀察，發(fā)現(xiàn)前面三個(gè)式子的被開方數(shù)分別 是序數(shù)乘

19、以16得到的，故第、個(gè)式子的被開方數(shù)應(yīng)該分別是 64和80. ,> , t?解： v64 =、；4父16 = 4父42 =V4V42 =2父4=8；而=45父16 "5父42 =導(dǎo)充=5/4 =54= 4v5 .點(diǎn)評：這是一個(gè)探究性問題，也是一道發(fā)展數(shù)感的好題，它主要考查觀 察、歸納、概括的能力.解這類題需注意分析題目所給的每個(gè)式子的特點(diǎn)，然 后從特殊的例子，推廣到一般的結(jié)論，這是數(shù)學(xué)中常用的方法，同學(xué)們應(yīng)多多 體會(huì)，好好掌握！平方根概念解題的幾個(gè)技巧平方根在解題中有著重要的應(yīng)用.同學(xué)們想必已經(jīng)知到.但是，今天要告 訴同學(xué)們的是它的幾個(gè)巧妙的應(yīng)用.希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助.一、

20、巧用被開方數(shù)的非負(fù)性求值.大家知道，當(dāng)a>0時(shí)，a的平方根是土 Ja,即a是非負(fù)數(shù).例1、若$2 X _ JX -2 _y =6,求yx的立方根.分析 認(rèn)真觀察此題可以發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),即2-x>0,得x<2;x 20,得x>2;進(jìn)一步可得x=2.從而可求出y= 6.2-x >0x<2- <解,x-2>0,.了之 2x=2; 當(dāng) x=2 時(shí),y=6.yx=( 6)2=36.所以yx的立方根為3/36.二、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值.我們知道，當(dāng)a>0時(shí)，a的平方根是土 值 ,而(+仙)+ (-而)=0.例2、已知：一個(gè)正數(shù)的平方

21、根是 2a1與2 a,求a的平方的相反數(shù) 的立方根.分析 由正數(shù)的兩平方根互為相反得 ：(2a 1)+(2 a)=0,從而可求出 a=1,問題就解決了 .解 : 2a1 與 2a 是一正數(shù)的平方根，. (2a 1)+(2 a)=0, a=-1.a的平方的相反數(shù)的立方根是 3 =-1.三、巧用算術(shù)平方根的最小值求值.我們已經(jīng)知道 4之0,即a=0時(shí)其值最小，換句話說4a的最小值是零.例3、已知：丫二信二2+3+1),當(dāng)a、b取不同的值時(shí)，y也有不同的值.當(dāng)y最小時(shí)，求ba的非算術(shù)平方根.(即負(fù)的平方根)分析y= "'a2+而巧，要y最小，就是要和阿西最小，而'a-2 &

22、gt;0, v3(b+1) >0,SMM Ja-2=0和=0,可得 a=2,b=1.解.7口)0, J3(b+1)2 yja-2231),一口=。和 J3(b +1) =0 時(shí)，y 最小.由 Ma - 2 =0 和 43(b + 1) =0,可得 a=2,b= 1.所以ba的非算術(shù)平方根是-& = -1.四、巧用平方根定義解方程.我們已經(jīng)定義：如果x2=a (a>0)那么x就叫a的平方根.若從方程的 角度觀察，這里的x實(shí)際是方程x2=a (a>0)的根.例4、解方程(x+1) 2=36.分析 把x+1看著是36的平方根即可.解 v (x+1) 2=36.x+1 看著是

23、 36 的平方根.x+1= ±6. x1=5 , x2=- 7.例4實(shí)際上用平方根的定義解了一元二次方程(后來要學(xué)的方程).你能否解27(x+1)3=64這個(gè)方程呢？不妨試一試.利用平方根的定義及性質(zhì)解題如果一個(gè)數(shù)的平方等于a (a>0),那么這個(gè)數(shù)是a的平方根.根據(jù)這個(gè)概念，我們可以解決一些和平方根有關(guān)的問題.(例1與例2區(qū)別)例1已知一個(gè)數(shù)的平方根是2a-1和a 11,求這個(gè)數(shù).分析：根據(jù)平方根的性質(zhì)知：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零.解：由 2a1+a11=0,彳4 a=4,所以 2a 1=2X 4 1=7.所以這個(gè)數(shù)為72=49.例2

