彈塑性力學(xué)第6章

1、第六章第六章 梁的彈塑性彎曲梁的彈塑性彎曲 一個(gè)實(shí)際的彈塑性力學(xué)問(wèn)題與彈性力學(xué)問(wèn)題一樣一個(gè)實(shí)際的彈塑性力學(xué)問(wèn)題與彈性力學(xué)問(wèn)題一樣在數(shù)學(xué)上總能歸結(jié)為，在數(shù)學(xué)上總能歸結(jié)為， 一個(gè)偏微分方程組的邊值一個(gè)偏微分方程組的邊值問(wèn)題。因此需要在嚴(yán)格的邊界條件下求解復(fù)雜的問(wèn)題。因此需要在嚴(yán)格的邊界條件下求解復(fù)雜的偏微分方程組。由于往往難以克服數(shù)學(xué)上的困難，偏微分方程組。由于往往難以克服數(shù)學(xué)上的困難，所以在一般情況下很難求得問(wèn)題的解析解或精確所以在一般情況下很難求得問(wèn)題的解析解或精確解，而只有一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，才存在解析解。解，而只有一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，才存在解析解。6.1 6.1 簡(jiǎn)單梁彈塑性彎曲問(wèn)題簡(jiǎn)單梁彈塑性彎

2、曲問(wèn)題圓形截面桿的彈塑性扭轉(zhuǎn)問(wèn)題；圓形截面桿的彈塑性扭轉(zhuǎn)問(wèn)題；軸對(duì)稱(chēng)和球?qū)ΨQ(chēng)的問(wèn)題；軸對(duì)稱(chēng)和球?qū)ΨQ(chēng)的問(wèn)題；簡(jiǎn)單桁架問(wèn)題。簡(jiǎn)單桁架問(wèn)題。 具有該類(lèi)求解特點(diǎn)的問(wèn)題有：具有該類(lèi)求解特點(diǎn)的問(wèn)題有： 簡(jiǎn)單梁的彈塑性彎曲問(wèn)題的特點(diǎn)：簡(jiǎn)單梁的彈塑性彎曲問(wèn)題的特點(diǎn)： 在平衡方程中和屈服函數(shù)條件中，未知函在平衡方程中和屈服函數(shù)條件中，未知函數(shù)和方程式的數(shù)目相等。數(shù)和方程式的數(shù)目相等。 求解的特點(diǎn)：求解的特點(diǎn)： 結(jié)合邊界條件及力的平衡條件可直接結(jié)合邊界條件及力的平衡條件可直接求出應(yīng)力分布；求出應(yīng)力分布； 應(yīng)變和位移則根據(jù)物理關(guān)系和幾何的應(yīng)變和位移則根據(jù)物理關(guān)系和幾何的連續(xù)方程求出。連續(xù)方程求出。 梁彈塑性彎曲的基

3、本假定條件：梁彈塑性彎曲的基本假定條件： 平斷面假定條件；平斷面假定條件； 不考慮纖維層之間的擠壓應(yīng)力；不考慮纖維層之間的擠壓應(yīng)力； 在彈性區(qū)：在彈性區(qū)：x x 呈線性關(guān)系；呈線性關(guān)系； 在塑性區(qū)：在塑性區(qū)： x 僅考慮應(yīng)力僅考慮應(yīng)力 對(duì)屈服條件的影響對(duì)屈服條件的影響xxxeE xsxe對(duì)于理想彈塑性材料對(duì)于理想彈塑性材料 截面具有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面的梁在理想彈塑性材料時(shí)，截面具有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)面的梁在理想彈塑性材料時(shí)，截面上的應(yīng)力隨著進(jìn)入塑性階段不同可能會(huì)出現(xiàn)截面上的應(yīng)力隨著進(jìn)入塑性階段不同可能會(huì)出現(xiàn)三種情況：三種情況：xs xs 彈性極限狀態(tài)彈性極限狀態(tài)彈塑性狀態(tài)彈塑性狀態(tài)塑性極限狀態(tài)塑性極限狀態(tài)s s

4、 eMpMeheh（具有兩對(duì)對(duì)稱(chēng)軸三個(gè)階段中性層位置不變）（具有兩對(duì)對(duì)稱(chēng)軸三個(gè)階段中性層位置不變）6.2 梁的彈塑性純彎曲問(wèn)題梁的彈塑性純彎曲問(wèn)題彈性極限狀態(tài)下梁曲率彈性極限狀態(tài)下梁曲率ke（1）彈性極限狀態(tài)）彈性極限狀態(tài)彈性極限狀態(tài)下彎矩值彈性極限狀態(tài)下彎矩值彈性極限彎矩彈性極限彎矩s s hh2es2Mh b3 esW eWeeeM1Eh W 2e2Wbh3 2ebHW6 se2EH （2）塑性極限狀態(tài)）塑性極限狀態(tài)pM塑性極限狀態(tài)下彎矩值塑性極限狀態(tài)下彎矩值塑性極限彎矩塑性極限彎矩s 2psMbh 塑性極限狀態(tài)下梁曲率塑性極限狀態(tài)下梁曲率seEh h0p 梁的曲率可以無(wú)限增長(zhǎng)。可將截面視

