2019年深圳市高三數學一模(文)試卷

1、試卷類型：(A)數學(文科)2019. 2絕密啟用前深圳市2019年高三年級第一次調研考試本試卷共6頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1 .答卷前，考生務必用黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和 考生號，并將條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不 污損.2 .選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應的位置上.3 .非選擇題必須用 0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定 區(qū)域內；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂 改液. 不按以上要求作答的答案無效.4 .作答選做題時

2、，請先用 2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答.5 .考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回.第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的.1 .已知集合 A=x|1WxW2, B=1,2,3,則 aQb =(A) 1(B) 2(C) 1,2(D) 1,2,32 -2i2 .設 z =,則 |z| =1 i(A)亞(B) 2(C) V5(D) 33 .在平面直角坐標系 xOy中，設角”的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合， 若角1a終邊過點P(2, -1),則sin(%2久)的值為(A) 一54(D 二0 _

3、x _ 3 4 .設x , y滿足約束條件0 y 6深圳市2019年高三年級第一次調研考試數學(文科)試題 第11頁共16頁f (12x) 0的解集為(C) (0,2)(B) (-1,2)(A) (1,0)(D) (2*)6.如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是由一個棱柱挖去一個棱錐后的(B) 68(C) 80幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(A) 64(D) 109(B) 16 7t(C) 25 7t(D) 32 7t7,已知圓錐的母線長為J5,底面半徑為2,則該圓錐的外接球表面積為(A) 0.236(B) 0.3820.472(D) 0.6188 .古希臘雅典學派算學家歐道

4、克薩斯提出了 “黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出已知線段的黃金分割點，具體方法如下：(1)取線段AB = 2 ,過點B作AB的垂線,并用圓規(guī)在垂線上截取 BC=1AB=1,連接AC ; (2)以C為圓心，BC為半徑畫弧, 2C交AC于點D； (3)以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交 AB于點E .點E即為線段AB的黃金分割點.若在線段 AB上隨機取一點F ,則使得BE AF MAE的概率約為 (參考數據：，52.236)9 .已知直線x=是函數f (x) =sin(2x +5)(|0)的左，右焦點，過F2的直線與橢圓交于 a bP, Q兩點，若PQ_LPFi且QF1 =2PFi ,則APFF

5、2與AQFF2的面積之比為(A)2-石(B) 721(C) V2+1(D)2+43xln x, x 0,12 .已知函數f(x)=/若X #乂2且f(%)= f(x2),則|Xix2|的最大值為x 1,x 三 0,(A) 1(B) 72(C) 2(D) 22本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題，每個試題考生都必須作答.第2223題為選考題，考生根據要求作答 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.x 113 .曲線y=ex在點(1, f(1)處的切線的斜率為 x14 .已知平面向量a, b滿足I a 1=2, I b 1= 4 , |2a+b| = 4，3，則a與b的夾角為.15

6、 .已知Fi, F2是雙曲線的兩個焦點，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線交于A,B,C,D四個點，若這四個點與 F1 , F2兩點恰好是一個正六邊形的頂點，則該雙曲 線的離心率為.16 .在AABC中，/ABC=1501 D是線段AC上的點，/DBC = 30。，若&ABC的面積為J3,當BD取到最大值時， AC =三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17 .(本小題滿分12分)記Sn為等差數列an的前n項和.已知司=4 ,公差d 0 , a4是a2與a8的等 比中項.(1)求數列an的通項公式;(2)求數列18 .(本小題滿分12分)工廠質檢員從生產線上每半個小時

7、抽取一件產品并對其某個質量指標 Y進行檢測, 共抽取了 48件產品，并得到如下統(tǒng)計表.該廠生產的產品在一年內所需的維護次數與指標 Y有關，具體見下表.質量指標Y19.4,9.8 )19.8,10.2(10.2,10.6頻數82416一年內所需維護次數201(1)以每個區(qū)間的中點 值作為每組指標的代表，用上述樣本數據估計該廠產品的質量指標Y的平均值(保留兩位小數)；(2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取6件產品，再從6件產品中隨機抽取 2件產品，求這2件產品的指標 Y都在19.8, 10.2內的概率；(3)已知該廠產品的維護費用為300元/次.工廠現(xiàn)推出一項服務：若消費者在購買該廠產品時每件多