24、已知2a-1和a-11是一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù).分析：根據(jù)平方根的定義，可知 2a1和a-11相等或互為相反數(shù).當(dāng)2a-1=a- 11時(shí)，a=- 10,所以2a 1= 21,這時(shí)所求得數(shù)為( 21)2=441;當(dāng)2a1+a 11=0時(shí),a=4,所以2a 1=7，這時(shí)所求得數(shù)為72=49.綜上可知所求的數(shù)為49或441.(區(qū)別：類似3是9的平方根，但9的平方根不是3,是+3、-3.)例3已知2x1的平方根是土 6,2x+y -1的平方根是土 5,求2x3y+11 的平方根.分析：因?yàn)?x 1的平方根是土 6,所以2x1=36,所以2x=37;因?yàn)?x+y1的平方根是土 5,所以2x+y1=25

25、,所以y=26-2x=-11,所以 2x 3y+11=37 3X ( 11)+11=81,因?yàn)?1的平方根為土 9,所以2x-3y+11的平方根為土 9.例4若2nn-4與3mi- 1是同一個(gè)數(shù)的平方根，則 m為()(A) -3(B) 1(C) 3或 1(D) -1分析：本題分為兩種情況：(1)可能這個(gè)平方相等，即 2nn- 4=3mi- 1, 此時(shí)，m=-3; (2) 一個(gè)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，所以(2m-4) + (3nn- 1) =0,解得 m=1.所以選(C).練一練：已知x的平方根是2a- 13和3a 2,求x的值.已知2a- 13和3a-2是x的平方根，求x的值3.已知

26、 x+2y=10,4x+3y=15,求 x+y 的平方根.答案:1.49;2. 49 或 1225; 3. ±'5從被開方數(shù)入手二次根式中被開方數(shù)的非負(fù)性，時(shí)常是求解二次根式問題的重要隱含條 件。從被開方數(shù)入手，將會(huì)使很多問題迎刃而解。一、確定二次根式有意義例1.下列各式中一定是二次根式的是()分析：二次根式的兩個(gè)基本特征是帶二次根號“""，被開方數(shù)必為非負(fù)數(shù)。A中被開方數(shù)為負(fù)數(shù)；B中不帶“ J”，而是“曠”；D中被開方數(shù) 的正負(fù)無法確定；所以 A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有 C中的被開 方數(shù)y+4恒大于0,且?guī)А?J”，故選(C)。例2.x取何

27、值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。 GJ 也- J工-11（3） 1-2&守分析：使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必有被開方數(shù)大于等于00如果式子中含有分母，分母不能為 00解：由 2 X>0 , X - 1 >0 ,1 < X < 2 , .當(dāng) 1 & X & 2 時(shí)，式有意義；22由 2x1>0 （二.分母 2x10） . x>2 ,.當(dāng) x>2 時(shí)，式有意義；由 x 1>0, x2W0, . x>1 Hx2 , .當(dāng) x>1 且 xw2 時(shí)，式 有意義；由于（x 3）2 >0,，x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，式都有

28、意義。二、含有相反數(shù)的被開方數(shù)根式的化簡與求值例3,已知y=T-7 + 二+ 9 ,求（xy64） 1的算術(shù)平方根。分析：由被開方數(shù)x-7, 7-x互為相反數(shù)，且均需滿足被開方數(shù)大于 等于0。故x7=7 x=0,由此求出x、v。-7>0<解：由 口一X之 °.x7= 7x=0,得 x=7, .y = 9:歷麗=*倒義9-64| = 1例4,設(shè)等式癡二荷一何二荷二、東區(qū)一河J在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成/+初+/立。其中，m x、y是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，求代數(shù)式 9一/的值。解：由xwy, x廿0,y 0又被開方數(shù)x m>0 , my>0即ym<0即有 xm>0,