5、為一個(gè)梁的曲率可以無(wú)限增長(zhǎng)。可將截面視為一個(gè)“鉸鉸”塑性鉸塑性鉸與通常鉸的區(qū)別：與通常鉸的區(qū)別：*塑性鉸上作用有大小保持為塑性鉸上作用有大小保持為 的彎矩；的彎矩；*塑性鉸轉(zhuǎn)動(dòng)角度的方向必須與作用的彎矩方向一致。塑性鉸轉(zhuǎn)動(dòng)角度的方向必須與作用的彎矩方向一致。pMpW塑性斷面剖面模數(shù)塑性斷面剖面模數(shù)psW 2pWbh 彈性極限彎矩、塑性極限彎矩的特點(diǎn)彈性極限彎矩、塑性極限彎矩的特點(diǎn)2es2Mbh3 2psMbh 矩形截面矩形截面是矩形截面形狀固有的性質(zhì)是矩形截面形狀固有的性質(zhì)定義：定義：peMM 截面形狀系數(shù)截面形狀系數(shù)顯然：矩形截面的形狀系數(shù)顯然：矩形截面的形狀系數(shù)=1.5它表達(dá)了按塑性極限彎

6、矩設(shè)計(jì)與彈性極限彎矩設(shè)它表達(dá)了按塑性極限彎矩設(shè)計(jì)與彈性極限彎矩設(shè)計(jì)時(shí)梁截面的強(qiáng)度比。計(jì)時(shí)梁截面的強(qiáng)度比。peWW 形狀系數(shù)僅與截面形狀相關(guān)。形狀系數(shù)僅與截面形狀相關(guān)。其他截面形狀系數(shù)其他截面形狀系數(shù)s eheh彈性核的高度彈性核的高度heM yeh02 b ydy ehh2 b ydy 彈性區(qū)：彈性區(qū)：e0yh seyh 塑性區(qū)：塑性區(qū)：ehyh s （3）梁彈塑性狀態(tài)分析）梁彈塑性狀態(tài)分析彈塑性狀態(tài)彈塑性彎矩彈塑性狀態(tài)彈塑性彎矩eh2se0y2 bdyh M=ehsh2 bydy 22esh1bh13h 2es2hb3 22sebhh ehh 彈性極限狀態(tài)彈性極限狀態(tài)2es2M=Mbh3 e

7、h0 塑性極限狀態(tài)塑性極限狀態(tài)2psM=Mbh 2es3Mbh =2 eehM= 3-2hMeehM= 3-2hM得彈性核高度與彈塑性彎矩間的關(guān)系得彈性核高度與彈塑性彎矩間的關(guān)系該公式的用途之一：該公式的用途之一： 已知梁截面上的彈塑性彎矩?cái)?shù)據(jù)已知梁截面上的彈塑性彎矩?cái)?shù)據(jù) 可直接確定截面上的彈性區(qū)與塑可直接確定截面上的彈性區(qū)與塑性區(qū)的交線，進(jìn)而求得截面上的應(yīng)力分布性區(qū)的交線，進(jìn)而求得截面上的應(yīng)力分布得彈性核高度與彈塑性彎矩間的關(guān)系得彈性核高度與彈塑性彎矩間的關(guān)系利用利用平斷面假定平斷面假定梁的曲率與彎矩的關(guān)系梁的曲率與彎矩的關(guān)系梁進(jìn)入到彈塑性狀態(tài)時(shí)，梁進(jìn)入到彈塑性狀態(tài)時(shí)，梁在彈性狀態(tài)下，梁的曲

8、率與彎矩具有下面的關(guān)梁在彈性狀態(tài)下，梁的曲率與彎矩具有下面的關(guān)系：系：22d v1M= EI= EId x =EI xyy M= EI 不成立不成立xy 彈性核內(nèi)虎克定律仍然成立：彈性核內(nèi)虎克定律仍然成立：xxyE 在在h=heh=he高度上高度上的曲率就是彈塑性梁的曲率就是彈塑性梁 在該點(diǎn)的曲率在該點(diǎn)的曲率sseehEEh eheh如何求解此時(shí)的曲率？如何求解此時(shí)的曲率？彈塑性狀態(tài)梁曲率彈塑性狀態(tài)梁曲率seEh 已知彈性極限狀態(tài)下梁曲率：已知彈性極限狀態(tài)下梁曲率：seEh 彈塑性狀態(tài)梁曲率與彈性極限狀態(tài)下梁曲率的比：彈塑性狀態(tài)梁曲率與彈性極限狀態(tài)下梁曲率的比：eehkh 得出梁在彈塑性狀態(tài)下

