線性代數(shù)試題精選與精解(共21頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性代數(shù)試題精選與精解（含完整試題與詳細(xì)答案，2020考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練）一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.設(shè)3階方陣A=（1，2，3），其中i（i=1,2,3）為A的列向量，若| B |=|（1+22，2，3）|=6，則| A |=( )A.-12B.-6C.6D.12【答案】C【解析】本題考查了矩陣行列式的性質(zhì)。有性質(zhì)可知，行列式的任意一列（行）的倍加至另一列（行），行列式的值不變。本題中，B是由A的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不變，因此選C?！咎嵝选啃辛惺降男再|(zhì)中，主要掌握這幾條：（1）互換行列式的兩行或兩列行列式要變號；（

2、2）行列式的任意一行（列）的倍加至另一行（列），行列式的值不變；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。【點評】本題涉及內(nèi)容是每年必考的，需重點掌握。熱度：；可出現(xiàn)在各種題型中，選擇、填空居多。【歷年考題鏈接】（2008,4）1設(shè)行列式D=3，D1=，則D1的值為（）A-15B-6C6D15答案：C。2.計算行列式=( )A.-180B.-120C.120D.180【答案】A【解析】本題考查了行列式的計算。行列式可以根據(jù)任意一行（列）展開。一般來說，按含零元素較多的行或列展開計算起來較容易。本題，按第三列展開，有： 【提醒】還要掌握一些特殊矩陣的行列式的計算，如對角矩陣，上

3、（下）三角矩陣，還有分塊矩陣?！军c評】行列式的計算是每年必考的，常出現(xiàn)在選擇、填空和計算中，選擇、填空居多。近幾年，填空題的第一題一般考察這個內(nèi)容。需重點掌握。熱度：?！練v年考題鏈接】（2008,1）11.若則k=_.答案：1/2。3.若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=( )A.B.2C.4D.8【答案】C【解析】本題考查了逆矩陣行列式的計算，和矩陣行列式的運算性質(zhì)。由于由已知| A-1 |=2，從而，所以?！咎嵝选坷斡浌剑?，以及由推出的。其中n為A的階數(shù)?！军c評】本題涉及內(nèi)容是矩陣行列式的運算性質(zhì)，需重點掌握。熱度：；可出現(xiàn)在各種題型中，選擇、填空居多?！練v年考題鏈接】（

4、2008,4）4設(shè)A為n階方陣，n2，則=（）A（-5）nB-5C5D5n答案：A。4.設(shè)1，2，3，4都是3維向量，則必有( )A.1，2，3，4線性無關(guān)B.1，2，3，4線性相關(guān)C.1可由2，3，4線性表示D.1不可由2，3，4線性表示【答案】B【解析】本題考查了向量組線性相關(guān)性。由結(jié)論可知，向量組中向量的個數(shù)大于維數(shù)，則此向量組線性相關(guān)。本題中，向量個數(shù)4，維數(shù)3，故線性相關(guān)?！咎嵝选空堄涀∨袛嘞蛄拷M線性相關(guān)與否的結(jié)論。如：向量組的個數(shù)如果和維數(shù)相同的話，可以通過計算以這些向量為行（列）組成的行列式的值，如果值為零，則原向量組線性相關(guān)，否組線性無關(guān)。【點評】本題涉及內(nèi)容是每年必考的，常出

5、現(xiàn)在選擇和計算題中。熱度：；可出現(xiàn)在各種題型中，選擇、填空居多?！練v年考題鏈接】（2008,7）5.已知向量組A：中線性相關(guān)，那么（）A. 線性無關(guān)B. 線性相關(guān)C. 可由線性表示D. 線性無關(guān)答案：B。5.若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2，則r(A)=( )A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】本題考查了齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系的性質(zhì)：基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為未知數(shù)的個數(shù)減去A的秩。本題中，未知數(shù)的個數(shù)為6，基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2。由結(jié)論可知，A的秩為4?！咎嵝选苛硗庖斡浕A(chǔ)解系的含義：首先，基礎(chǔ)解系中每個向量都是解向量，它們是線性無關(guān)的；

