湖南省岳陽市2021屆新高考第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

1、湖南省岳陽市2021屆新高考第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的。A ， 一1一1 .已知實(shí)數(shù)集R,集合A x|1 x 3,集合B x|y ，則A CrB ().x 2A. x|1 x 2 B. x|1 x 3 C. x|2 x 3 d. x|1 x 2【答案】A【解析】【分析】，x 2 0可得集合B,求出補(bǔ)集CrB,再求出ACrB即可.【詳解】由 x-2 0,得 x 2,即 B (2,),所以 CrB (,2,所以 ACrB(1,2.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.

2、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(珀現(xiàn)圖B. 24D. 24 3A. 24C. 24 2【答案】【分析】由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長為 2正方體ABCD ABC D挖去一個(gè)以B為球心以2為半徑球體的-,812如圖，故其表面積為 24 3422 24,8故選：B.“cf【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓

3、臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積 與底面圓的面積之和.乙3 .已知復(fù)數(shù)Zi 6 8i , Z2 i ,則一()Z2A. 8 6iB. 8 6iC.8 6iD.8 6i【答案】B【解析】分析：利用i21的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以 i ,化簡整理得 亙 8 6iZ24 6 8i 6i 8i2 ° c詳斛： 2- 8 6i ,故選Bz2i i點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意1符號(hào)的正、負(fù)問題義、復(fù)數(shù)的模、共軻復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意4 .已知全集 U R ,集合 A xx

4、1,B x1x2,則 eUAIB （A. x1 x 2 B. x 1 x 2 C. x 1 x 1D. x x 1【答案】B【解析】【分析】直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】解：全集U R ,集合A xx 1 , B x 1 x 2 ,eu A x |x 1則 eUA I B x|x圉 I x| 1 x秀2x|1 x?2 ,故選：B -【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.uuv urnv5 .已知菱形 ABCD的邊長為2, ABC 60 ,則BD CD （）A. 4B. 6C. 273D. 473【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)

5、果.【詳解】如圖所示,2菱形形ABCD的邊長為2, ABC 60 ,C 120 , BD2 22 22 2 2 2 cos120 12 ,BD 273 ,且 BDC 30 ,273 26,uur uuur uuuruuirBD CD | BD | |CD | cos30故選B.【點(diǎn)睛】 本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題x 16.已知集合A x 0 ,B 1,0,1，則AI B等于（）x 2A. x 1 x 1 B,1,0,1C.1,0D. 0,1【答案】C【解析】【分析】先化簡集合A ,再與集合B求交集.【詳解】x 1因?yàn)?A x0 x 2 x 1 , B 1,0

6、,1 , x 2所以A B 1,0 .故選：C【點(diǎn)睛】 本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題7.設(shè) a log2 3, b log 4 6, c 5 0.1 ,則（）A. a b cB. bac C. cabD. cba【答案】A【解析】【分析】先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較a, b，再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】a 10g23 1,2 , b log4 6 10g2 V61,log 23 , c 50.10,1 ,因此 a b c,故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.8,定義在二上的

7、函數(shù)二二M皿滿足匚EX二產(chǎn)1，且口二口（二一D為奇函數(shù)，則口二二任）的圖象可能【解析】【分析】 根據(jù)二二匚«口-上：為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于 儀酊中心對(duì)稱，排除二二，計(jì)算山05）1 巡排除二，得到答案.【詳解】 二二二（n彳¥】為奇函數(shù)，即二gn 十力二一一：！ D，函數(shù)關(guān)于仃?。┲行膶?duì)稱，排除二二.匚口切生二；I二位，排除二 故選：二.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，確定函數(shù)關(guān)于冏中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵9.我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題:今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長倍？ ”意思是： 今有蒲草第1天長高3尺，蕪草第1天長高1尺以

8、后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草每天長高前一天的2倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是（結(jié)果采取 只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù):lg3 0.4771, lg 20.3010)A. 2B. 3C.D.【解析】【分析】由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進(jìn)而可得:12n 2n 1-1 ,解出【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為ann 13 2,bn 1 2n據(jù)題意得:3 12nTT22n 152 1解得2n= 12,本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.10.設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn

