北師大初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第一章《勾股定理》教案

1、北師大初中八年級(jí)上冊(cè)勾股定理教案教學(xué)目標(biāo)1 . 了解勾股定理的證明，掌握勾股定理的內(nèi)容，初步會(huì)用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、作圖和證明.2 .通過(guò)勾股定理的應(yīng)用，培養(yǎng)方程的思想和邏輯推理能力.3 .對(duì)比介紹我國(guó)古代和西方數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用；難點(diǎn)是勾股定理的證明及應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、激發(fā)興趣引入課題通過(guò)介紹我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚的建議一一向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形與外星人聯(lián)系，并說(shuō)明勾股定 理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家于 2000年前就發(fā)現(xiàn)了的，激發(fā)學(xué)生對(duì)勾股定理的興趣和自豪感，引入課題.二、勾股定理的探索，證明過(guò) 程及命名1 .猜想結(jié)論.勾股定理敘述的內(nèi)

2、容是什么呢？請(qǐng)同學(xué)們也體驗(yàn)一下數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的樂(lè)趣教師用計(jì)算機(jī)演示：（1）在 ABC中，/ A, BB, C C所對(duì)邊分別為 a, b和c , / AC由90 ° ,使 ABC運(yùn)動(dòng)起來(lái)， 但始終保持/ ACB= 90° ,如拖動(dòng)A點(diǎn)或B點(diǎn)改變a ,b的長(zhǎng)度來(lái)拖動(dòng) AB邊繞任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) AC睹.（2）在以上過(guò)程中，始終測(cè)算 a2, b2, c2,各取以上典型運(yùn)動(dòng)的某一兩個(gè)狀態(tài)的測(cè)算值（約78個(gè)）列成表格，讓學(xué)生觀察三個(gè)數(shù)之間有何數(shù)量關(guān)系，得出猜想.（3）對(duì)比顯示銳角三角形、鈍角三角形的三邊的平方不存在這種關(guān)系，因此它是直角三角形所特有的性質(zhì).讓學(xué)生用語(yǔ)言來(lái)敘述他的猜想，畫 圖

3、及寫出已知、求證.2 .證明猜想.目前世界上可以查到的證明勾股定理的方法有幾百種，連美國(guó)第20屆總統(tǒng)加菲爾德于1881年也提供了一面積證法（見(jiàn)課本第 109頁(yè)圖（4）,而我國(guó)古代數(shù)學(xué)家利用割補(bǔ)、拼接圖形計(jì)算面積的思路提供了很多種證明方法，下面咱們采納其中一種（教師制作教具演示，見(jiàn)如圖3151）來(lái)進(jìn)行證明.3 .勾股定理的命名.我國(guó)稱這個(gè)結(jié)論為“勾股定理”，西方稱它為“畢達(dá)哥拉斯定理”，為什么呢？（1）介紹周髀算經(jīng)中對(duì)勾股定理的記載；(2_)介紹西方畢達(dá)哥拉斯于公元前582493時(shí)期發(fā)現(xiàn)了勾股定理；(3)對(duì)比以上事實(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，激勵(lì)他們奮發(fā)向上.三、勾股定理的應(yīng)用1 .已知直角三角形

4、任兩邊求第三邊.例 1 在 Rt 4ABC中，Z C= 90 ° , / A, Z B, Z C所對(duì)邊分別為 a, b, c.(1) a= 6 , b= 8 求 c 及斜邊上的高；(2) a= 40, c= 41,求 b ; ( 3) b=15 , = 25 求 a ;(4)a:b =3:4,c = 15，求 b.說(shuō)明：X于(1),讓學(xué)生總結(jié)基本圖形(圖3 153)中利用面積求斜邊上高的基本方法；對(duì)于(4),引導(dǎo)學(xué)生利用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.教師板書(1) , (4)的規(guī)范過(guò)程，讓學(xué)生練習(xí)(2) , ( 3).例2求圖3 152所示(單位 mm矩形零件上兩孔中心 A和B的距離(精確到

5、 0. lmm).教師就如何根據(jù)圖紙上尺寸尋找直角三角形ABC中的已知條件，出示投影.練習(xí)1投影顯示：(1)在等腰 Rt 4ABC中，/C= 90° , AC:BC:AB =;(2)如圖3 - 153 /ACB =90° , / A= 30 °，貝U BC:AC:AB=;若 AB= 8,則 AC=.;又若 CDL AB,貝U CD=.(3)等邊出 ABC的邊長(zhǎng)為a,則高AD=,S AABG=說(shuō)明：(1)學(xué)會(huì)利用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.(2)通過(guò)此題讓學(xué)生總結(jié)并熟悉幾個(gè)基本圖形中的常用結(jié)論：等腰直角三角形三邊比為 1:1：;含30°角的直角三角形三邊之比為1

6、:2 ;邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的高為a,面積為(板書)例 3 如圖 3154, AB = AC= 20, BC= 32, DAC= 90 ° .求 BD 的長(zhǎng).分析：(1)分解基本圖形，圖中有等腰ABC和Rt ADC(2)添輔助線一一等腰 ABC底邊上的高AE,同時(shí)它也是 RtAADC斜邊上的高；(3)設(shè)BD為X.利用圖3153中的基本關(guān)系，通過(guò)列方程來(lái)解決.教師板書詳細(xì)過(guò)程.解：作 AH BC于 E.設(shè) BD為 x,貝U DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又 aDdE+AEdC-AC2,將上式代入，得DE2+A&EC2=DC-AC2,即 2AC2=DC+EC-DE2.

