九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第24章圓24.4弧長(zhǎng)和扇形面積習(xí)題課件（新版）新人教版

1、第二十四章 圓24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積第二十四章 圓24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積考場(chǎng)對(duì)接 題型一 弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用考場(chǎng)對(duì)接 例題例題1 已知一條圓弧所在圓的半徑為已知一條圓弧所在圓的半徑為9, 弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為 , 則這條弧所對(duì)的則這條弧所對(duì)的圓心角是圓心角是_. 50分析分析 由已知可得圓的半徑由已知可得圓的半徑r=9, 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)l= , 根據(jù)弧長(zhǎng)公式根據(jù)弧長(zhǎng)公式l= 可求得可求得n的值的值.把相關(guān)數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式把相關(guān)數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式l= , 得得 = , 解得解得n=50例題例題2 一個(gè)定滑輪的起重一個(gè)定滑輪的起重 裝置如圖裝置如圖24-4-7, 滑輪的半徑滑輪的半徑 為為12 cm. 當(dāng)重物上升

2、當(dāng)重物上升4 cm時(shí)時(shí), 滑滑 輪的一條半徑輪的一條半徑OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為為(). (假設(shè)繩索與滑輪之間沒有假設(shè)繩索與滑輪之間沒有 滑動(dòng)滑動(dòng)) A12B30C60D90 C分析分析 重物上升的高度重物上升的高度4 cm就是半徑就是半徑OA轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) n所對(duì)應(yīng)所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng), 由弧長(zhǎng)公式建立方程由弧長(zhǎng)公式建立方程, 從而求出從而求出n的值的值. 依題意依題意, 得得4= , 解得解得n=60. 錦囊妙計(jì)利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算的三種題型利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算的三種題型弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)公式l= 涉及三個(gè)量涉及三個(gè)量, 分別為分別為l,R, n. 對(duì)于這三個(gè)量對(duì)于這三個(gè)量,

3、可以可以借助弧長(zhǎng)公式知二求一借助弧長(zhǎng)公式知二求一.題型二 應(yīng)用弧長(zhǎng)公式求圖形滾動(dòng)的路徑長(zhǎng)例題例題3 如圖如圖24-4-8, RtABC的邊的邊BC位于位于 直線直線l上上, AC= 3, ACB=90 , BAC=30 . 若若 RtABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)由現(xiàn)在的位置向右無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn), 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn) A第第3次落在直線次落在直線l上時(shí)上時(shí), 點(diǎn)點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為 _(結(jié)果結(jié)果用含用含的式子表示的式子表示). 分析分析 在在RtABC中中, AC= 3, ACB=90 , BAC=30, AB=2, BC=1, ABC=60. RtABC在直線在直線l上向右無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)上向右

4、無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn), 且點(diǎn)且點(diǎn)A第第3次次 落在直線落在直線l上上時(shí)時(shí), 點(diǎn)點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為3個(gè)個(gè)AA1 和和2個(gè)個(gè) A1A2的長(zhǎng)度之和的長(zhǎng)度之和, 點(diǎn)點(diǎn)A經(jīng)過的路線長(zhǎng)經(jīng)過的路線長(zhǎng)為為錦囊妙計(jì)平面圖形滾動(dòng)問題的解題規(guī)律平面圖形滾動(dòng)問題的解題規(guī)律 (1)圖形滾動(dòng)時(shí)不動(dòng)的點(diǎn)是定點(diǎn)圖形滾動(dòng)時(shí)不動(dòng)的點(diǎn)是定點(diǎn), 移動(dòng)的點(diǎn)是移動(dòng)的點(diǎn)是 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn), 滾動(dòng)過滾動(dòng)過程中動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的路線程中動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的路線(軌跡軌跡)一般是一般是 一段圓弧一段圓弧, 所形成的圖形一所形成的圖形一般是扇形般是扇形. 其中定點(diǎn)其中定點(diǎn) 與動(dòng)點(diǎn)之間的距離是所形成扇形的半徑與動(dòng)點(diǎn)之間的距離是所形成扇形的半徑.(2)此類翻滾求路線

5、長(zhǎng)的問題此類翻滾求路線長(zhǎng)的問題, 可通過歸納可通過歸納 探究出這個(gè)點(diǎn)一探究出這個(gè)點(diǎn)一輪走過的路線的情況輪走過的路線的情況, 并以此并以此 推斷整個(gè)運(yùn)動(dòng)路線推斷整個(gè)運(yùn)動(dòng)路線, 從而利用弧從而利用弧長(zhǎng)公式求出運(yùn)長(zhǎng)公式求出運(yùn) 動(dòng)的路線長(zhǎng)動(dòng)的路線長(zhǎng).題型三 扇形面積的應(yīng)用 500 例題例題4 如圖如圖24-4-9, AC 是汽車擋風(fēng)玻璃前的雨刮器是汽車擋風(fēng)玻璃前的雨刮器 示意圖示意圖, 如果如果AO=45 cm, CO= 5 cm, 當(dāng)當(dāng)AC繞點(diǎn)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90時(shí)時(shí), 雨刮器雨刮器AC掃掃過的面積過的面積 為為_cm2(結(jié)果保留結(jié)果保留). 分析分析 利用利用“SSS”易證易證AOC