8、加 100元，該產品即可一年內免費維護一次.將每件產品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這 48件產品每件都購買該服務，或者每件都不購買該 服務，就這兩種情況分別計算每件產品的平均消費費用，并以此為決策依據，判斷消費者在購買每件產品時是否值得購買這項維護服務？19 .(本小題滿分12分)PD = DC , AD _L PC .已知四棱錐P -ABCD的底面ABCD為平行四邊形，(1)求證：AC = AP ;(2)若平面 APD _L 平面 ABCD , ZADC =120, AD = DC = 4 ,求點 B 到平面PAC的距離.AB20 .(本小題滿分12分)設拋物線C ： y

9、2=4x,直線l : xmy2 = 0與C交于A, B兩點.(1)若|AB =4而，求直線l的方程；(2)點M為AB的中點，過點M作直線MN與y軸垂直，垂足為N ,求證：以MN 為直徑的圓必經過一定點，并求出該定點坐標.21 .(本小題滿分12分)已知函數 f(x) =(ax + 2 )ex x2,其中 a a2.(1)當a=0時，求函數f (x)在-1,0上的最大值和最小值;(2)若函數f(x)為R上的單調函數，求實數 a的取值范圍.請考生在第22、23兩題中任選一題做答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.22 .(

10、本小題滿分10分)選修4 4:坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為*X = 2 +t cosa,（t為參數），以坐標原 y = t sina,點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為 P = 2 cose ,直線l與曲線C交于A , B兩個不同的點.(1)求曲線C的直角坐標方程;(2)若點P為直線l與X軸的交點，求： 2 +2的取值范圍.pA PB23 .(本小題滿分10分)選修45:不等式選講設函數 f (x) = x +1 + x -2 , g(x) = -x2 + mx+1 .(1)當m = Y時，求不等式f (x) g(x)的解集；1(2)若不

11、等式f(x)g(x)在12,T上恒成立，求m的取值氾圍.2深圳市2019年高三年級第一次調研考試文科數學試題參考答案及評分標準第I卷1 .選擇題(1) C(2)B(3)A(4) C(5)B(6)A(7) C(8)A(9)C(10) B(11)D(12)C12【解析】不妨設X2 X1，由f(X1)= f(X2)，要使|X1 % |最大，即轉化為求(X1 一X2 )max ,問題可轉化為(如圖所示)A(X1, y1)到y(tǒng) = x + 1(x 0時，f (x) =lnX+1 ,令 f (x) =1,則 x1 =1 , A(1,0), x2 = 1所以|X1 -X2 |的最大值為2.2 .填空題：13

12、. e 十114. 6015. 216. 2/71 116【解析】由題意可知S/ABC = acsin150 = - ac = 33 得ac = 4J3 -僅BD = x，則2 4S$CD +S&BD =1ax+Y3cx = 4,3 ,可得 x =，當且僅當 a=J3c時X取到最大44a3c值，所以a =273 , c = 2,由余弦定理可得 b =277 -三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)記Sn為等差數列an的前n項和.已知a1 =4 ,公差d A 0 , a4是a2與a8的等比中項.(1)求數列an的通項公式；(2)求數列工前n項和為Tn .S

13、n【解析】(1) a2 , a4 , a8成等比數列，2 a4 a2a8 52，(d +3d) =(&+d)(a+7d) , 2 分. . (4 +3d)2 =(4+d)(4+7d),解得d =4或d =0,d 0 ,d = 4 . 4 分.數列an的通項公式 an =ai+(n1)d =4n(nw N*).6 分n(ai an)2(2)Sn =- =2n +2n, 210分111,11 、=2=()Sn 2n 2n 2 n n 1Tn=十十S21Sn；()(1-1)川 d2 IL 1 22 3 nn11)112(1-n+1).12分【命題意圖】本題主要考查等差數列的通項公式、前n項和公式、等

14、比中項、裂項相消求和法等知識與技能，重點考查方程思想，考查數學運算、邏輯推理等數學核心素養(yǎng).18.(本小題滿分12分)工廠質檢員從生產線上每半個小時抽取一件產品并對其某個質量指標Y進行檢測,共抽取了 48件產品，并得到如下統(tǒng)計表.該廠生產的產品在一年內所需的維護次數與指標 Y有關，具體見下表.質量指標Y19.4,9.8 )19.8,10.2(10.2,10.6頻數82416一年內所需維護次數201(1)以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表，用上述樣本數據估計該廠產品的質量指標Y的平均值(保留兩位小數)；(2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取6件產品，再從6件產品中隨機抽取 2件產品，求這2件

