2019山東中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練—3.類(lèi)比、拓展類(lèi)探究(10道)

1、類(lèi)比、拓展類(lèi)探究1. (1)【觀察猜想】如圖，點(diǎn) B、A、C在同一條直線上，DBXBC, ECLBC且/DAE = 90°, AD = AE,則線段BC、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為 ;(2)【問(wèn)題解決】如圖，在 RtzABC 中，/ABC= 90°, CB= 4, AB=2,以 AC 為直角邊向外作等腰RtA DAC,連接BD,求BD的長(zhǎng)；(3)【拓展延伸】如圖，在四邊形 ABCD中，/ ABC=/ADC = 90°,CB= 4, AB = 2, DC = DA,請(qǐng)直接寫(xiě)出 BD的長(zhǎng).圖 圖 圖第1題圖解：(1)BC=CE+BD;【解法提示】/B=90°

2、, / DAE = 90°,/ D+/ DAB=/ DAB+ / EAC=90 ,./ D=/ EAC,. /B=/C=90 , AD = AE,/.AADBAEAC, .BD = AC, EC= AB, .BC = AB+AC = CE+BD;(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DE，AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,R A第1題解圖易證 ABC 二 DEA, .DE = AB=2, AE=BC= 4, .BE=AB + AE=6,在RtzBED中，由勾股定理得 BD = 62+22 = 2屈；(3)BD的長(zhǎng)為3，2.【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DELBC于點(diǎn)E,作DFLAB交BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則四

3、邊形BEDF為矩形.第1題解圖易證 CEDAAFD, .CE = AF, ED = DF, 四邊形BEDF為正方形， .BE=DF = BF = DE.設(shè) AF = x, DF=y,x+ y= 4x= 1則； ，解得4,2+x=yy=3.BF = 2+1 = 3, DF = 3,在RtzBDF中，由勾股定理得 BD = 32+32 = 3也.2.已知點(diǎn)。是 ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接 OA并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使得AE = OA,以O(shè)B, OC為鄰邊作？OBFC,連接OF,與BC交于點(diǎn)H,連接EF.【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖，若4 ABC為等邊三角形，線段 EF與BC的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系為；【拓展探究】(2

4、)如圖，若4ABC為等腰直角三角形(BC為斜邊)，(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明；【解決問(wèn)題】(3)如圖，若 ABC是等腰三角形，AB = AC=2, BC=3,請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段EF的長(zhǎng).圖 圖圖第2題圖解：(1)EF，BC, EF = 嫄BC;【解法提示】如解圖，連接AH,F第2題解圖 四邊形OBFC是平行四邊形，1 .BH = HC = 2BC, oh = hf, ABC是等邊三角形, .AB=BC, AHXBC, .AH = BC, . OA=AE, OH = HF,AH是AOEF的中位線,1.AH / EF, AH = 2EF, 31

5、 .EFBC, 2 BC=2EF, .EFBC, EF = V3BC.(2)EF，BC仍然成立，但EF=BC.證明：如解圖，連接AH,EF H0第2題解圖 四邊形OBFC是平行四邊形，1 .BH = HC = 2BC, oh = hf, ABC是等腰直角三角形，,一 _1 .AHBC, AH = BH = 2BC, . OA=AE, OH = HF,.AH是OEF的中位線，1 _ _ 1_ 1_.AH/EF, AH = 2EF, .EFBC, BC=2EF,.EFBC, EF = BC;(3)線段EF的長(zhǎng)為木.【解法提示】如解圖，連接AH,F H第2題解圖四邊形OBFC是平行四邊形,1 八 .