6、其次，方程組的所有解可以由它們線性表出?！军c評】本題涉及內(nèi)容是大綱要求的重點內(nèi)容，每年必考的，常出現(xiàn)在選擇和計算題中。熱度：?！練v年考題鏈接】（2010,1）6.設(shè)A是4×6矩陣，r（A）=2，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)是（ ）A.1B.2C.3D.4答案：D。6.設(shè)A、B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則( )A.A與B相似B.| A |=| B |C.A與B等價D.A與B合同【答案】C【解析】本題考查了矩陣相似、等價與合同等概念的區(qū)別。因為r(A)=r(B)，故A、B通過初等變換可以互相轉(zhuǎn)化，從而A與B是等價的。【提醒】（1）若A,B為同型矩陣，A通過初

7、等變換可以轉(zhuǎn)化為B，則稱A與B等價。 （2）若存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則稱A與B相似。相似矩陣有相同的行列式和相同的特征值。 （3）若存在可逆矩陣P，使得P，AP=B，則稱A與B合同。若A與B合同，則它們也是等價的?！军c評】這些概念與相關(guān)性質(zhì)幾乎是每年必考的，常出現(xiàn)在選擇和填空題中。熱度：?！練v年考題鏈接】（2008,7）7.若A與B相似，則（）A.A，B都和同一對角矩陣相似B.A，B有相同的特征向量C.A-E=B-ED.|A|=|B|答案：D。7.設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為2,1,0則| A+2E |=( )A.0B.2C.3D.24【答案】D。【解析】本題考查了特征值的性質(zhì)

8、。已知A為3階方陣，特征值分別為2,1,0，根據(jù)性質(zhì)：，可得，A+2E的特征值為2+2，1+2,0+2，即：4,3,2。再根據(jù)性質(zhì)：若n階矩陣 A 的特征值為 ，則，可得，| A+2E |=432=24。【提醒】；若n階矩陣 A 的特征值為 ，則?！军c評】本題涉及內(nèi)容是考試熱點，每年必考的，常出現(xiàn)在選擇和填空中。熱度：。【歷年考題鏈接】（2008,7）18.設(shè)三階方陣A的三個特征值為1，2，3. 則|A+E|=_.答案：24。（2010,1）9.設(shè)矩陣A=的三個特征值分別為1，2，3，則1+2+3 = （ ）A.4B.5C.6D.7答案：B8.若A、B相似，則下列說法錯誤的是( )A.A與B等

9、價B.A與B合同C.| A |=| B |D.A與B有相同特征值【答案】B【解析】本題考查了相似矩陣的性質(zhì)。首先，相似矩陣有相同的行列式和相同的特征值；其次，由定義，A與B相似則存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B。因為可逆矩陣P-1和P都能寫成若干初等矩陣的乘積，而左乘初等矩陣相當(dāng)于相應(yīng)行變換，右乘初等矩陣相當(dāng)于相應(yīng)列變換，由P-1AP=B可知，A通過若干初等變換可以互相轉(zhuǎn)化為B，從而A與B是等價的。用排除法可知本題選B?！咎嵝选浚?）若存在可逆矩陣P，使得P，AP=B，則稱A與B合同。若A與B合同或相似，則它們也是等價的，反之不一定成立。 （2）若存在正交矩陣P，使得P-1AP=B，則可以得

10、到A,B合同?！军c評】本題與上面的第6題都考察了矩陣等價、合同、相似等概念和性質(zhì)，這些內(nèi)容需重點掌握，常出現(xiàn)在選擇和填空題中。熱度：?！練v年考題鏈接】（2007,10）8設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為2，2，3. 則|B-1|=（）ABC7D12答案：A。9.若向量=（1，-2,1）與=(2，3，t)正交，則t=( )A.-2B.0C.2D.4【答案】D。【解析】本題考查了向量的正交性。如果，則向量正交。向量=（1，-2,1）與=(2，3，t)正交，由得，解得?！咎嵝选?維向量正交性和空間解析幾何中的向量垂直是相同的。記得什么是正交矩陣嗎？【點評】本題涉及內(nèi)容近年?？迹喑霈F(xiàn)填空中。

11、熱度：。【歷年考題鏈接】（2008,7）9.下列向量中與=（1，1，-1）正交的向量是（）A. =（1，1，1）B. =（-1，1，1）C. =（1，-1，1）D. =（0，1，1）答案：D10.設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則( )A.A正定B.A半正定C.A負(fù)定D.A半負(fù)定【答案】B?！窘馕觥勘绢}考查了實對稱矩陣正定性的判定。n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特征值全是正數(shù)。n階對稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。【提醒】n階對稱矩陣A正定的另一個充分必

