1一元一次方程及其解法例題與講解

1、一元一次方程及其解法1. 一元一次方程(1) 一元一次方程的概念只含有一個未知數(shù)(元),未知數(shù)的次數(shù)都是 1,且等式兩邊都是整式的方程叫做一元一 次方程.如：7 5x= 3,3(x+ 2)=4x等都是一元一次方程.解技巧正確判斷一元一次方程判斷一元一次方程的四個條件是：只含有一個未知數(shù)(元)；未知數(shù)的次數(shù)都是一次；未知數(shù)的系數(shù)不能為 0;分母中不含未知數(shù),這四個條件缺一不可.(2)方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.一元方程的解,也叫做方程的根.方法：要檢驗(yàn)?zāi)硞€數(shù)值是不是方程的解,只需看兩點(diǎn)：一看,它是不是方程中未知數(shù)的值；二看,將它分別代入方程的左邊和右邊,假設(shè)方程左、右兩

2、邊的值相等,那么它是方程的 解.如x=3是方程2x- 4= 2的解,而y= 3就不是方程 2x4= 2的解.(3)解方程求方程的解的過程叫做解方程.方程的解和解方程是不同的概念,方程的解是求得的結(jié)果,它是一個數(shù)值(或幾個數(shù)值), 而解方程是指求出方程的解的過程.【例1 1】以下各式哪些是一元一次方程().1 1A . S=2ab; B.xy=0; C.x=0; D.?1 ； E.31 = 2; F.4y5=1; G2x2+2x+12 2x 3=0; H.x+2.解析：E中不含未知數(shù),所以不是一元一次方程；G中未知數(shù)的次數(shù)是 2,所以不是一元一次方程；A與B中含有的未知數(shù)不是一個,也不是一元一次

3、方程；H雖然形式上字母的個數(shù)是一個,但它不是等式,所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知數(shù),不是一元一次方程；只有 C, F符合一元一次方程的概念,所以它們是一元一次方程.答案：CF【例1 2】x= 3是以下方程()的解.A. - 5(x- 1) = - 4(x-2)B. 4x+2= 1C. 1x+5=5D. - 3x- 1 = 03解析：對于選項(xiàng)A,把x=3代入所給方程的左右兩邊,左邊=5X(31)=20,右邊=4X ( 3 2)=20,由于左邊=右邊, 所以x= 3是方程5(x1) = 4(x2)的解； 對于選項(xiàng)B,把x= 3代入所給方程的左右兩邊,左邊=4X ( 3)+2=10,右邊

4、=1,因?yàn)樽筮厀右邊,所以x= 3不是方程4x+2= 1的解,選項(xiàng)C, D按以上方法加以判斷,者B 不能使方程左右兩邊相等,只有A的左右兩邊相等,故應(yīng)選 A.答案：A2 .等式的根本性質(zhì)(1)等式的根本性質(zhì)性質(zhì)1:等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,所得結(jié)果仍是等式.用式子形式表示為：如果 a=b, 那么 a+c= b+c, a c= b c.性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能是零),所得結(jié)果仍是等式.用式子形式表示為：a b如果 a=b,那么 ac=bc, c= c(g0).性質(zhì)3:如果a=b,那么b= a.(對稱性)如由一 8=y,得 y= - 8.性質(zhì)4：如

5、果a=b, b=c,那么a=c.(傳遞性)如：假設(shè)/ 1 = 60°, /2=/ 1,那么/ 2=60°.(2)等量代換在解題過程中,根據(jù)等式的傳遞性,一個量用與它相等的量代替,簡稱等量代換.談重點(diǎn)應(yīng)用不等式的性質(zhì)的考前須知(1)應(yīng)用等式的根本性質(zhì) 1時,一定要注意等式兩邊同時加上 (或減去)同一個數(shù)或同一個 整式,才能保證所得結(jié)果仍是等式. 這里特別要注意：“同時和“同一個,否那么就會破 壞相等關(guān)系.(2)等式的根本性質(zhì)2中乘以(或除以)的僅僅是同一個數(shù)而不包括整式,要注意與性質(zhì)1的區(qū)別.(3)等式兩邊不能都除以 0,由于0不能作除數(shù)或分母.【例21】 以下運(yùn)用等式的性質(zhì)