9、,則招 0”是到021 0”的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C .充分必要條件D .既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，判斷出正確選項(xiàng) . 【詳解】（2021/2021 1 q ，_ 1 q由于數(shù)列 an是等比數(shù)列，所以 S2021 S1 -一，由于 一- 0,所以1 q1 qa1 0S2021 0,故 d 0”是 5021 0”的充分必要條件.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.211.若x表示不超過x的最大整數(shù)（如2.52, 44,2.53）,已知a 7 10 , n a,*bn 3n

10、 103n 1 n N ,n 2 ,則 b2019（）A. 2B. 5C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】求出6, b2, b3, b4, b5, b6,判斷出bn是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，求出即可. 【詳解】2 n*解：an7 10 .b1=a1，bn=an 10an1（n N, n 2）,20, - ,200, “, , a= 2= bi, a2= 7 = 28 , b2=28 10 2= 8,同理可得：a3= 285,b3= 5；a4= 2857,b4= 7;a5= 28571,b5=1.a6= 285714,b6= 4 ；a7= 2857142 ,bn 6= bv故bn是一個(gè)以

11、周期為 6的周期數(shù)列,則 b2019= b6 336 3= 4= 5.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用.12 .港珠澳大橋于 2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h ,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上 1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖（如圖） ，根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間85, 90）的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A. 300, 0.25 B. 300, 0.35 C. 60, 0.25D. 60, 0.35【答案】

12、B【解析】【分析】由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間85,90的頻率即可得到車輛數(shù)，同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過90km/ h的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間85,90的頻率為0.06 5 0.3,.在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間85,90的車輛數(shù)為：0.3 1000 300行駛速度超過90km/h的頻率為：0.05 0.02 5 0.35.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .連續(xù)擲兩次骰子，分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)

13、P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓x2 y2 19內(nèi)的概率為入 11【答案】36【解析】連續(xù)擲兩次骰子共有6 6 36種結(jié)果，列出滿足條件的結(jié)果有11種，利用古典概型即得解由題意知，連續(xù)擲兩次骰子共有6 6 36種結(jié)果,而滿足條件的結(jié)果為:(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)共有11種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式,一一 1136可得所求概率P 一.故答案為:【點(diǎn)睛】11362 , c 2 V3 , cos A ,則2sin A本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題14 .設(shè) ABC

14、的內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a , b , c .若ab 【答案】2或4【解析】3試題分析：由cosA ，則可運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系:2已知兩邊及其對(duì)角，求角 C .用正弦定理；a c.八 csin A2幾2 百c “?！啊?。，,sinC ,C 60 或 120sin AsinCa 22則；A 300,C 600或 1200, B 900或300，可得 b 2或4 .考點(diǎn)：運(yùn)用正弦定理解三角形.（注意多解的情況判斷）15.已知函數(shù) f (x) Asin( x )0,0,| | 的部分圖象如圖所示，則 f 0的值為2【解析】【分析】由圖可得f（x）的周期、振幅,即可得A,5,再將（,2）代

15、入可解得，進(jìn)一步求得解析式及f 0 .12由圖可得3-T 45122即 2,又吟）2,即 2sin(2-2k 2T,所以f(x) 32sin(2xf(0)2sin( -)3.故答案為:.3本題考查由圖象求解析式及函數(shù)值，考查學(xué)生識(shí)圖、r r r r16.已知向量a,b滿足a br rag 2a計(jì)算等能力,r3,則a道中檔題首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出r2 a ,再根據(jù)解：因?yàn)閍g 2ab 3 r 2 r r所以2aag) 3r r又a81所以a2 1r "所以a Qa 1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明