6、BH = HC = 2BC, oh = hf, ABC 是等腰三角形，AB= AC= 2, BC= 3, AHZAB2 BH2 =坐 . OA=AE, OH = HF,1AH 是AOEF 的中位線，. AH = 2EF,.EF = 2AH =巾.3.在等邊 ABC中，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，D為BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊 作等邊 ADE,過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線FG,交AE于點(diǎn)G.【特例發(fā)現(xiàn)】(1)如圖，當(dāng)點(diǎn) D與點(diǎn)F重合時(shí)，直線 CE和AB的位置關(guān)系是; DG與AE的位置關(guān)系是.【類(lèi)比探究】(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，上述結(jié)論還成立嗎？如 果成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【拓

7、展延伸】(3)如圖，在四邊形 ABCD中，AB=AC=BC, /ADB = 60°,過(guò)點(diǎn) A3作AELBD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF/ CD交AC于點(diǎn)F,若AD=5, CD = 2, 請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF的長(zhǎng)度.圖 圖 圖第3題圖解：(1)CE/AB; DGXAE.【解法提示】: ABC與 ADE為等邊三角形， .AB=AC, AF = AE, / BAC= / FAE= / ABF= 60 ,./ BAC= / BAF+ / FAC, / FAE= / FAC+ / CAE, ./BAF=/CAE,. ABFA ACE,./ACE=/ABF=60 ,./BAC=/ACE,CE/AB,. A

8、B/FG,.CE/ FG/AB, 點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，.點(diǎn) G為AE的中點(diǎn), AEF為等邊三角形，DGXAE.(2)結(jié)論仍然成立.證明如下：.ABC和4DAE均為等邊三角形， ./BAC= /DAE=60 , AB=AC, AD = AE, ./BAD=/CAE,. ABDMCE,./ACE=/ABF=60 ,./ACE=/BAC, /.AB/ CE. .FG/AB,.AB/ FG/CE, 點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，.點(diǎn) G是AE的中點(diǎn),.ADE為等邊三角形，DGXAE.(3)線段EF的長(zhǎng)為7.【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AG = AD,交BD于點(diǎn)G,延長(zhǎng)EF交AD于點(diǎn)H,第3題解圖 . /ADB=60

9、 , AB = AC= BC, . ABC和 ADG均為等邊三角形， ./BAC= / DAG=/AGD = 60 , AG = AD = 5, ./BAG=/CAD, /AGB= 120 ,. ABG二 ACD, ./AGB= / ADC=120 ,./ CDE = 120 -60 =60 .又./AGD=60,.CD/AG. EF/CD,EF/CD/AG.在等邊 ADG中，v AEXGD,.點(diǎn)E是DG的中點(diǎn)，.點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，15 .EH 是 ADG 的中位線，EH = 2AG = 2.在4ACD 中，: FH / CD,13.FH 是4ACD 的中位線，. FH = CD = 4，5

10、3 7EF=EH FH = 2 4= 4.4.【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，/ EAF = 45°,連接EF,則線段BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系為 ;【拓展探究】(2)如圖，在4ADC中，AD = 2, CD = 4, /ADC是一個(gè)不固定的角， 以AC為邊向 ADC的另一側(cè)作等邊 ABC,連接BD,則BD的長(zhǎng)是否存 在最大值？若存在，請(qǐng)求出其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【解決問(wèn)題】(3)如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = AD, / BAD = 60 , BC=4/2, 若BDLCD,垂足為點(diǎn)D,則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是否存在最大值？若存

11、在，請(qǐng) 直接寫(xiě)出其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖 圖圖第4題圖解：(1)BE+DF = EF;【解法提示】如解圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G,使得DG = BE,/I。A DB E C第4題解圖.在正方形 ABCD 中，AB = AD, /B=/ADG = 90 ,/. AABEAADG,.AE=AG, /BAE=/DAG,. /EAF = 45 , /BAD=90 ,./ BAE+/ DAF = 45 ,./DAG+/DAF = 45 ,即/GAF=/EAF,又AF = AF,/. AAEFAAGF,EF = GF=DG + DF = BE+ DF.(2)存在.在等邊 ABC 中，AB=BC, /AB

12、C=60 ,如解圖，將 ABD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得至UzBCE,連接DE.第4題解圖由旋轉(zhuǎn)可得，CE = AD=2, BD = BE, /DBE = 60 ,.DBE是等邊三角形，DE = BD,VDE<DC+CE = 4+ 2 = 6,當(dāng)D、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，DE存在最大值，且最大值為 6, 最大值為6;(3)存在，AC的最大值為2v2 + 2季.EFXBC【解法提示】如解圖，以BC為邊作等邊 BCE,過(guò)點(diǎn)E作 于點(diǎn) F,連接 DE,則 BC=BE, /CBE=60 .E第4題解圖 . AB=AD, /BAD = 60 , .ABD為等邊三角形， .AB=BD, /A