29、 ym< 0一加）之0 fn>0而被開方數(shù)叱一吟之0 .-。. m- 0將m=6弋入等式，得 .x= y>0.+初+/ (-4+(-力+/, 1-夕=(-»-(->-/ =3-=下面兩道練習(xí)題，同學(xué)們不妨試試。1 .x取何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。(1)T2x-3 (2)V3T+7 J-47 -4x-l J/-2x+22 .若 y=/i-2x +$2Ll+J(-iy ,試求(4x-2y) 2010 的值。實(shí)數(shù)大小進(jìn)行比較的常用方法實(shí)數(shù)的大小比較是中考及數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，不少同學(xué)感到困難?！皩?shí)數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)好其他知識的基礎(chǔ)。為幫

30、助同學(xué) 們掌握好這部分知識，本文介紹幾種比較實(shí)數(shù)大小的常用方法，供同學(xué)們參考。方法一：差值比較法 差值比較法的基本思路是設(shè) a, b為任意兩個(gè) 實(shí)數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)當(dāng)a b> 0時(shí)，得到a>b。當(dāng)ab<0時(shí)， 得到a<b。當(dāng)ab= 0,得到a=b。3 -11例1: (1)比較 5 與5的大小。(2)比較1 6與1 尺的大小。.3-1 1.3 - 2.3-1 1解 :5 5 =5<0 , 5< 5。解 v (1行)-(1黃)=<3-<2>0 ,1-V2 >1- V3o方法二：商值比較法商值比較法的基本思路是設(shè) a, b為任意兩

31、個(gè)旦旦旦正實(shí)數(shù)，先求出a與b得商。當(dāng)b <1時(shí)，a<b；當(dāng)b >1時(shí)，a>b；當(dāng)b =1時(shí), a=bo來比較a與b的大小。.371例2:比較 5 與5的大小。.3 1 1.371解：.- 5 + 5=V3T<1,. 5 < 5方法三：倒數(shù)法倒數(shù)法的基本思路是設(shè)a, b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先11分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)當(dāng)a > b時(shí)，a< b。來比較a與b的大小。例3：比較V2004 ,萬003與V2005 <2004的大小。1解 .<2004 - V 2003=72004+“，20031小進(jìn)行比較。例6:比較2#7與3收的大小解：.

32、- 2=V22 *7=v28 ? 3V3 = v/3rT3=v27又丁 28>27,：.2 汨 >3 元。方法七：取特值驗(yàn)證法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，有時(shí)取特殊值會(huì)更簡單。1例7：當(dāng)0 YxYl時(shí)，x2, X, 7的大小順序是 0111解：（特殊值法）取x=2,則：x2 = 4, x=2o1112. 4 < 2 <2, . . x < x< x。1 1例（常德市）設(shè) a = 20, b=（3）2, c=R, d=l2） ,則 a、b、c、 d按由小到大的順序排列正確的是（）A.c<a<d<b B.b <d<a<c C.a &l

33、t;c<d<b D.b <c< a<d分析 可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較大小.3_ 口 丫解 因?yàn)?a= 20= 1, b = （ 3）2 =9, c= 9 = 9 , d=、2，=2, 而一將<1<2<9,所以c<a<d<b.故應(yīng)選A.除以上七種方法外，還有利用數(shù)軸上的點(diǎn)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大； 以及絕對值比較法等比較實(shí)數(shù)大小的方法。對于不同的問題要靈活用簡便合理 的方法來解題。能快速地取得令人滿意的結(jié)果。無限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)我們知道小數(shù)分為兩大類：一類是有限小數(shù)，一類是無限小數(shù).而無限 小數(shù)又分為兩

34、類：無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù).有限小數(shù)都可以表示成十 分之幾、百分之幾、千分之幾，很容易化為分?jǐn)?shù).無限不循環(huán)小數(shù)即無理 數(shù)，它是不能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的.但無限循環(huán)小數(shù)卻可以化成分?jǐn)?shù)，下面請看：探索（1）:把0.323232（即0.3 2）化成分?jǐn)?shù).分析：設(shè) x=3 2=0.32+0.0032+0.000032+ 上面的方程兩邊都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+ 得 100x x=32 99x=32 x= 32所以 0323232=9902 =30232990.3用同樣方法，我們再探索把0.5 , 0.3 02化為分?jǐn)?shù).可知0.5 = 5 , 9我們把循環(huán)節(jié)從