6、對等式進(jìn)行的變形中,正確的選項(xiàng)是()._一4一 5A.假設(shè) 4y+2=3y-1,貝U y= 1B.假設(shè) 7a=5,貝U a="C.假設(shè)工=0,那么 x= 2D,假設(shè)X 1 = 1,那么 x- 6=126解析：首先觀察等式的左邊是如何由上一步變形得到的,確定變形的依據(jù),再對等式的右邊進(jìn)行相應(yīng)的變形,得出結(jié)論.A根據(jù)等式的根本性質(zhì) 1,等式的兩邊都減去3y+2,左邊是y,右邊是-3,不是1; C根據(jù)等式的根本性質(zhì) 2,兩邊都乘以2,右邊應(yīng)為0,不是2; D根據(jù)等式的根本性質(zhì) 2, 左邊乘以6,而右邊漏乘6,故不正確；只有 B根據(jù)等式的根本性質(zhì) 2,兩邊都除以7,得 到 a=7.答案：B【

7、例22】 利用等式的根本性質(zhì)解方程：(1)5x8=12; (2)4x 2=2x; (3)x+1 = 6; (4)3-x= 7.分析：利用等式的根本性質(zhì)求解.先利用等式的根本性質(zhì) 1將方程變形為左邊只含有未知數(shù)的項(xiàng),右邊含有常數(shù)項(xiàng),再利用等式的根本性質(zhì)2將未知數(shù)的系數(shù)化為1.解：(1)方程的兩邊同時加上 8,得5x= 20.方程的兩邊同時除以 5,得x=4.(2)方程的兩邊同時減去 2x,得2x-2=0.方程的兩邊同時加上 2,得2x=2.方程的兩邊同時除以 2,得x= 1.(3)方程兩邊都同時減去1,得 x+11 = 61, x= 6 1.x= 5.(4)方程兩邊都加上x,得 3 x+ x=7

8、 + x,3=7+x,方程兩邊都減去7,得 3-7=7 + x-7, 4= x, 即 x= - 4.3 .解一元一次方程(1)移項(xiàng)移項(xiàng)的概念及依據(jù)：把方程中的某一項(xiàng)改變符號后,從方程的一邊移到另一邊,這種變形叫做移項(xiàng).由于方程是特殊的等式,所以移項(xiàng)的依據(jù)是等式的根本性質(zhì)1.移項(xiàng)的目的：把所有含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊,常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊.移項(xiàng)的過程：移項(xiàng)的過程是項(xiàng)的位置改變和符號變化的過程.即對移動的項(xiàng)進(jìn)行變號的過程,如,2-3x=7,把2從方程的左邊移到右邊,2在原方程中前面帶有性質(zhì)符號,移到右邊后需變成“ + ,在移動的過程中同時變號,沒有移動的項(xiàng)那么不變號. 所以由移項(xiàng),得一3x=

9、 7+2.要注意移項(xiàng)和加法交換律的區(qū)別：移項(xiàng)是把某一項(xiàng)從等式的一邊移到另一邊,移項(xiàng)要變號；而加法交換律中交換加數(shù)位置只是改變排列的順序,符號隨著移動而不改變.如,3+ 5x=1,把3從方程的左邊移到右邊要變號,得 5x=1-3,是屬于移項(xiàng)；而把 5x-15x + 11x=11變成5x+ 11x-r15x=11,是利用加法交換律,不是移項(xiàng)而是位置的移動,所以不變 號.辨誤區(qū)移項(xiàng)時應(yīng)注意的問題在移項(xiàng)時注意 “兩變：一變性質(zhì)符號,即 “ + 號變?yōu)椤疤?而“號變?yōu)?“十號；二變位置,把某項(xiàng)由等號的一邊移到另一邊.(2)解一元一次方程的步驟解一元一次方程的一般步驟有：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、

