高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文構(gòu)造函數(shù)證明不等式Word版

1、構(gòu)造函數(shù)證明不等式 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是了解各個(gè)數(shù)學(xué)分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中，我們可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立起適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性、凸性等性質(zhì)，靈活、巧妙地證明不等式.一、 二次函數(shù)型：1. 作差構(gòu)造法.例1.(新教材第二冊（上）（以下同）習(xí)題1（2）)求證:分析:將視為變量,考察函數(shù)由于該二次函數(shù)的圖象開口向上,且故結(jié)論獲證.例2.( 教材復(fù)習(xí)參考題6)設(shè)為的三條邊,求證:.分析:構(gòu)造函數(shù)圖象開口向上,對(duì)稱軸.在上單調(diào)遞減.為的三條邊, (不妨設(shè)).即結(jié)論成立.2. 判別式構(gòu)造法.例3.(教材例1)已知都是實(shí)數(shù),且求證:分析：所證結(jié)論即是故可構(gòu)造函數(shù)由于 當(dāng)且僅當(dāng)

2、時(shí)取“=”號(hào).又因?yàn)榈膱D象開口向上,故必有 結(jié)論成立.練習(xí)1.(教材練習(xí)2)求證:點(diǎn)撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:可構(gòu)造函數(shù)證之.練習(xí)2.(教材習(xí)題6)已知是不相等的兩個(gè)正數(shù),求證:點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)證之.練習(xí)3. (教材習(xí)題7)已知都是正數(shù),且,求證:點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)證之.練習(xí)4. (教材復(fù)習(xí)參考題5)求證:點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)證之.二、 分式函數(shù)型:例4. (教材例2)已知都是正數(shù),并且求證:分析:構(gòu)造函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，故在上是增函數(shù).在處右連續(xù)，在上是增函數(shù). 即例5. (教材例3)已知求證:分析:構(gòu)造函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，故在上是增函數(shù).在處右連續(xù)，在處左連續(xù).在上是增函數(shù). ,即

3、, 即例6. (教材練習(xí)5)已知都是正數(shù),且求證:分析:聯(lián)想定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,可寫成故可構(gòu)造函數(shù) 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù). 在處右連續(xù)， 在上是增函數(shù).又而故原不等式成立. 練習(xí)5. (教材練習(xí)4)已知求證:點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)練習(xí)6. (教材習(xí)題9)已知的三邊長分別是.且為正數(shù).求證:點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)易證為增函數(shù).由于故即而故有練習(xí)7. (教材習(xí)題4)求證:分析:構(gòu)造函數(shù)證之.三、 冪函數(shù)型：例7 .如果都是正數(shù)，且求證： 分析：考察函數(shù) (nN*)在上的單調(diào)性，顯然在上為增函數(shù).若,則, ,所以；若,則, ,所以。所以利用函數(shù)的單調(diào)性證法可以將上述結(jié)論推廣為:若a、b是正數(shù)且ab,求證： (m,nN*

4、)四、 一次函數(shù)型：例8.設(shè)求證:分析:構(gòu)造函數(shù)對(duì)任意恒有故原不等式成立.五、 三角函數(shù)型：例9.(同例3)分析:設(shè) 則練習(xí)8.設(shè)且求證: 點(diǎn)撥:設(shè)其中以下略.六、 指數(shù)函數(shù)型:例10已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中， ， ，證明當(dāng)時(shí)，.分析: 設(shè)數(shù)列的公差為數(shù)列的公比為 由條件可得，即.所以，當(dāng)時(shí)，這兒,我們用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮,完成了證明. 七、構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖象的凸性：例11. (教材例6)求證+2分析:考察函數(shù)f(x)=的圖象,特征是上凸函數(shù).對(duì)任意且都有：.537xyo所以,即（+）.兩條結(jié)論:（1）上凸函數(shù)，區(qū)間中點(diǎn)相同時(shí)，兩端“距離”區(qū)間中點(diǎn)越近兩端點(diǎn)的函數(shù)值之和越大.例:及(2

5、)下凸函數(shù),區(qū)間中點(diǎn)相同時(shí),兩端“距離”區(qū)間中點(diǎn)越近,兩端點(diǎn)函數(shù)值之和越小.練習(xí)9.已知:, 若 且,試判斷與的大小，并加以證明（94年高考理科試題變式題）.練習(xí)10.已知:,若,試比較與的大小(94年高考文科試題).練習(xí)11. (教材習(xí)題5)求證:以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義，就會(huì)給證明提供思路.八、 構(gòu)造連續(xù)函數(shù)，應(yīng)對(duì)含離散型變量的不等式問題：例12（2001年全國理）已知是正整數(shù)，且（1） 證明.（2） 證明.分析：（1）可化為：，即：.構(gòu)造函數(shù).（）.兩邊取對(duì)數(shù)，得：當(dāng)時(shí),兩邊求導(dǎo)，得：由于，故.這說明在上是增函數(shù). 在處右連續(xù). 在上是增函數(shù). . .即.整理，得：.（2）不等式兩邊取對(duì)數(shù)，得：.整理，得：.構(gòu)造函數(shù).求導(dǎo)，得：.當(dāng)時(shí),可得：，.故.所以在上是減函數(shù). 在處右連續(xù). 在上是減函數(shù).， .即.整理，得：.注：不等式也可化為：.這時(shí)，可研究函數(shù)的單調(diào)性證之.練習(xí)12.已知是正整數(shù)且.求證：.點(diǎn)撥：不等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，整理得：.構(gòu)造函數(shù)可證之.說明:根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),我們將函數(shù)轉(zhuǎn)化為型或型,方便了對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算.不等式證明的數(shù)學(xué)模型，除本文介紹的函數(shù)模型外，還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等，請讀者自行研究