13、BD = 60 . /ABD+/ CBD=/ CBE+/ CBD,即/ ABC=/ DBE, . AB=BD, /ABC=/DBE, BC=BE, .AB8 DBE,AC=DE, .在等邊ABCE 中，EFXBC, .BF = 2bC = 1x4V2=2 業(yè) . EF = /3BF = X22= 2 居以BC為直徑作。F,則點(diǎn)D在。F上，連接DF,_ 1 .DF = 2BC=2 恒 . AC= DE<DF + EF=22+ 2 優(yōu)，即AC的最大值為2亞+ 2乖.5.【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖，zACB和4DCE均為等邊三角形，點(diǎn) A、D、E在同一直 線上，連接BE;填空：/ AEB的度數(shù)為;

14、線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為 .【拓展探究】(2)如圖， ACB和4DCE均為等腰直角三角形，/ ACB=/DCE = 90°,點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為4DCE中DE邊上的高，連接 BE. 請(qǐng)判斷/ AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【解決問(wèn)題】(3)如圖，在正方形ABCD中，CD = "2,若點(diǎn)P滿足PD=1,且/ BPD = 90°,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離. 第5題圖解：(1)60°AD = BE;【解法提示】.ABC和4DCE均為等邊三角形, .AC=BC, CD = CE, /ACB= /ECD=60 ,

15、 / ACD + / DCB = / DCB + / BCE= 60 , ./ACD=/ BCE, .ACD 二BCE(SAS),./ADC=/ BEC, AD = BE, . /CDE=/CED = 60 ,./ADC=/ BEC= 120 , . / AEB= / BEC-/ CED = 60 .由得 ACDABCE,AD = BE.(2)/AEB=90 , AE=BE+2CM;理由：ACB和ADCE均為等腰直角三角形，/ACB=/DCE = 90°, .AC=BC, CD=CE, / ACB/ DCB=/DCE/ DCB,即/ ACD=/ BCE,/. AACDABCE(SAS

16、), .AD = BE, / BEC=/ADC=180 45 =135 , ./AEB=/ BEC-Z CED= 135 -45 =90 .在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高， .CM = DM = ME, .DE = 2CM,AE=AD+DE = BE+2CM.3133+1(3) 2 或 2 .【解法提示】PD=1, / BPD = 90°, .BP是以點(diǎn)D為圓心，以1為半徑的。D的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn).第一種情況：如解圖，過(guò)點(diǎn) A作AMLBP于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線，交BP于點(diǎn)P；可證得 APD 二AP'B, .PD = P'B=1, AP' =

17、AP, .CD= 2 .BD = 2,.PD=1, . pb=3,1_1 _ 一_ 431 .am=2pp =2(pb- P B)= 2 .第二種情況：如解圖，同理可得 AM = 2pP' =2(PB+BP'今，3尹.綜上所述，點(diǎn)A到BP的距離為木2 1或8:1.6.如圖，以？ABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點(diǎn)F落在邊AD上，連接BE,交AF于點(diǎn)G.(1)猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)延長(zhǎng)DE, BA交于點(diǎn)H,其他條件不變，如圖，若/ ADC = 60°,求DG的值；BH如圖，若/ ADC=。0°芯90°),直接寫(xiě)出DG的

18、值.(用含的三BH角函數(shù)表示)第6題圖解：（1）BG=EG;理由如下： 四邊形ABCD是平行四邊形， .AB=CD, AB/CD, 四邊形CDEF是菱形， .EF = CD, EF/CD,AB=EF, AB/ EF, ./BAG=/EFG, /ABG=/FEG,/.AABGAFEG(ASA) ,.BG=EG;由(1)知ABGFEG, .AG=FG,設(shè) CD=a, FG = b,則 AB = a, AG = b,丁四邊形CDEF是菱形，/ ADC = 60°, .EFD是等邊三角形，/ FDE = 60°, .DF = CD=a,. AB/CD,./HAD = 60,. AD