12、要條件是：A的 n 個順序主子式全大于零。【點評】正定性的判定是考察的重點。本題涉及內(nèi)容是考試熱點，每年必考的，常出現(xiàn)在選擇和填空中。熱度：?！練v年考題鏈接】（2007,10）20若實對稱矩陣A=為正定矩陣，則a的取值應(yīng)滿足_.答案：。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.設(shè)A=,B=，則AB=_.【答案】?！窘馕觥勘绢}考查了矩陣的乘法運算。將A中的第i行元素分別與B中的第j列對應(yīng)元素相乘相加就得到新矩陣的第i行第j列元素，因此AB=?！咎嵝选恐挥挟?dāng)A的列數(shù)和B的行數(shù)相同的話，A，B才能相乘。另外，矩陣的乘法運算性質(zhì)也要牢記

13、（特別矩陣乘法不滿足交換律）?！军c評】矩陣乘法運算屬基本技能，是考試熱點，多出現(xiàn)在填空中，也有在計算題里?？荚嚐岫龋??！練v年考題鏈接】(2008,1) 12.設(shè)A= ,B=則AB=_.答案：。12.設(shè)A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A-1 |=_.【答案】9?！窘馕觥勘绢}與第3題考查內(nèi)容基本相同?！咎嵝选恳姷?題?！军c評】見第3題。13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_.【答案】為任意常數(shù)）。【解析】本題考察的是線性方程組通解的求法。簡述如下：先用初等行變換將增廣矩陣化為行階梯型矩陣，找到系數(shù)矩陣的秩，看增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩是否相等，若是，說明有解，否則無解；有解時，若系數(shù)

14、矩陣的秩小于未知數(shù)個數(shù)，則方程組有無窮多解，存在基礎(chǔ)解系；此時，確定自由未知量的個數(shù)并選定自由未知量（未知數(shù)的個數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩），將所有向量用自由未知量表示出來，寫成矩陣形式，即可得通解。本題，系數(shù)矩陣秩為1，自由未知量個數(shù)為3-1=2， 選定自由未知量x2，x3 ，則有：為任意常數(shù)），上式即為通解（其中任意常數(shù)x2，x3 可以換成k1，k2 ）?！咎嵝选咳∽杂晌粗繒r，注意其取值的“任意性”?！军c評】本題涉及內(nèi)容是本課程的考察重點之一，要重點掌握。歷年試題的選擇填空題中，出現(xiàn)的線性方程組一般較簡單，而計算中稍復(fù)雜，重在考察它的解法。熱度：?！練v年考題鏈接】（2008,1）16.方程組的通

15、解是_.答案：k1+k2(其中k1 ，k2為任意常數(shù))。14.設(shè)=（-1，2，2），則與反方向的單位向量是_.【答案】?！窘馕觥勘绢}考查了向量的單位化運算。與同向的單位向量為：，反向的單位向量為-。本題中，所以與反向的單位向量為：?！咎嵝选?，則?！军c評】本題在高等數(shù)學(xué)中也出現(xiàn)過，內(nèi)容簡單，掌握起來較容易，但歷年試題中出現(xiàn)的不多，考試熱度：。15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W=x | Ax=0的維數(shù)是_.【答案】2。【解析】本題考查了線性方程組基礎(chǔ)解系的定義與線性空間維數(shù)的概念。實際上，Ax=0的基礎(chǔ)解系就是線性空間（即該方程組的解空間）W=x | Ax=0的一個基；反知，W=x

16、 | Ax=0的一個基也是Ax=0的基礎(chǔ)解系。本題中，Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有5-3=2個解向量，即所有的解都可以通過這兩個解向量線性表出，故由Ax=0的解構(gòu)成的線性空間W=x | Ax=0的維數(shù)為2。 【提醒】若線性空間中的所有向量都可以由一個線性無關(guān)的向量組線性表示，則此向量組稱為線性空間的一組基，這組基中向量的個數(shù)即為此線性空間的維數(shù)。一般的，線性空間W=x | Ax=0的維數(shù)是Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量個數(shù)?！军c評】線性空間的維數(shù)本題涉及內(nèi)容考試熱度：?！練v年考題鏈接】（2010,1）14.實數(shù)向量空間V=（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0的維數(shù)是_.答案：2。 16.設(shè)A

