信息光學線性系統(tǒng)分析

1、信息光學 Fourier Optics 信息光學是應用光學、計算機科學和信息科學相結合而發(fā)展起來的一門新興光學學科，是信息科學的重要組成部分，也是現(xiàn)代光學的核心課題之一光學是一門傳統(tǒng)科學，半個世紀以來，形成許多新的分支學科和邊緣學科自20世紀50年代以來數(shù)學、電子技術和通信理論與光學結合 給光學引入頻譜、空間濾波、載波、線性變換及相關運算等概念形成 信息光學現(xiàn)代光學發(fā)展的幾件大事：1948年 全息術的提出1955年 評價像質的光學傳遞函數(shù)的建立1960年 激光的誕生與加上傅立葉變換和通信中的線性系統(tǒng)理論使光學通信在信息學領域統(tǒng)一起來從“空域” 走向“頻域”光學不再僅限于用光強、振幅和透過率的空

2、間分布描述光學圖像,也用空間頻率的分布變化描述光學圖像,形成了光學信息處理新的分支為信息傳輸和處理提供了嶄新的技術以傅里葉成像理論、 全息攝影、光學信息處理以及光學計算等為基礎研究光作為信息載體 用以獲取與傳遞信息 處理與存儲數(shù)據等領域 與其他形式的信號處理相比光學信息處理具有高度并行、大容量的特點教學目的及要求 信息光學以傅里葉積分變換為數(shù)學基礎，利用光波頻率高波長短的事實簡化物理光學的電磁模型，從系統(tǒng)的觀點分析光學成像過程的信息傳遞機制，利用光學方法進行信息處理、計算和存儲。通過本課程的學習，掌握信息光學的基本理論、解決光信息處理的科學方法和了解信息光學的應用領域；具體來說，要掌握線性系統(tǒng)

3、理論、標量衍射理論和光學成像系統(tǒng)理論，初步掌握全息技術、光信息處理技術，了解數(shù)字光計算、光學三維傳感等前沿領域的技術原理。1. 線性系統(tǒng)分析 課程內容 2. 標量衍射理論 3. 光學成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 4. 光學全息5. 空間濾波6. 相干光學處理參考書目：1蘇顯渝等，信息光學，科學出版社2揚震寰著，母國光等譯，光學信息處理，南開大學出版社3清華大學光學儀器教研組，信息光學基礎，機械工業(yè)出版社 4于美文，光學全息及信息處理，國防工業(yè)出版社 5黃婉云，傅立葉光學教程，北京師范大學出版社 6康輝，映像光學， 南開大學出版社 7華家寧，現(xiàn)代光學技術及應用， 江蘇科學與技術出版社 8朱自強，現(xiàn)代光學教

4、程， 四川大學出版社 9謝建平 ，近代光學基礎， 中國科學技術出版社10陳家壁，光學信息處理技術原理及應用，高等教育出版社11加塔克，近代光學，高等教育出版社12.呂乃光，傅里葉光學，機械工業(yè)出版社 1.1 特殊函數(shù)一、 一維函數(shù)參量：x0，b x0: x軸的位置 b : 定標因子 取向、寬度等Ch. 1. 線性系統(tǒng)分析重點:傅里葉光學的數(shù)學基礎,傅里葉變換的光 學應用,空間頻率概念,線性系統(tǒng)基礎知識難點:本部分是整個課程的數(shù)學基礎,其中有關 數(shù)學公式的理解和眾多定理的靈活運用將 是難點1矩形函數(shù)（Rectangle function）定義: 0 xx01|b|Area=|b|)(0bxxre

5、ct21,121,121,0)(0000bxxbxxbxxbxxrectx-201Area=3-1-3-4)32(xrect(門函數(shù))作用:曝光時間,透射系數(shù),變量范圍等2Sinc 函數(shù) ( Sinc-function) )()(sin)(sin000bxxbxxbxxc零點：x=nb x0, n 0 x0 :中心點； b:寬度x0=0b =1作用：描述狹縫或矩形孔的夫瑯和費衍射圖樣定義：3三角形函數(shù) （Triangle function） 定義0 xx012|b|Area=|b|)(0bxxtrix210Area=131)12(xtri作用:表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學傳遞函數(shù) 1,

6、11, 0)(0000bxxbxxbxxbxxtri4. 符號函數(shù)（Sign function）bxbxbxbxbxbxbxx0000,1,0,1)sgn(定義：xx01-10)sgn(0bxx-1x1120-2-1)11sgn(x作用：可在x0處逆轉某一函數(shù)的極性bxbxbxbxbxbxbxxstep0000,1,21,0)(定義:xx010)(0bxxstep-1x1120-2)12(xstep5. 階躍函數(shù) （Step-function）作用：打開或關閉函數(shù)、表示直邊（或刀口）的透過率如：step(x-1)cos(2x) 6.圓柱函數(shù)(Circle function) 2a體積在直角坐標