10、系數(shù)化為1.具體見下表：變形名稱具體做法變形依據(jù)考前須知去分母方程左右兩邊的每一項(xiàng) 都乘以各分母的最小公 倍數(shù)等式的根本性質(zhì)2不能有漏乘不含分母 的項(xiàng)；分子是多項(xiàng)式 的去掉分母后,要加 小括號去括號可由小到大,或由大到 小去括號分配律；去括號的 法那么不要漏乘括號內(nèi)的 項(xiàng)；括號前是 號的,去括號時括號 內(nèi)的所有項(xiàng)都要交號移項(xiàng)移項(xiàng)就是將方程中的某 些項(xiàng)改變符號后,從方 程的一邊移到另一邊等式的根本性質(zhì)1移項(xiàng)要變號合并同類項(xiàng)將方程化為ax= b的最 簡形式合并同類項(xiàng)的法那么只將系數(shù)相加,字母 及其指數(shù)/、變化系數(shù)為1方程的左右兩邊同時除 以未知數(shù)系數(shù)或乘以未 知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)等式的根本性質(zhì)2分子、分

11、母不能顛倒解技巧巧解一元一次方程值得注意的是：(1)這些步驟在解方程時不一定全部都用到,也不一定根據(jù)順序進(jìn)行, 可根據(jù)方程的形式,靈活安排步驟；(2)為了防止錯誤,可將解出的結(jié)果代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn).【例31】 以下各選項(xiàng)中的變形屬于移項(xiàng)的是().A .由 2x=4,得 x= 2B.由 7x+3 = x+5,得 7x+3=5+.xC. 由 8 x=x 5,得一x x= 1 5 8D.由 x+ 9= 3x- 1,得 3x-1 = x+ 9解析：選項(xiàng)A是把x的系數(shù)化成1的變形；選項(xiàng) B中x+ 5變成5+x是應(yīng)用加法交換 律,只是把位置變換了一下；選項(xiàng) C是作的移項(xiàng)變形；選項(xiàng) D是應(yīng)用等式的對稱性&q

12、uot;a=b,那么b=a所作的變形.所以變形屬于移項(xiàng)的是選項(xiàng)C.答案：C【例32】解方程智5 =三.3 4分析：方程有分母,將方程兩邊每一項(xiàng)都要乘以各分母的最小公倍數(shù)12,去掉分母得4(2 -x)-60=3(x-1),再根據(jù)步驟求解,特別注意5不能漏乘分母的最小公倍數(shù)12.解：去分母,方程兩邊都乘以12,得 4(2 -x)- 60= 3(x- 1).去括號,得 8-4x- 60=3x-3.移項(xiàng),得4x3x= 38+ 60.合并同類項(xiàng),得7x=49.兩邊同除以一7,彳導(dǎo)x=-7.4 .解復(fù)雜的一元一次方程解方程是代數(shù)中的主要內(nèi)容之一,一元一次方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程后,就成為未知數(shù)系數(shù)不是0的最簡方程

13、.一元一次方程不僅有很多直接應(yīng)用,而且解一元一次方程是學(xué)習(xí)解其他方程和方程組的根底. 解方程的過程,實(shí)際上就是把方程式不斷化簡的過程,一直把方程化為x=a(a是一個數(shù)).(1)復(fù)雜的一元一次方程的解法與簡單方程的解法其思路是一樣的.方程中假設(shè)含有相同 的代數(shù)式,可以把此代數(shù)式看作一個整體來運(yùn)算；方程中假設(shè)含有小數(shù)或百分?jǐn)?shù),就要根據(jù)分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì),把小數(shù)或百分?jǐn)?shù)化為整數(shù)再去分母運(yùn)算.【例4】 解方程0.50.4x- 9 x-5 0.03+0.02x(2)要注意把分母整數(shù)化和去分母的區(qū)別：分母整數(shù)化是在某一項(xiàng)的分子、分母上同乘 以一個不等于零的數(shù),而去分母是在方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù).0.0

14、3分析：由于吟9和00黨警的分子、分母中含有小數(shù),可利用分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)把 0.50.030 4x94x 900 03 + 0 02X小數(shù)化為整數(shù),在式子0的分子、分母中都乘以10,變?yōu)榻z產(chǎn),在式子二.的0.550.03 3+ 2x 次方程的步驟求解.分子、分母中都乘以 IO.,變?yōu)?,然后去分母,再按解3解：分母整數(shù)化,得4x90 x-5 3+ 2x Z-= z 523 .去分母,得6(4x-90)-15(x-5) = 10(3+ 2x).去括號,得24x- 540-15x+75=30 + 20x.移項(xiàng),得24x- 15x- 20x= 540 75 + 30.合并同類項(xiàng),得-11x= 495.