17、為3階方陣，特征值分別為-2，1，則| 5A-1 |=_.【答案】-125?！窘馕觥勘绢}考查了特征值以及行列式的性質(zhì)。已知A為3階方陣，特征值分別為-2，1，根據(jù)性質(zhì)“若n階矩陣 A 的特征值為，則”可得，| A |=-21=-1，。【提醒】（1）若n階矩陣 A 的特征值為 ，則；若n階矩陣 A 的特征值為，則。（2）。（3）?！军c評】本題涉及內(nèi)容與上面的第3,7,12題基本相同，是考試熱點，常出現(xiàn)在選擇和填空中。熱度：。【歷年考題鏈接】（2007,10）8設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為2，2，3. 則|B-1|=（）ABC7D12答案：A。（2008,4）8設(shè)3階方陣A的特征值為1

18、，-1，2，則下列矩陣中為可逆矩陣的是（）AE-AB-E-AC2E-AD-2E-A答案：D。17.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_.【答案】3?！窘馕觥勘绢}考查了矩陣秩的性質(zhì)。由A為5階方陣，且Ax=0只有零解，所以A是滿秩矩陣，即A是可逆的，則A可看成若干初等矩陣的乘積，AB就可以認(rèn)為是矩陣B經(jīng)過若干次初等行變換得到的，而初等變換不改變矩陣的秩。因此，r(AB)= r(B)=3。（參考教材P71）。【提醒】（1）初等變換不影響矩陣的秩；（2）r(AB)小于等于r(A)，r(B)中最小的一個。（3）若B是可逆矩陣，則r(AB)= r(BA)= r(A)。

19、【點評】矩陣秩的性質(zhì)考得不多，但是其求法是考試熱點。本內(nèi)容多出現(xiàn)在選擇填空中?？荚嚐岫龋?。18.實對稱矩陣所對應(yīng)的二次型f (x1, x2, x3)=_.【答案】。【解析】本題考查了實二次型的矩陣。一個實二次型對應(yīng)唯一一個實對稱矩陣，反過來，一個實對稱矩陣也唯一對應(yīng)一個實二次型。本題給定了一個實對稱矩陣，對應(yīng)的二次型的寫法是：矩陣的主對角線上的元素2,0,1依次是的系數(shù)，的兩倍為的系數(shù)，的兩倍為的系數(shù)，的兩倍為的系數(shù)。 因此得到f (x1, x2, x3)= ?！咎嵝选坎粌H要會由矩陣寫出對應(yīng)的二次型，還要會寫二次型對應(yīng)的矩陣。【點評】本題涉及內(nèi)容是重點，幾乎每年必考，常與矩陣的秩聯(lián)合考察?？荚?/p>

20、熱度：?！練v年考題鏈接】（2008,7）20.矩陣A=所對應(yīng)的二次型是_.答案：。 19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解1=，2=且r(A)=2，則Ax=b的通解是_.【答案】+k(其中k為任意常數(shù))。（+k，+k等也正確，答案不唯一）?！窘馕觥勘绢}考查了非齊次線性方程組解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)。Ax=b的任意兩個解的差為對應(yīng)的齊次方程Ax=0的解。Ax=b的通解由Ax=0的通解與本身的一個特解相加得到。本題中，非齊次方程的兩個解的差12=為Ax=0的非零解，又因為r(A)=2，Ax=0的基礎(chǔ)解系中含3-2=1解向量，所以就是Ax=0的基礎(chǔ)解系。從而Ax=0的通解為k。故Ax=b的通解為：+k

21、。（其中k為任意常數(shù)）【提醒】牢記齊次和非齊次線性方程組解的性質(zhì)以及非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)。（內(nèi)容在教材110-111和118-119頁）【點評】本題涉及內(nèi)容是?？嫉?，要熟記結(jié)論并靈活運用它才能答好這部分題?？荚嚐岫龋??！練v年考題鏈接】（2008,7）8.設(shè)，是Ax=b的解，是對應(yīng)齊次方程Ax=0的解，則（）A. +是Ax=0的解B. +（-）是Ax=0的解C. +是Ax=b的解D. -是Ax=b的解答案：B。 20.設(shè)=，則A=T的非零特征值是_.【答案】?！窘馕觥勘绢}考查矩陣特征值的求法。本題中，A=T=，由得，即非零特征值為14。 【提醒】有時候可以根據(jù)，來算得特征值和矩陣中的參數(shù)。

