1.2應(yīng)用舉例第一課時(shí)精品教案

1、1.2應(yīng)用舉例【課題】：1.2.1 解三角形在測(cè)量寬度上的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能目標(biāo)：初步運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.2、過(guò)程與方法目標(biāo)：(1)通過(guò)解決“測(cè)量平面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離”和“測(cè)量一個(gè)底部不能到達(dá)的建筑物的高 度”的問(wèn)題，初步掌握將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問(wèn)題的方法；(2)進(jìn)一步提高應(yīng)用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：(1)通過(guò)學(xué)生親自實(shí)施對(duì)“測(cè)量”問(wèn)題的解決，體會(huì)如何將具體的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，體 驗(yàn)問(wèn)題解決的全過(guò)程；(2)發(fā)展學(xué)生搜集和處理信息的能力

2、、獲取新知識(shí)的能力、分析解決問(wèn)題的能力，以及交流與合作的能 力，著重學(xué)生多元智能的發(fā)展.【教學(xué)重點(diǎn)】重點(diǎn)是如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用解斜三角形的方法予以解決.【教學(xué)難點(diǎn)】分析、探究并確定將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路是難點(diǎn)和關(guān)鍵.【課前準(zhǔn)備】Powerpoint課件或投影片.【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題1、如圖，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A、B兩點(diǎn)間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)最好選用A 7a)KT7 B(A) “，a, b/(B) a , 3 , aa /b(C) a , b, 丫 尸 /(D) a , 3 , by，生：最好選用的數(shù)據(jù)是C,可以c"

3、直接根據(jù)余弦定理求出AB的距離，其他數(shù)據(jù)也可以求出 AB的距離，但不是最佳.C問(wèn)題2、為了測(cè)量上海東方明珠塔的高度，某人站在A川處測(cè)得塔尖的仰角為 75.5 0,前進(jìn)38.5m后到達(dá)B處，測(cè)/j得塔尖的仰角為80.0 0。問(wèn)這個(gè)人怎么才能計(jì)算出塔的高/于田也工"/生：宥寸：在 ABC中，利用正弦定理求出BC的長(zhǎng)；/ /第二步：在 RtBCD中，利用 CD= BCsin/CBDfRT/ /求出塔的高度。/ / 75.50 / 80.00復(fù)習(xí) 利用正弦 定理與余 弦定理解 三角形， 通過(guò)探討 的形式， 提高學(xué)生 的學(xué)習(xí)興 趣.ABD新 題 探 究測(cè) 量 距 離 問(wèn) 題例1、如圖所示，設(shè)

4、A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離.測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn) C,測(cè)出AC的距離是56 m, /BAC= 750, / ACB = 600,求A、B兩點(diǎn)間的距離.通過(guò)對(duì)例 題1及其 變式的探 究，引導(dǎo) 學(xué)生總結(jié) 解三角形 應(yīng)用題的 一般步驟 和基本思 路。讓學(xué) 生在探討問(wèn)題的過(guò) 程中，感 受數(shù)學(xué)的 應(yīng)用價(jià) 值、人文 價(jià)值和美 學(xué)價(jià)值。生：根據(jù)正弦定理，得AB _ ACsin. ACB - sin. ABC= 28.6AC sin . ACB故 AB 二sin . ABC56sin 600sin(1800 -75° -60°)答：A B兩點(diǎn)間的距離為

5、28J6 m變式：某觀察站C在城A的南偏西20°的方向（如圖），由城出發(fā)的一條公路，走 向是南偏東40°,在C處測(cè)得公路B處有一人距C為31公里，正沿公路向A城走 去，走了 20公里后到達(dá) D處，此時(shí)CD間的距離為21公里，問(wèn)這個(gè)人還要走多生：在 CD珅，由 CE)= BE)+ BCC-2X BDX BCcosB得222-2321 = 20 +31 -2X 20X 31cosB,解得 cosB =一 ,31故sinC =sin(1800 - CAB -B)=sin(1200 - B)=35、: 362設(shè)AD= x,在 ABC中，由正弦定理CB AB sin CAB sin

6、C3120 x 得 3 0 = -0= 20 + x=35,故 x=15sin600 sinC答：這個(gè)人還要走15公里才能到達(dá) A城.師：從上面兩個(gè)例題，可以總結(jié)出應(yīng)用正弦、余弦定理解斜三角形應(yīng)用題的一般 步驟是什么？生：主要步驟有4步 分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖； 建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型； 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解; 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否具有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.師：解這類問(wèn)題的基本思路是什么？生：實(shí)際問(wèn)題一數(shù)學(xué)問(wèn)題（三角形）一數(shù)學(xué)問(wèn)題的解（解三