15、產品的指標Y都在 且8, 10.2】內的概率；(3)已知該廠產品的維護費用為 300元/次.工廠現(xiàn)推出一項服務：若消費者在購買該 廠產品時每件多加 100元，該產品即可一年內免費維護一次.將每件產品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這48件產品每件都購買該服務，或者每件都不購買該服務，就這兩種情況分別計算每件產品的平均消費費用，并以此為決策依據，判斷消費者在購買每件產品時是否值得購買這項維護服務？ 132【解析】（1）指標丫的平均值=9.6父+10父一+10.4父一生10.07. 2分666（2）由分層抽樣法知，先抽取的6件產品中，指標 Y在9.8,10.2內的有3件，記為A、4

16、、A;指標Y在（10.2,10.6內的有2件，記為B、B2；指標Y在9.4,9.8）內的有1件，記為C . 3分從6件產品中隨機抽取 2件產品，共有基本事件15個：（a, A2 ）、（A1,人）、（A1, B ）、（A,B2 卜（A,c）、（A2,A3NA2,B 卜（A2,B2 （A,C）、（A3,B 卜代坦 NA3,C）、 （B,B2 （B1,C 卜（B2,C ）.其中，指標丫都在b8,10.2內的基本事件有3個：（A,A2卜（A,A3卜（A2,A3）31所以由古典概型可知，2件產品的指標 Y都在9.8,10.2內的概率為P = =.15 57分（3）不妨設每件產品的售價為x元，假設這48件

17、樣品每件都不購買該服務，則購買支出為48x元.其中有16件產品一年內的維護費用為300元/件，有8件產品一年內的維護費用為 600元/件，此時平均每件產品的1_一一消費費用為 州=一父（48*+16乂300+8M600 ）=* + 200元； 9分48假設為這48件產品每件產品都購買該項服務，則購買支出為48（x + 100）元，一年內只有8件產品要花費維護，需支出8黑3 0 0=2400,平均每件產品的消費費用11分12分= -1- 48x 100 +8 300x優(yōu) 0所以該服務值得消費者購買.【命題意圖】本題主要考查通過用樣本估計總體（平均數）、古典概型、概率決策等知識 點，重點體現(xiàn)數學運

18、算、數據分析等數學核心素養(yǎng).19.（本小題滿分12分）已知四棱錐 P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形， PD = DC , AD -L PC .（1）求證：AC=AP；（2）若平面 APD _L平面 ABCD , /ADC=120 AD = DC = 4 ,求點 B 到平面 PAC的距離.【解析】（1）證明：取PC中點M ,連接AM , DM ,T PD =DC ,且M為PC中點，- DM _L PC ,2 分:AD _L PC , ADDM = D , 3 分二 PC _L 平面 ADM , 4 分AM a 平面 ADM ,- PC _L AM ,5 分丫 M為PC中點，二 AC =PA

19、 .6 分(2)過點P作PH垂直AD延長線于點H ,連接CH ,平面APD _L平面ABCD ,平面APD八平面ABCD = AD ,PH 仁平面 APD , PH _L AD ,二 PH _L 平面 ABCD , 8分CH u 平面 ABCD ,- PH _L CH ,9 分T PD = DC , AD = AD , AC = AP ,ADP = ADC ,ADC = ADP =120 ,PD=CD=AD=4, AC=AP=4、,3,PH =CH =26，PC =276 10 分 設hB為點B到平面PAC的距離,一、，、，1c 1c 1由于 VP5BC =VB3CP ,可得 SaBC 1PH

20、 =%S&CP hB ,33S. ABC=1 4 4=4.3,22S. ACP所以h4.7B 一深圳市2019年高三年級第一次調研考試數學（文科）試題 第13頁共16頁12即點B到平面PAC的距離為生3 .7【命題意圖】本題主要考查了線面垂直的判定定理、線面垂直的定義、面面垂直的性質、 等體積法求點到面的距離等知識，重點考查等價轉換思想，體現(xiàn)了直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).20.(本小題滿分12分)設拋物線C ： y2 =4x,直線l : X my 2 = 0與C交于A , B兩點.(1)若|AB =4j6,求直線l的方程；(2)點M為AB的中點，過點M作直線MN與y軸垂直，垂足為N