7、.2X 202= (32-x) 2+162-(16-x) 2,解得 x=7.2 .利用勾股定理作圖.例4作長(zhǎng)為的線段.說(shuō)明：按課本第101頁(yè)分析作圖即可，強(qiáng)調(diào)構(gòu)造直角三角形的方法以及自己規(guī)定單位長(zhǎng).3 .利用勾股定理證明.例 5 如圖 3-155 , 4ABC中，CDL AB于 D, AC>BC.求證：AC2-BC2=AD)-BD2=AB (AD-BD).分析：(1) 分解出直角三角形使用勾股定理.RtMCD中,AC2=AD+CD; RtABCD, BC2=CD+Bti(2)利用代數(shù)中的恒等變形技巧進(jìn)行整理：AC2-BC2=(a6+cD)-(cD+bD)=ad2-bd2=(AD+Bd)

8、(AD-BD=AB (AD-BD .例 6 已知：如圖 3-156 , RtAABC,/ACB=90 ,D為BC 中點(diǎn)，DEL AB 于 E,求證：AC2=AE2-BE2分析：添加輔助線連結(jié)AQ構(gòu)造出兩個(gè)新直角三角形，選擇與結(jié)論有關(guān)的勾股定理和表達(dá)式進(jìn)行證明.4 .供選用例題.(1) 如圖 3-157 ,在 RtABC中，/C=90° , / A=15° , BC=1.求 ABC勺面積.提示：添加輔助線一一BA的中垂線DE交BA于D,交AC于E,連結(jié)BE尹構(gòu)造出含30°角的直角三角形 BCE同時(shí)利用勾股定理解決，或直接在/ABC內(nèi)作/ ABE=15 ,交CA邊于E

9、.(2) 如圖 3-158 , ABC中，/ A=45° , / B=30° , BC=8 求 AC邊的長(zhǎng).分析：添加輔助線一一作 CDL AB于D,構(gòu)造含45° , 30°角的直角三角形列方程解決問(wèn)題.(3)如圖 3-159 (a),在四邊形 ABCD, / B=/ D=90° , / C=60° , AD=1, BC=2 求 AB, CD提示：添加輔助線一一延長(zhǎng) BA CD交于E,構(gòu)造30°角的RtEADRtEBC利用它們的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題(見(jiàn)圖3-159 (b).或?qū)⑺倪呅蜛BC防害U成含30°的直角三解形及矩

10、形來(lái)解決問(wèn)題. (見(jiàn)圖3-159 (c) 答案：AB=23-2, CD=4-3.(4)已知：3-160 (a),矩形ABCD (四個(gè)角是直角)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，求證 PA+ PC2= PB2+ PD2探索P運(yùn)動(dòng)到AD邊上(圖3-160 (b)、矩形 ABC3卜(圖3-160 (C)時(shí)，結(jié)論是否仍然成立.分析：(1)添加輔助線一一過(guò) P作EFL BC交AD干E,交BC于F.在四個(gè)直角三角形中分別 使用勾股定理.(2)可將三個(gè)題歸納成一個(gè) 命題如下：矩形所在平面上任一點(diǎn)到不相鄰頂點(diǎn)的距離的平方和相等.四、師生共同回憶小結(jié)1 .勾股定理的內(nèi)容及證明方法.2 .勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征 (

11、一角為90。)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，即三邊滿足a2+b2=c2.3 .利用勾股定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明時(shí)，要注意利用方程的思想求直角三角形有關(guān)線段長(zhǎng)；利用添加輔助線的方法構(gòu)造直角三角形使用勾股定理.五、作業(yè)1 .課本第106頁(yè)第28題.2 .閱讀課本第109頁(yè)的讀一讀：勾股定理的證明.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成.1 .勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì).本教學(xué)設(shè)計(jì)利用計(jì)算機(jī)(幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)顯示)的優(yōu)越條件，提供足夠充分的典型材料一一形狀大小、位置發(fā)生變化的各種直角三角形，讓學(xué)生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關(guān)系式，并通過(guò)與銳角、鈍角 三角形的對(duì)比，強(qiáng)調(diào)直角三角形的這個(gè)特有性質(zhì)，體現(xiàn)了啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律的 教學(xué)方法.2 .各學(xué)校根據(jù)自己的教學(xué)條件還可以采納以下類比聯(lián)想的探索方式來(lái)引入新課.1）復(fù)習(xí)三角形