7、角形）一實(shí)際問(wèn)題的 解.例2如圖所示，兩點(diǎn) 為1. 5m的測(cè)角儀器， 是12m,計(jì)算煙囪的高C, D與煙囪底部在同一水平直線上，在點(diǎn) G, D,利用高 測(cè)得煙囪的仰角分別是= 45。和3 =60。，C, D間的距離 AB（結(jié)果精確到 0. 01m）C D生：在 BCD 中，/ BDG= 1800 3 = 1800-600= 1200BD A/ CBD= 180°/ BDO- & =600-450= 150,由正弦定理，得CDBC1sin . C1BD1sin. BD1C1C1D1 sin . BD1cl 12sin1200sin C1BD1sin150= (18、. 2 6.

8、6)(m)從而AB測(cè) 量 高 度 問(wèn) 題因此='2 BC1 =18 6,3 : 28.392( m)2AB= AB+ AA=28. 392 + 1. 5=29. 892 = 29. 89(m)答：煙囪的高約為 29. 89m .鞏固練習(xí)：如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn) A的俯角& = 600,在塔底C處測(cè)得點(diǎn)A的俯角3 =450,已知鐵塔BC部分高32米，求山高 CD深化將實(shí) 際問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為數(shù)學(xué) 問(wèn)題的過(guò) 程與方 法，培養(yǎng) 學(xué)生探究 解決問(wèn)題 的方法、 思路與策 略，提高 學(xué)生應(yīng)用 所學(xué)知識(shí) 解決問(wèn)題 的能力。 并利用鞏 固練習(xí)， 通過(guò)反饋 矯正，了 解學(xué)生對(duì) 本節(jié)教

9、學(xué) 內(nèi)容的掌 握情況， 及時(shí)給予 調(diào)整。所-解：在 ABC中，/ ABC=3O , / ACB =135/ CAB =180° ( / ACB吆 ABC)=18O° 又 BC=32,(135 ° +30° )=15 ° ,由正弦定理 一BC一 = -AC- ,得sin BAC sin ABCBCsin ABC 32sin 3016AC = sin BAC sin15 sin15在等腰RtAACD,故CD = AC = x 16= 8 石一16(V3 +1)22 sin15 sin15，山的高度為16(、與十1)米.讓學(xué)生嘗試圖考題，激發(fā)學(xué)生的成

10、（2004年江西高考題） 如圖所示，要測(cè)量河對(duì)岸兩地A、B之間的距離，在岸邊嘗試高考選取相距100，3米的C、D兩地，并測(cè)得/ ADC=30、/ADB=45、/ ACB=75、 /BCD=45 , A、B C、D四點(diǎn)在同一平面上，求 A、B兩地的距離.提的興 ，生刁 感學(xué)>O就高學(xué)®<(圖5)通過(guò)學(xué)生 的主體參 與，加深 學(xué)生對(duì)解 三角形應(yīng) 用題的方 法的掌 握。已知條件應(yīng)用定理一®解法一邊和兩角 (如 a, B, C)正弦定理由A+B+ C=1800,求角 A;由 正弦定理求出b與c。在有解時(shí) 只有一解兩邊和夾角 (如 a, b, C)余弦定理、 正弦定理由余

11、弦定理求第三邊 c;由正弦定理求出小邊所對(duì)的角；再由 A + B+ C= 1800求出另一角。在 有解時(shí)只有一解。三邊(如a , b, c)余弦定理由余弦定理求出角 A、B;再利 用A+B+ C= 1800求出Co在有 解時(shí)只有一解。兩邊和其中一 邊的對(duì)角(如 a, b, A)正弦定理、 余弦定理由正弦定理求出角 B ;由A + B + C= 1800,求出角C;再利用 正弦定理或余弦定理求 c。可啟 物解、一解或無(wú)解。解：在 ACD4/DAC=180 (/ ACD廿 ADC =180° (75° +45° +30° )=30， ACD是等腰三角形，即

12、AC=CD=00j3在 BCD43二60/CBD=180 (/ BCD+Z BDC =180° (45° +45° +30BC DC /曰由正弦定理=,得sin BDC sin DBCDC sin . BDC 100 3sin75BC200sin 75sin . DBC sin60在 ABC中由余弦定理，_ 2_22AB =CA CB - 2CA CB cosC-(100 3)2 (200sin 750)2 -2 100、.3 200sin 750 cos7502二5 100AB =100,5所求A、B兩地間的距離為100<5米.采用師生互動(dòng)形式完成:1、解