19、H 是等邊三角形, . AH = AD=DF + FG + AG= a+ 2b, . BH = AB+AH = a+a+2b=2a+ 2b, .DG=DF + FG = a+b,DG a+b 1 一,BH 2a+2b 2'小DG2) BH = COS% .【解法提示】如解圖，分別過(guò)點(diǎn)C、H作COLAD于點(diǎn)O, HNXAD于點(diǎn)N,/第6題解圖/AABGAFEG,.AG=FG,設(shè) CD=a, FG = b,則 AB = a, AG = b,丁四邊形CDEF是菱形，/ ADC= % ./ADH=%DF = 2DO = 2acos% , . AD = DF + FG + AG = 2acos%

20、 +2b,. AB/CD, ./ HAD = /ADC= %1', . AN = 2AD= acosa + b,AN acosa +b AH =: Z"=,cos/ HAD cos aacosa +b 2acosa +b BH = AB+ AH = a +=,cos%cos%vDG=DF + FG = 2acosa +b,DG 2acos% +bBH _2acosa +b -COSot .cos%7.如圖，在 RtzABC 中，/ACB=90°, / A= 30°,點(diǎn)。為 AB 中點(diǎn)， 點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，連接OC、OP,將線段OP

21、 繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系為(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立， 請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，若/ BPO=15°, BP = 4,請(qǐng)直 接寫(xiě)出BQ的長(zhǎng).第7題圖解：(1)BQ=CP;【解法提示】如解圖，連接OQ,第7題解圖 PQ是由OP旋轉(zhuǎn)60°得到的, .OPQ 是等邊三角形，./ POQ=60 , OP=OQ.在 RtABC 中，/ACB= 90 , /A=30 , ./ABC= 60 , 點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)

22、， .OC=OB, .OCB是等邊三角形， ./COB=60 =/POQ, ./COP=/BOQ, . CO=BO, OP=OQ,.COP3BOQ, .CP=BQ;(2)成立，證明如下：如解圖，連接OQ,0第7題解圖 線段PQ是由線段PO繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)60°得到的, .PQO是等邊三角形， .OQ=OP, /POQ=60 . .在 RtABC 中，/A=30 , /ACB=90 , ./ABC=60 , 點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)， .OC=OB, .OBC是等邊三角形，./COB=60 =/POQ,. / COB+ / BOP= / BOP+ / POQ,即/ COP=/ BOQ, . OC=O

23、B, PO=OQ,.COP3BOQ, .CP=BQ;(3)BQ 的長(zhǎng)為 473-4.【解法提示】如解圖，連接OQ,A 線段PQ是由線段PO繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)60°得到的, .PQO是等邊三角形， ./POQ=60 , PO=OQ,由(2)知4 OBC是等邊三角形， .OB=OC, / BOC=/POQ=60 , ./BOQ=/COP,.COP二 BOQ, .CP=BQ, /CPO=/BQO,過(guò)Q作QDBP于D, . /QPO=/PQO=60 , /BPO=15 , ./QPD = 45 , . /QDP=90 , ./ PQD = 45 , .PD = DQ, ./ DQO = 15 ,.

24、/ BQO=/ BPO=15 ,./ BQD=30 , .BQ = 2BD, PD = QD = V3BD,BP= DB+PD = BD + V3BD, . BP=4,5 = 262, .BQ = 2BD = 4V3 4.8.在 ABC 和 ADE 中，BA=BC, DA=DE,且/ABC=/ADE=% 點(diǎn)E在AABC的內(nèi)部，連接 EC, EB和BD,并且/ ACE+/ ABE=90°.(1)如圖，當(dāng)= 60°時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為 ,線段EA, EB, EC的數(shù)量關(guān)系為 ;(2)如圖，當(dāng)= 900時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段EA, EB, EC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō) 明理由；(3)在

25、(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若BC = 2代 請(qǐng)直接寫(xiě)出 BDE的面積.第8題圖解：（1）BD=CE; BE2 + CE2=EA2;【解法提示】. /ABC= /ADE=%= 60 , DA=DE, BA= BC, .ADE, ABC是等邊三角形， ./ DAE=/ BAC=60 , ./ DAB=/ EAC, . DA=EA, BA=AC,/. ADABA EAC, .BD = CE, /DBA=/ECA, . / DBA+ / ABE= / ECA+ / ABE= 90 ,.BD2+ be2=de2.ADE是等邊三角形, .DE = AE, .BD2+ BE2=AE2 即 EC2