6、AOC, 雨刮器雨刮器AC掃過的面積掃過的面積=扇形扇形AOA的面積的面積-扇形扇形COC的面積的面積= =500(cm2). 錦囊妙計(jì)扇形面積公式的用法扇形面積公式的用法在求扇形面積時(shí)在求扇形面積時(shí), 要結(jié)合題意靈活選用公式要結(jié)合題意靈活選用公式, 已知半徑和圓心已知半徑和圓心角時(shí)角時(shí), 選用公式選用公式S扇形扇形= , 已知扇形的半徑和弧長(zhǎng)時(shí)選用公式已知扇形的半徑和弧長(zhǎng)時(shí)選用公式S扇形扇形= lR.題型四 與圓錐有關(guān)的側(cè)面展開圖的計(jì)算例題例題5 若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為 18 cm, 圓心角為圓心角為240的扇形的扇形, 則這個(gè)圓錐的底面則這個(gè)圓錐的底面

7、 圓的半徑是圓的半徑是(). A6 cmB9 cmC12 cmD18 cm C分析分析依題意依題意, 得扇形的弧長(zhǎng)得扇形的弧長(zhǎng)l= =24(cm). 設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為徑為r cm, 則則24=2r, 解得解得 r=12.錦囊妙計(jì)圓錐和側(cè)面展開圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圓錐和側(cè)面展開圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 (1)圓錐的母線與側(cè)面展開扇形的半徑對(duì)應(yīng)；圓錐的母線與側(cè)面展開扇形的半徑對(duì)應(yīng)； (2)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)與側(cè)面展開扇形的圓錐的底面圓的周長(zhǎng)與側(cè)面展開扇形的 弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng). 根據(jù)這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系列方程是求圓錐底面根據(jù)這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系列方程是求圓錐底面 圓的半徑、圓錐的圓的半徑、圓

8、錐的母線長(zhǎng)、圓錐的高、圓錐側(cè)母線長(zhǎng)、圓錐的高、圓錐側(cè) 面展開扇形的圓心角的度數(shù)等的主要面展開扇形的圓心角的度數(shù)等的主要方法方法.題型五 用割補(bǔ)法求圖形的面積 例題例題6 如圖如圖24-4-10, 在在 O中中, 直徑直徑AB=2, CA切切 O于點(diǎn)于點(diǎn)A, BC交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)D, C=45 . (1) BD的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是_；(2) 求陰影部分的面積求陰影部分的面積. 分析分析證明證明 (1)(2)如圖如圖24-4-10, 連接連接AD. AB是是 O的直徑的直徑, ADBC. 又又C=45 , CA切切 O于點(diǎn)于點(diǎn)A, ADC是等腰直角三角形是等腰直角三角形, B=45, ABD是等腰直角三角

9、形是等腰直角三角形, AD=BD= ,弓形弓形BD的面積的面積=弓形弓形AD的面積的面積, 陰影部分的面積陰影部分的面積=RtADC的的 面積面積= ( )2=1.錦囊妙計(jì)用割補(bǔ)法求圖形的面積用割補(bǔ)法求圖形的面積 根據(jù)圖形的特點(diǎn)根據(jù)圖形的特點(diǎn), 通過通過“割補(bǔ)割補(bǔ)”將不規(guī)則將不規(guī)則 圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是用割補(bǔ)法求圖形面積的形是用割補(bǔ)法求圖形面積的 關(guān)鍵關(guān)鍵.題型六 用等積變形法求圖形的面積例題例題7 東營(yíng)中考東營(yíng)中考如圖如圖 24-4-11, 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A, B, C, D 均均 在已知圓上在已知圓上, ADBC, BD平分平分 ABC, BAD=120 , 四邊形四邊形 A

10、BCD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為15. (1)求此圓的半徑；求此圓的半徑； (2)求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積. 解解 (1) ADBC, BAD=120 , ABC=60 , ADB=DBC. 又又BD平分平分ABC, ABD=DBC=ADB=30 , AB =AD =DC , BCD=60 , AB=AD=DC, BDC=90 , BC是圓的直徑是圓的直徑, BC=2DC,BC+ BC=15, 解得解得BC=6, 此圓的半徑為此圓的半徑為3.(2)如圖如圖24-4-11, 設(shè)設(shè)BC的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為O, 由由(1)可知可知 點(diǎn)點(diǎn)O為圓心為圓心, 連接連接OA, OD. ADBC, ABD與