22、【點評】本題涉及內(nèi)容是重點，幾乎每年必考，常出現(xiàn)在填空和計算題中?？荚嚐岫龋骸！練v年考題鏈接】（2008,4）18.已知=0為矩陣A=的2重特征值，則A的另一特征值為_.答案：4。 三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算5階行列式D=?！敬鸢浮?4?！窘馕觥勘绢}考查了高階行列式的計算。一般是先利用性質(zhì)使某行或某列出現(xiàn)較多的零，后根據(jù)某一行或列展開。本題中，【點評】利用行列式的性質(zhì)來計算行列式的值是每年必考的，常出現(xiàn)在填空和計算題中?？荚嚐岫龋?。22.設(shè)矩陣X滿足方程 X=求X.【答案】?！窘馕觥勘绢}考查了矩陣方程的求解。通過左乘或右乘系數(shù)矩陣來求得X。本題中，X=?！军c評

23、】考察矩陣方程求解，考慮到高階矩陣的逆矩陣較難求得，所以命題人常選擇逆矩陣容易求得的特殊矩陣（如對角矩陣，某些初等矩陣等）或者二階矩陣作為系數(shù)矩陣。此內(nèi)容常出現(xiàn)在填空和計算題中?？荚嚐岫龋?。23.求非齊次線性方程組的通解.【答案】?！窘馕觥勘绢}考查了非齊次線性方程組的求法，與前面的第13題考查內(nèi)容大致相同。求通解時，先用初等行變換將增廣矩陣化為行階梯型矩陣，找到系數(shù)矩陣的秩，看增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩是否相等，若是，說明有解，否則無解；有解時，若系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個數(shù)，則方程組有唯一解，由簡化方程組最后方程解出變量值然后逐步回代則可得這個唯一解；若系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)個數(shù)，則方程組有無

24、窮多解，存在基礎(chǔ)解系；此時，確定自由未知量的個數(shù)并選定自由未知量（未知數(shù)的個數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩），將所有向量用自由未知量表示出來，寫成矩陣形式，即可得通解。本題中，先將的增廣矩陣進(jìn)行初等變換：，因為增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相同所以有解，方程組等價于，方程組中自由未知量的個數(shù)為4-2=2，選取為自由未知量，將所有變量用表示出來： ，所以通解為： 為任意常數(shù)）?！军c評】線性方程組通解的求法是每年必考的內(nèi)容，學(xué)員們要認(rèn)真掌握這個知識點?？荚嚐岫龋?。24.求向量組1=（1,2，-1,4），2=(9,100,10,4)，3=（-2，-4,2，-8）的秩和一個極大無關(guān)組.【答案】秩為2，極大無關(guān)組為：。

25、【解析】本題考查了向量組的秩與極大無關(guān)組的求法。這里沒有要求將其余向量用極大無關(guān)組表示出來，因此只需把所有行向量轉(zhuǎn)置成列向量組成矩陣后，用初等行變換把它化為行階梯型矩陣即可；若需要用極大無關(guān)組表示其余向量，則最好化為簡化行階梯型矩陣。因為 ，所以該向量組的秩為2，極大無關(guān)組為：。【點評】向量組的秩和極大無關(guān)組的求法幾乎是每年必考的內(nèi)容，學(xué)員們要加緊這部分內(nèi)容的練習(xí)，特別是如何用極大無關(guān)組來表示向量組中其余向量的方法?？荚嚐岫龋?。25.已知A=的一個特征向量=（1,1，-1）T，求a，b及所對應(yīng)的特征值，并寫出對應(yīng)于這個特征值的全部特征向量.【答案】a，b及所對應(yīng)的特征值分別為：-3,0，-1；與特征值-1對應(yīng)的所有特征向量為：。【解析】本題考查了矩陣特征值與特征向量的概念。A為n階實方陣，若存在某個數(shù)和某個n維非零列向量，滿足A=，則是A的一個特征值，是A的與特征值對應(yīng)的特征向量。本題中