26、 + EB2 = EA2.；ce2+be2=e2；理由如下： /ADE=/ ABC=90 , ./DAE=/BAC=45 , AE= 2AD, AC= 2AB,./DAB=/EAC,. DABs/XEAC,./ DBA=/ ECA,BD AD 1Ce=ae=72?./DBE=90 ,BD2 + BE2=DE2,即(*CE)2+ BE2 = (AE)2,11c貝丹CE2+BE2 = ；AE2;(3)2.【解法提示】如解圖,第8題解圖 . /EBC+ / EBA= 90 ,EBC=/ECA,. / EBC+ / ECB= / ECA+ / ECB= / BCA= 45 , 點(diǎn) D, E, C 在一

27、條直線上，./ BED = 45°, . /DBE=90 , /BDE = 45 ,.BD=BE,設(shè) BD = x,則 DE = CE=AD =仍，在 RtMDC 中，AC = /2BC = 2/10, AD2 + CD2=AC2, 即(x)2 + (2x)2= (250)2,解得 x= 2 或 x= 2(舍).11貝U Sabde,BD - BE=2X2X2 = 2.9.已知四邊形 ABCD中，E, F分別是AB, AD邊上的點(diǎn)，DE與CF 交于點(diǎn)G.(1)如圖，若四邊形ABCD是矩形，且DELCF.求證：DE CD = CF AD;(2)如圖，若四邊形 ABCD是平行四邊形.試探

28、究：當(dāng)/ B與/EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得 DE CD = CF AD成立？并證明你的結(jié)論；/BAD=90 , DEXCF,請(qǐng)(3)如圖，若 BA= BC=3, DA=DC = 4,直接寫(xiě)出喔的值.CF第9題圖(1)證明：.四邊形ABCD是矩形,/A=/ FDC = 90 , CFXDE, ./ DGF = 90 , /ADE+/CFD = 90 , / ADE + /AED = 90 , ./CFD = /AED, . /A=/CDF, .AEDsDFC,.DE AD CF CD'.DE CD=CF AD;(2)解：當(dāng)/ B+/EGC=180 時(shí)，DECD=CFAD 成立.證明：四邊

29、形ABCD是平行四邊形，/ B=/ADC, AD/ BC, / B+/A= 180 , / B+/ EGC=180 ,./A=/ EGC=/ FGD, / FDG = / EDA,DF DE .DFGs DEA, DG DA . /B=/ADC, /B+/EGC= 180 , ZEGC+Z DGC=180 , ./CGD = /CDF,DF CF. / GCD = /DCF, .CGDsCDF,=DG CD.DF DE DF CFDE CD = CF AD, zz DG DA，DG CD'即當(dāng)/ B+/EGC=180 時(shí)，DE CD=CF AD 成立；DE 25角牛：CF = 24，【

30、解法提示】 如解圖，過(guò)C作CNLAD于N, CMLAB交AB延長(zhǎng)線于M,連接BD,設(shè)CN = x,C第9題解圖./ BAD=90 ,即 ABXAD./A=/M = /CNA=90 , 四邊形AMCN是矩形， .AM = CN, AN=CM,AD = CD在ABAD 和 BCD 中，AB=BC, BD=BD.*.ABADABCD(SSS), ./ BCD= /A= 90 , /ABC+ /ADC=180 , . /ABC+ /CBM = 180 ,./ MBC=/ADC,. /CND=/M = 90 , .BCMs/XDCN,CM BC,=CN CD'CM 3,T=4，,.CM = 3x,在 RtzCMB 中，CM=|x, BM = AM-AB = x-3,由勾股定理得：BM2 + CM2 = BC2,. .(x3)2+ (3x)2 = 32,解得 x=0(舍去)，x=2|5, 6 =募 /A= /FGD = 90 ,./AED+ /AFG=180 , . /AFG+ /NFC