11、與AOD同底等高同底等高, SABD=SAOD, S陰影陰影=S扇形扇形AOD錦囊妙計(jì)用等積變形法求圖形的面積用等積變形法求圖形的面積 根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等, 把一個(gè)圖形的把一個(gè)圖形的 面積轉(zhuǎn)換為另一個(gè)面積轉(zhuǎn)換為另一個(gè)圖形的面積以便于解題的方圖形的面積以便于解題的方 法就是等積變形法法就是等積變形法. 對(duì)于三角形來說對(duì)于三角形來說, 等積的主等積的主 要依據(jù)是要依據(jù)是“同底同底(等底等底)等高等高(同高同高)的三角形的面的三角形的面 積相積相等等”.題型七 用平移法求圖形的面積例題例題8 圖圖24-4-12 是兩個(gè)半圓是兩個(gè)半圓, O為大半圓的為大半圓的 圓心圓心, A

12、B是半圓是半圓O的的弦弦, CD 是半圓是半圓O的直徑的直徑, AB與小與小 半圓相切半圓相切, ABCD, 且且AB=24, 求圖求圖中陰影部分的中陰影部分的 面積面積.分析分析解解 將小半圓向右平移將小半圓向右平移, 使兩個(gè)半圓的圓心重合使兩個(gè)半圓的圓心重合, 如圖如圖 24-4-13. 設(shè)設(shè)AB與小半與小半圓的圓的 切點(diǎn)為切點(diǎn)為E, 連接連接OB, OE. 由切由切 線的性質(zhì)及垂徑定理可得線的性質(zhì)及垂徑定理可得OEAB, AE=BE=12, S 陰影陰影= S 大半圓大半圓- S 小半圓小半圓= OB2- OE2= (OB2-OE2)= BE2= 72. 錦囊妙計(jì)用平移法求圖形的面積用平

13、移法求圖形的面積 根據(jù)平移前后的兩個(gè)圖形全等根據(jù)平移前后的兩個(gè)圖形全等, 將部分圖將部分圖 形平移后形平移后, 使所求不使所求不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形, 從從 而求出其面積而求出其面積. 題型八 利用整體思想求面積例題例題9 如圖如圖24-4-14, 依次以三角形、四邊依次以三角形、四邊 形、形、n邊形的各頂邊形的各頂點(diǎn)為圓心畫半徑為點(diǎn)為圓心畫半徑為1的圓的圓, 且且 圓與圓之間兩兩不相交圓與圓之間兩兩不相交, 把三角形與把三角形與各圓重疊部分的面積之和記為各圓重疊部分的面積之和記為S3, 四邊形與各圓重疊部分的面積四邊形與各圓重疊部分的面積 之和記為之和記為S4n邊形與各圓

14、重疊部分的面積之和邊形與各圓重疊部分的面積之和 記為記為Sn, 則則S99的的值為值為_. 分析分析 通過觀察通過觀察, 知每個(gè)圖中陰影部分的圓心知每個(gè)圖中陰影部分的圓心 角之和為該圖形的內(nèi)角和角之和為該圖形的內(nèi)角和. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镾99為九十九邊形為九十九邊形 與半徑為與半徑為1的圓的重疊部分的面積之和的圓的重疊部分的面積之和, 所以所以錦囊妙計(jì)利用整體思想求圖形的面積利用整體思想求圖形的面積 善于用善于用“集成集成”的眼光的眼光, 把某些式子或圖把某些式子或圖 形看成一個(gè)整體形看成一個(gè)整體, 把把握它們之間的聯(lián)系握它們之間的聯(lián)系, 進(jìn)行有進(jìn)行有 目的、有意識(shí)地整體處理目的、有意識(shí)地整體處理

15、, 是應(yīng)用整體是應(yīng)用整體思想的思想的 關(guān)鍵關(guān)鍵. 整體代入、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、幾何整體代入、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、幾何 中的補(bǔ)形等中的補(bǔ)形等都是整體思想在數(shù)學(xué)問題中的具體都是整體思想在數(shù)學(xué)問題中的具體 運(yùn)用運(yùn)用.題型九 用覆蓋法求圖形的面積例題例題10 如圖如圖24-4-15所所 示示, 正方形正方形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為a, 分別以分別以A, C為為圓心圓心, a為半徑畫為半徑畫 弧弧, 則圖中陰影部分的面積是則圖中陰影部分的面積是 多少？多少？ 分析分析 陰影部分可以看作陰影部分可以看作 是兩個(gè)扇形的重疊部分是兩個(gè)扇形的重疊部分. 錦囊妙計(jì)用覆蓋法求圖形的面積用覆蓋法求圖形的面積 利用覆蓋利用覆蓋, 將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則 圖形面積的和或差圖形面積的和或差. 弄清圖形的構(gòu)成方式是解弄清圖形的構(gòu)成方式是解 答此類問題的關(guān)鍵答此類問題的關(guān)鍵.題型十 求圓錐的側(cè)面積例題例題11 如圖如圖24-4-16, 在在RtABC中中, C= 90, AC=3, BC=4將將RtABC以直線以直線BC為軸旋為軸旋 轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)一周, 求所得旋轉(zhuǎn)體的全面積求所得旋轉(zhuǎn)體的全面積.分析分析解解 將將RtABC繞直線繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè) 圓錐圓錐. C=90, AC=3, BC=4, AB= =5,