16、過程或演算步驟。17 設(shè)函數(shù) f(x) sin 2x cos2 x T3sinxcosx.6(1)若|x| 求函數(shù)f(x)的值域;4(2)設(shè)A, B,C 為 VABC的三個(gè)內(nèi)角，若f A 5,cos(A C)E3 ,求 cosC 的值;221423 314?3sin xcosx ,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:cos(A C)5 314利用兩角和與差的余弦公式求解,(1)f (x)旦in2x 1cos2x s 3sin2x, 222215【答案】(1) 2 , 2 (2) cosC【解析】【分析】2 (1)將 f(x) sin 2x cos x61 f x 2sin 2x -,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求

17、解,62,一 A5 一 .一 ，(2)根據(jù)f ,得sin A 1,又A為VABC的內(nèi)角，得到 A ,再根據(jù)、3 sin 2x-1-.cos2x - 2sin2x 62263Q|x| 2x 43632 陰 f (x) 5，1 5即f(x)的值域?yàn)?J3,一；2 2sin 2x 1,26A 5.(2)由 f ,得 sin A 1 ,226又A為VABC的內(nèi)角，所以 A , 3又因?yàn)樵赩ABC中，cos(A C)5.314所以 sin(A C)1114'所以 cosC cos A C 31八 、3八3cos(A C)萬 sin(A C)3、314【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性

18、質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題,18.以平面直角坐標(biāo)系 xOy的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單C2-x cos2位，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1 : sin 。2 ,曲線C2 :(為參數(shù))，求曲線C1,4y sin交點(diǎn)的直角坐標(biāo).【答案】1, 1【解析】【分析】利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可【詳解】因?yàn)?sin x/2,所以 sin cos 2 ,所以曲線Ci的直角坐標(biāo)方程為x y 2 0.2,x cos2/口 x 1 2sin由，得，y siny sin所以曲線C2的普通方程為x 1 2y2,y 1.1.xy202由2 ，得 2

19、y y 3 0,x12y一一 .3所以 yi1,y2-(舍)，所以Xi1,所以曲線Ci, C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為1, 1 .本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程,參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題219.已知拋物線C : y 2pxp 0,直線y X 1與C交于AB兩點(diǎn)，且| AB 8.(1)求p的值;(2)如圖，過原點(diǎn) O的直線l與拋物線C交于點(diǎn)h ,過點(diǎn)h作y軸的垂線交拋物線H于點(diǎn)N ,證明：直線MN過定點(diǎn).【答案】(1) p 2 ； (2)見解析(1)聯(lián)立直線和拋物線2px,消去x可得x 12y 2py 2py1y22p , y1y22p ，再代入弦長公式計(jì)算即可(2)由(1

20、)可得 y2 4x1 2設(shè) Mqyo,y0)計(jì)算直線OM的方程為4 y x, y0代入x1求出Yh4y0即可求出4Yn 一，再代入拋物線方程 y04x ,求出N(2 , y04、 B -),最后計(jì)算直線 y0MN的斜率,求出直線MN的方程，化簡可得到恒過的定點(diǎn)(1)由2 px,消去x可得y2x 12py2p 0,設(shè) A x1, y1B x2,y2 ，則 Y1 Y22py1y22p .ABC2) Y1 y2 2 4%丫2 V2j4p2 8P 8,解得p 2或p4(舍去),2.(2)證明：由(1)可得 y2 4x,設(shè) M (- y2,yo)所以直線om的方程為y當(dāng)x 1時(shí)，yH4,貝U yN yo

21、代入拋物線方程 y4x,可得Xn所以直線MN的斜率k4yoy24y2 44yo4y01 2直線MN的方程為y yo T0二(x二yo ),yo 444yo/整理可得y x 1 ,故直線 mn過定點(diǎn)1Q .yo 4【點(diǎn)睛】本題第一問考查直線與拋物線相交的弦長問題，需熟記弦長公式.第二問考查直線方程和直線恒過定點(diǎn)問題，需有較強(qiáng)的計(jì)算能力，屬于難題.2o.已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 (n N*) , a1 2,且2闞，a3, 3a2成等差數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1 111、 一， 八(n)設(shè)bn log 2 an , Sn為數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和，記Tn 丁 W m,證明：1 Tn