35、小數(shù)點(diǎn)后第一位開始循環(huán)的小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)，通過 上面的探索可以發(fā)現(xiàn)，純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾，化成分?jǐn)?shù)的分母就 有幾個(gè)9組成，分子恰好是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字.探索（2）:把0.4777和0.325656化成分?jǐn)?shù)分析：把小數(shù)乘以10得0.4777義10=4.777 再把小數(shù)乘以100得0.4777義100=47.77 得 0.4777X 100-0.4777X 10=47- 4 0.4777 X 90=43 0.4777 =砧 所以 0.4777再分析第二個(gè)數(shù)0.325656化成分?jǐn)?shù).把小數(shù)乘以100得0.325656X 100=32.5656 把小數(shù)X 10000得0.325656X 10

36、000=3256.56 得0.325656X （ 10000 100） =3256-32實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)3224同樣的方法，我們可化0.172 5=170899000. 32 9=3260.325656 X 9900=3224 0.325656 =-9900文檔我們把循環(huán)節(jié)不從小數(shù)點(diǎn)后第一位開始循環(huán)的小數(shù)叫做混循環(huán)小數(shù).混 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律是：循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)是n,分母中就有n個(gè)9,第一個(gè)循環(huán)節(jié)前有幾位小數(shù)，分母中的9后面就有幾個(gè)0,分子是從小數(shù)點(diǎn)后第一位直到第一個(gè)循環(huán)節(jié)末尾的數(shù)字組成的數(shù)，減去一個(gè)循環(huán)節(jié)數(shù)字的差，例如 0.172 5 化成分?jǐn)?shù)的分子是1725 17=1708, 0. 32. 9化

37、成分?jǐn)?shù)的分子是 329 3=326.用數(shù)形結(jié)合思想解實(shí)數(shù)中問題數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的解題思想方法，它可以使較繁雜或難解的題 目由繁變簡，化難為易，出奇制勝，下面舉例說明用數(shù)形結(jié)合思想解實(shí)數(shù)中的 問題。例1實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，那么化簡|a+b|+a）2的結(jié)果是（）II,a0 b圖1A、2b B 、2a C 、一 2a D 、一 2b分析：由圖1可觀察出b>0, a<0, a+b<0, b a>0然后可化簡。解：觀察圖1實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置可判定 b>0, a<0, a+b<0, b-a>0,然后化簡 |a+b|+、'（

38、ba） =- （a+b） +b a= 2a,故選 C=點(diǎn)評：借用數(shù)軸判斷出某些字母（數(shù)）的大小，然后化簡是實(shí)數(shù)化簡經(jīng) 常用的一種方法。例2如圖2,數(shù)軸上表示1、5的對應(yīng)點(diǎn)為A、B,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）（也可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式x中點(diǎn)a=Xb+Xc）CAB IlliA，2-1 B、1 - v2 c、2- v2 d、22分析：通過A B兩點(diǎn)所表示的數(shù)求出C點(diǎn)坐標(biāo)解：我們知道實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，由圖2知，|OA|=1 , |OB|= <2 , 從而 |AB|=|OB| |OA|=V2 1又點(diǎn)B、點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對稱. |AC|=|AB|= <2 1這時(shí) |OC|=|OA| |AC|=1 （ <2 - 1） =2 V2即點(diǎn)C所表示白t點(diǎn)為2 <2 ,故選C。點(diǎn)評：本題借用數(shù)軸和點(diǎn)的對稱性求出C點(diǎn)坐標(biāo)。0.04例3某種零件的合格品規(guī)格為（小50，.。11I I h-0.05 -0.0300.04 0.06圖3點(diǎn)評：有些實(shí)際問題不好解決時(shí)，借用數(shù)軸可出奇制勝化簡：|a+2| |2a 3| （零點(diǎn)分段