21、 ,求證：以MN為直徑的圓必經過一定點，并求出該定點坐標.一 ,x =my 2, 2【解析】(1)由2消去x并整理，得y24my8 = 0, 1分y =4x,顯然 =16m2 +32 0,設 A(x1, y1), B(x2, y), 由韋達定理可得， y1+y2=4m, y1)2 =-8 , 3分V|AB = Jm2 +1 - Y1 - Y2 = Jm2 +1 1+ y： -4丫也, AB =4Vm2 +1 mm2 +2 =476 ,4 分22，m = Y (舍去)或 m =1 ,二 m = 1 ,直線方程為x y2 = 0或x+y2=0.5 分(2)設AB的中點M的坐標為(xm , Ym),

22、則Ym = y12y2 =2m ,2,又 * x1+x2 = m(y1 + y2)+4 =4m +4,K x22- xM =2= 2m 2 ,6 分二 M (2m2 + 2,2m),由題意可得 N(0,2m),7 分設以MN為直徑的圓經過點 P(x, y)口加2T則 PM =(2m +2x0,2m_y0) , PN = (x0,2m y0) , 8 分由題意可得，pm PN =0，222即(4_2x0)m _4y0m+x0 +y0 2x0 =0 ,9 分4 -2x0 =0,由題意可知-2.(1)當a = 0時，求函數f (x)在1-1,0】上的最大值和最小值；(2)若函數f(x)為R上的單調函

23、數，求實數 a的取值范圍.【解析】(1)當 a=0時，f(x)=2exx _2, f(x)=2ex 1 . 1 分由 f (x) 0 解得 x -ln 2 ,由 f (x) 0解得 x -ln 2 .故函數f(x)在區(qū)間11,In 2上單減，在區(qū)間ln2,0 上單增. 2分 f(xLn =f (Tn2) = ln21.3 分2 , f(-1)=-1 0時，由 g (x) 0 = x - 2十一 ,g (x) 0 = x .2 + -2I一=-ae a-1 0 ,此時函數f (x)存在異號零點，與題意不符.(iii)當2a 0 時，由 g(x)A0口2,可得 x-. 2+-, a由g (x) g

24、(x)在I 3, _2-2 上單調遞增，在-22,+笛i上單調遞減.I a)1a J22、_2_2.Ia J2 2 由題息知， _ae a _1 W0恒成立.8 分._ 2-t t .令2=t,則上述不等式等價于 e 1. 9分故 g(x)max =g . -2 - =-ae a -1 .7 分a2易證，當 t a0時，et t+1-+1,2又由(1)的結論知，當tw(10時，84；+1成立. 1份,2由一1 2 W0 ,解得2 a E 1 .a綜上，當-2aE-1時，函數f (x)為R上的單調函數，且單調遞減.12分2(2)法一：因為f (一1)= 一一1 0 ,所以函數f (x)不可能在R

25、上單調遞增.6分 e所以，若函數f(x)為R上單調函數，則必是單調遞減函數，即 f(x)M0恒成立.由 f (0) =a+1 0可彳導 a -1,故f (x) 0恒成立的必要條件為 2 a E 1 .7 分2 x-.2+ -,a令 g(x) = f (x) =(ax + a + 2 )ex 1,則 g(x) = (ax +2a +2 )ex.當2 0 ,可得由 g (x) 0 可得 x a -. 2 +2上單調遞增，在-2-,+上單調遞減. a2故 g(x)max=g -2 - = -ae a2_2_2令h(a)= _ae a T，下證：當 _2a_1 時，h(a)= _ae a -1 0 ,

26、2一.=-1221 , 121即證e a w 一一 .令2- =t，其中t匚(T,0，則一一深圳市2019年高三年級第一次調研考試數學(文科)試題 第17頁共16頁則原式等價于證明：當tw（1,0時，et 1+1 . 1份由（1）的結論知，顯然成立.綜上，當 0 ,故 cos a,又 cos2 a 1,92 一8 J八， cos a U 一,1 ,7 分9設這個方程的兩個實數根分別為t1 , t2 ,則t1 +t2 =6cosa , t1 12 =8 ,8 分 t1與t2同號，由參數t的幾何意義可得:PA+|PB =|ti +t21 = ti+t2 =6cos/| , PA PB =ti t2 = 8,(|PA| +|PB|)2 -2|PA| .|P