9、曲率與彎矩的關(guān)系：得出梁在彈塑性狀態(tài)下曲率與彎矩的關(guān)系：eehM= 3-2hM2eeeeMM1= 3-23kMM2k 利用以上公式已知彈塑性梁截面的彎矩就利用以上公式已知彈塑性梁截面的彎矩就可確定梁在該截面的彎曲曲率可確定梁在該截面的彎曲曲率2、理想彈塑性材料非矩形斷面在各種階段中性層求解、理想彈塑性材料非矩形斷面在各種階段中性層求解具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸截面求解的基本思想具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸截面求解的基本思想截面上力的平衡條件截面上力的平衡條件xAdA0 例題例題 等腰三角形截面截面中性層位置求解等腰三角形截面截面中性層位置求解.頂部、底部、全部達(dá)到屈服時(shí)中心軸頂部、底部、全部達(dá)到屈服時(shí)中心軸y y距底邊

10、距底邊的高度的高度線性強(qiáng)化材料：線性強(qiáng)化材料：線性強(qiáng)化材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線：線性強(qiáng)化材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線： se1yggE ss1EE 11sEE1EM eh02 bydy ehh2 bydy eh2se0y=2 bdyh eh11shE2 by E1dyE 2es2hb3 se1Eh y seyEh ehs11sehE2 by E y1dyEhE eh2s11sehE2bE yy 1dyEhE 232e1sehE2 hbhE3 h3 22eshbh3 矩形截面在理想彈塑性狀態(tài)梁彈性核與彎矩的矩形截面在理想彈塑性狀態(tài)梁彈性核與彎矩的關(guān)系關(guān)系22esh1Mbh13h eehM= 3-2hMephM=

11、 3 1-hM 3 3、理想彈塑性材料矩形截面梁塑性區(qū)的判斷、理想彈塑性材料矩形截面梁塑性區(qū)的判斷當(dāng)梁的彎矩分布已知時(shí)，當(dāng)梁的彎矩分布已知時(shí)，可通過(guò)上式求出核高沿桿件的分布可通過(guò)上式求出核高沿桿件的分布簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁極限情況：極限情況： pxMM1l pMepMh =h 3 1-Mexh =h 3leh =0 x=0elh =hx=3當(dāng)當(dāng)x=l/3時(shí)截面完全處于時(shí)截面完全處于彈性工作狀態(tài)彈性工作狀態(tài)lx=3lx=3pM 22pxMM1l epMh =h 3 1-Mexh = 3hleh =0 x=0elh =hx=3此時(shí)截面完全處于此時(shí)截面完全處于彈性工作狀態(tài)彈性工作狀態(tài)x=0.577l x=0

12、.577l求解基本思想：求解基本思想：4 4、矩形截面彈塑性梁的撓度位移求解、矩形截面彈塑性梁的撓度位移求解 找到梁上完全彈性區(qū)與彈塑性區(qū)的分界點(diǎn)找到梁上完全彈性區(qū)與彈塑性區(qū)的分界點(diǎn)彎曲分布已知時(shí)，可直接通過(guò)彎曲分布已知時(shí)，可直接通過(guò) 判斷判斷eMorM在彈性區(qū)：在彈性區(qū)： 成立成立M=EIv Mv x =dx dxcxdEI 根據(jù)根據(jù)M M分布分布求解完全彈性區(qū)內(nèi)撓度求解完全彈性區(qū)內(nèi)撓度根據(jù)根據(jù)M M分布分布求解彈塑性區(qū)內(nèi)撓度求解彈塑性區(qū)內(nèi)撓度根據(jù)彈塑性區(qū)與完全彈性區(qū)交點(diǎn)上變形連續(xù)條件根據(jù)彈塑性區(qū)與完全彈性區(qū)交點(diǎn)上變形連續(xù)條件求得待定參數(shù)求得待定參數(shù)得彈塑性區(qū)撓度函數(shù)：得彈塑性區(qū)撓度函數(shù)：esessehh1EEh 彈塑性區(qū)：彈塑性區(qū)：eeMh =h 3-2MepMh =h 3 1-M思路：思路：A A）利用在彈塑性區(qū)域彈性核高與彎曲分布的關(guān)系）利用在彈塑性區(qū)域彈性核高與彎曲分布的關(guān)系B B）彈性核高位置應(yīng)力已知得到曲率與彎曲分布的關(guān)系）彈性核高位置應(yīng)力已知得到曲率與彎曲分布的關(guān)系2s2ed vdxEh 得：得：2s2ed vdxMEh 3-2M 2s2pd vdxMEh 3 1-M spv x(dx )dxaxbM xEh 3 1-M P Ph h例題例題懸