15、兩邊同除以一11,得x= 45.5 .與一元一次方程的解相關(guān)的問題方程的解不僅是方程的重要概念,也是考查方程知識時的主要命題點(diǎn).解題的關(guān)鍵是理解方程的解的概念.(1)方程的解求字母系數(shù)：假設(shè)方程的解,將方程的解代入方程,一定使其成立, 那么得到一個關(guān)于另一個未知數(shù)的方程,解這個方程,即可求出這個字母系數(shù)的值.(2)同解方程：由于兩方程的解相同,可直接解第一個方程,求出未知數(shù)的值,再把未 知數(shù)的值代入第二個方程,求出相關(guān)字母的值.【例51】 關(guān)于x的方程3x+ 5=0與3x+3k=1的解相同,那么k=().A.-2B. 4C. 2D.-433解析：解方程3x+5=0,得x= - 3.,5.將x=

16、 q代入方程3x+ 3k=1, 3得一5+ 3k=1,解得k=2,故應(yīng)選 C.答案：C【例52】 假設(shè)關(guān)于x的方程(m 6)x=m 4的解為x= 2,那么m =.解析：把x= 2代入方程(m 6)x= m4,得(m6)x 2= m4,解得 m= 8.答案：86 .一元一次方程的常用解題策略我們已經(jīng)知道,解一元一次方程一般有五個步驟,去分母,去括號,移項(xiàng),合并同類項(xiàng),化未知數(shù)的系數(shù)為1,可有些一元一次方程,假設(shè)能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)與解題技巧,那么不但可以提升解題速度與準(zhǔn)確性,而且還可以使解題過程簡捷明快,下面介紹解一元一次方程常用的幾種技巧.(1)有括號的一元一次方程一般是先去括號

17、,去括號的順序一般是由小到大去,但有些題目是從外向里去括號,計算反而簡單,這就要求仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn),靈活運(yùn)用使計算簡便的方法.(2)對于一些含有分母的一元一次方程,假設(shè)硬套解題的一般步驟,先去分母那么復(fù)雜繁瑣,假設(shè)根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),先移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),那么使運(yùn)算顯得簡捷明快.有些特殊的方程卻要打破常規(guī),靈活運(yùn)用一些解題技巧, 使運(yùn)算快捷、簡便.巧解可激活思維,使我們克服思維定式,培養(yǎng)創(chuàng)新水平,從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.【例61】解方程： x ： 4 =.x+1. 4 32分析：注意到3'X 4=1,把3乘以中括號的每一項(xiàng), 那么可先去中括號,)*4區(qū)4一3X44 344 3 2443

18、113= 2x+1,再去小括號為 /丁 3 = 3x+ 1 ,再按步驟解方程就非常簡捷了.解：去括號,得34 3=3+ 1.移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得一x=17.4一 .一*-17兩邊同除以一1,得x=- 7.【例62】加士亦 x+ 3 x+ 2 x+ 1x+ 44分析：此題可根據(jù)解方程的一般步驟求解,但此題假設(shè)直接去分母,那么兩邊乘以最小公倍數(shù)420,運(yùn)算量大容易出錯,我們可兩邊分別通分, 把分子整理后再根據(jù)解一元一次方程的步驟求解.5 x+3 7 x+ 22 x+ 1 -3 x+ 43512解：方程兩邊分別通分,得5 x+ 3 7 x+ 2352 x+ 1 3 x+ 412.化簡,2x+ 135-x- 1012.去分母,得 r12( 2x+ 1) = 35(-x-10).去括號,得24x+ 12=- 35x- 350.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得 11x= 362.兩邊同除以11,得x=-362.7 .列一元一次方程解題(1)利用方程的解求未知系數(shù)的值當(dāng)方程的解求方程中字母系數(shù)或有關(guān)的代數(shù)式時,常常采用代入法,即將方程的解代入原方程,得到關(guān)于字母系數(shù)的等式(或者可以看作