13、三角形常見(jiàn)類型及解法2、解三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的情況：實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正 弦定理或余弦定理求解. 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后， 已知量與未知量涉及到兩個(gè) (或兩個(gè)以上)三角形, 這時(shí)需要作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求出其他三角形 中的解，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程，解方程得出所要求 的解.作業(yè)布置1、教材69頁(yè) 練習(xí)2 2,習(xí)題23 A組 22、如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸 A B兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到一點(diǎn)C,從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn) A、B.找到/s另一個(gè)點(diǎn)D,從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn) A、C,找到一個(gè)戾，點(diǎn)E,從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn) B、C,

14、并測(cè)量得到圖中涔毛一些數(shù)據(jù)，求a、b兩點(diǎn)間距離.療%/y鞏固學(xué)生 對(duì)本節(jié)學(xué) 習(xí)內(nèi)容的 理解和掌 握。思考題如圖，有一條河 MN河岸的一側(cè)有一高建筑物 AB, 一人位于河岸另一側(cè) P處， 手中桿-個(gè)測(cè)角器（可以測(cè)仰角）和一個(gè)可以測(cè)量長(zhǎng)度的皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度不超過(guò)5米）.請(qǐng)你設(shè)一種測(cè)量方法（不允許過(guò)河），并給出計(jì)算建筑物的高度 AB及PA的距離公式，希望你的方案中被測(cè)量的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)盡量少.培養(yǎng)學(xué)生 的動(dòng)手能 力和發(fā)散 思維，進(jìn) 一步加深 對(duì)本節(jié)知 識(shí)理解。設(shè)計(jì)反思特色班在解決問(wèn)題 1、問(wèn)題2和例1會(huì)比較順利，解決例1變式時(shí)可能有點(diǎn)難度。對(duì)于例2及具變式，則需要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決。由于解三角

15、形運(yùn)算量相對(duì)較大，故利用例 1變式、例2鞏固練習(xí)和2004年江西高考題作為課 堂練習(xí)題即可，不必另加練習(xí)題。練習(xí)與測(cè)試:1、在 ABC 中，已知 A=30 0, B=300, c = 243,則 a =, b =。解：由已知可得，4ABC是等腰三角形，C= 120°,則,c sin A 2.3 sin 30°a =b° =2.八冗 一，AC =，則 A =3sinC sin120°2、在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,若a=1, c=J3,a c asinC解:=:sin A =sin A sin Cc3、兩座燈塔 A和B與海洋

16、觀察站 C的距離都等于a km ,燈塔A在觀察站C的北偏東20°.燈塔B在觀 察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為（）km.A、ab、2aC、2aD、43a解：在 ABC 中，/ ACB = 120°, AB 2=a2 +a2 -2a2 cos12°°,AB=V3a選 d30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城4、臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（）A . 0.5小時(shí) B, 1小時(shí)C. 1.5小時(shí) D, 2小時(shí)解：設(shè)A地東北方向上點(diǎn) P到B的距離為30千米，AP=x

17、,在4ABP中 PB2 = AP2 + AB2 2AP - AB - cosA,即 302=x2+402 2x 40cos45°化簡(jiǎn)得 x2 -4°，2x 7°° u° 22| x1 x2 | = （x + x2）-4x 1x2=400,|x 1 x2 | = 20,即 CD= 20為 CD 20,故 t = 一 = 1 ,選 B。v 205、如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)白兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D .現(xiàn)測(cè)得/BCD = % /BDC =P, CD =s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂 A的仰角為9 ,求塔高AB .解：在 4BCD 中，

18、/CBD = ：taP由正弦定理得一BCCDsin. BDC sin. CBDCD sin . BDC 所以BC二sin . CBDs4sin :sin（二；“1）在 RtzXABC 中，AB = BC tanACB = - tan ° sin °sin（'：）B6、如圖，甲船以每小時(shí)30 J2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于 A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西 105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10 J2海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里?北.A2B

19、2io5AiBi甲解法一：如圖，連結(jié) A1B1 ,由已知A2B2 =10五,AA2 =30拒父”=10&, j. AA2=A2B1,60又 / AA2B2 =180，120，=60°,.AA2B2 是等邊三角形,，AB2=A4=10板，由已知，AB=20, / BAB2 =105 60 =45 ,在A1B2B1中，由余弦定理,乙B1B； =AB12 人以-2A1B2LAB2JCos45 =202 （10% 2）2 -2 20 10 2 2= 200.B1B2 -10 .2,因此，乙船的速度的大小為1°五!60 = 30石（海里/小時(shí)）.20答：乙船每小時(shí)航行 30 . 2海里.解法二：如圖，連結(jié) A2B1 ,由已知 A& =20, AA2=30J2M