22、2 .S1 S2 S3Sn【答案】(i) an 2n, n N* ； (n)見解析【解析】【分析】(I)由a1 2,且2a1，a3,3a2成等差數(shù)列，可求得 q,從而可得本題答案；1(II )化簡求得bn ,然后求得 了，再用裂項(xiàng)相消法求 Tn,即可得到本題答案.Sn(I)因?yàn)閿?shù)列 an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列a12 ,可設(shè)公比為q, q 0 ,又2a1，a3,3a2成等差數(shù)列, 所以 2a3 2a 3a2，即 2 2q2 4 3 2q ,解得 q= 2 或 q -(舍去)，則 an aqn 1 2n, n N* ;2(n)證明：bn log2an log2 2n n,1 12- 11Sn-n

23、(n1)，1-2 ，2 Snn(n1) nn 1T 111111111 、1 、貝U Tn 2(1) 2(1 )S1s2GSn 223nn1n1'一, 111因?yàn)? 1 ,所以1 2 12n 1 2n 1即 1 Tn 2.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及用裂項(xiàng)相消法求和并證明不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理證明能力.21,設(shè)函數(shù) f (x) x 3 , g(x) 2x 1 .(1)解不等式f (x) g(x)；(2)若 2f(x) g(x)ax 4對(duì)任意白實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍.2，【答案】(1)(, 3) (4,) ； (2)( 1,4.【解析】試題分析：(

24、1)將絕對(duì)值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解.根據(jù)恒成立問題的解法求解即可.試題解析：1由已知，可得|x 3 |2x 1,22即 x 3 2x 1 .整理得3x2 10x 8 0,解得x； 2或x .；4.(2)將問題化為分段函數(shù)問題，通過分類討論并故所求不等式的解集為4x 5, x3,2由已知，設(shè)hx 2 f x g x 2 x2x 117，3 x 2,4x 5,x當(dāng)x30寸，只需 4x 5 ax 4恒成立,即ax 4x 9,Qx 3 0,4x 9a x9 ，4 -恒成立.xa 1,當(dāng)9x max只需7 ax 4恒成立,即ax 3 0恒成立.3a 3 0只需1-a 3 02解得1 a 6.

25、-1 ,當(dāng)x -時(shí)，只需4x 5 ax 4恒成立,2即 ax 4x 1.-1Q x 1 0, 24x 11a4 一恒成立.xx1Q 4 - 4,且無限趨近于4, xa 4.綜上a的取值范圍是 1,4 .22 .在如圖所示的四棱錐 F ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB/CD , ABC 60, FC平面 ABCD , AC BF , CB CD 1.(1)求證：AC 平面BCF ;(2)已知二面角F BD C的余弦值為 9,求直線AF與平面DFB所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)由已知可得 CF AC ,結(jié)合AC BF ,由直線與平面垂直的判定可得

26、AC 平面BCF ;(2)由(1)知，AC CB,則CA, CB, CF兩兩互相垂直，以 C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 CA, CB ,CF所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)F(0, 0, a),由二面角F BD C的余弦值為 5求解a ,再由空間向量求解直線 AF與平面DFB所成角的正弦值.【詳解】(1)證明：因?yàn)樗倪呅?ABCD是等腰梯形， AB/CD , ABC 60 ,所以 ADC BCD 120又 AD=CD ,所以 ACD 30 ,因此 ACB 90 , AC BC,又 AC BF ,且 BC I BF B , BC , BF 平面 BCF ,所以AC 平面BCF .(2)取BD的中點(diǎn)G ,連接CG , FG ,由于CB CD ,因此CG BD ,又FC 平面ABCD , BD 平面ABCD ,所以FC BD .由于 FC CG C , FC , CG 平面 FCG ,所以BD 平面FCG，故BD FG ,所以FGC為二面角F BD C的平面角.在等腰三角形BCD中，由于 BCD 120 ,因此 CG 1,又 CB CF 1, 2因?yàn)?cos FGC ,所以 tan FGC 2,所以 FC 1 5以CA為x軸、CB為y軸、CF為z軸建立空間直角坐標(biāo)