7、系下 在極坐標系下 作用:表示圓孔的透過率 ayxayxayxcirc222222, 00 , 1)(arararcirc, 00 , 1)(7Gauss 函數(shù) （Gauss function） 200)(exp)(bxxbxxGaussx0 :中心點； b:寬度1：光滑函數(shù)， 導數(shù)連續(xù)2：傅立葉變換也是 高斯函數(shù)作用：表示高斯光束1.2 脈沖函數(shù)（函數(shù)）1.定義：1,0,0, 0, 0,dxdyyxyxyxyx0, 0, 0,lim1,lim,yxyxgdxdyyxgyxgyxnnnnn或:和: 0 , 0,dxdyyxyx2.性質),(|1),(yxabbyax)()(),(yxyx),(

8、),(),(),(000000yyxxyxfyyxxyxf1.篩選性質 0000,yxfdxdyyyxxyxf2.坐標縮放性質3.可分離變量性4.與普通函數(shù)乘積的性質3.作用：描述質點、點電荷、點光源及瞬時脈沖等1.3 梳狀函數(shù)nnxxComb)()(xComb(x)1120-1-21. 一維梳狀函數(shù)作用:梳狀函數(shù)可在另一函數(shù)中取樣2.二維梳狀函數(shù) )()(),(ycombxcombyxcomb14 二維特殊函數(shù) )()(),(0000dyyrectbxxrectdyybxxrect1、矩形函數(shù) 體積|bd|2、三角形函數(shù) )()(),(0000dyytribxxtridyybxxtri體積|

9、bd|3、sinc函數(shù) )(sin)(sin),(sin0000dyycbxxcdyybxxc體積|bd|x0=y0 b=2d 4、高斯函數(shù) )()(),(0000dyyGausbxxGausdyybxxGaus體積|bd|x0=y0 b=2d 5、寬邊帽函數(shù)drdrJdrsomb)(2)(1圓形光瞳相干脈沖響應42d體積圓形光瞳非相干脈沖響應1.5 卷積0 xf(x)32-1xh(x)31dxhfxhxfxg)()()(*)()(定義線性系統(tǒng)的輸出輸入與系統(tǒng)脈沖響應的卷積卷積性質)(*)()(*)(xfxhxhxf1、交換性 2、線性性質 )(*)()(*)()(*)()(xhxwbxhxv

10、axhxbwxav 3、平移不變性)()(*)(00 xxgxxhxf)()()()(*)(xgdxhfxhxf若)()(*)(00 xxgxhxxf則)()(*)(2121xxxgxxhxxf1A2B透鏡透過函數(shù)（脈沖響應函數(shù)）：h(x)像平面光場分布：g(x)=f(x)*h(x)平移x0 像平面光場分布：g(x- x0)=f(x- x0)*h(x)卷積平移 大小形狀不變4結合性 )(*)(*)(xhxwxv)(*)(*)(xhxwxv)(*)(*)(xwxhxv)(*)(*)(xwxvxh5坐標縮放性質 若 )()(*)(xgxhxf6函數(shù)的卷積 )()(*)(xfxxf)()(*)(bx

11、gbbxhbxf則注意：)()(*)(bxgbxhbxf函數(shù)與任何函數(shù)卷積僅重新產生該函數(shù)嚴格再生7、卷積的光滑作用脈沖響應函數(shù)h(x)是對光學系統(tǒng)性能的定量評價若h(x)為函數(shù) 理想線性系統(tǒng)無像差、無點擴散h(x)越寬成像質量越差具有緊湊底座的兩個函數(shù)的卷積卷積的寬度近似等于被卷函數(shù)寬度之和若兩個被卷函數(shù)都具有緊湊底座 則嚴格成立有限區(qū)間外恒為零8、重復卷積)()()()(21xfxfxfxgn)(xstepex的重復自卷積 多個函數(shù)卷積產生一個比任一被卷函數(shù)都光滑得多的函數(shù)當被卷函數(shù)越來越多時卷積結果越來越象高斯函數(shù))()()()(21xfxfxfxgnn函數(shù)Gaussxg)(Gauss函

12、數(shù)最光滑？)()()(dhdfdg9、卷積下的面積一個卷積下的面積等于被卷函數(shù)的面積之積10、二元函數(shù)的卷積),(),(),(yxhyxfyxg ddyxhf),(),(dxxfxxyxf),()(),(00與函數(shù)的卷積dyyfyyyxf),()(),(001.6 互相關與自相關定義：f(x)與g(x)的互相關為f(x) g(x) dgxf)()(x若f(x) g(x) dxgf)()(一般地f(x) g(x) g(x) f(x) 互相關不對易互相關是兩個信號之間存在多少相似性的量度若f(x)g(x) 則為自相關f(x) g(x) )()(xgxff(x) f(x) dfxf)()(f(x)

13、f (x) )()(xfxf互相關與卷積關系即:且:自相關函數(shù)乃是自變量相差某一大小時,函數(shù)值間相關的量度1.7 二維Fourier 變換 ),()(2exp),(yxyxffGdxdyyfxfiyxggF 反Fourier 變換： ),()(2exp),(1yxgdfdfyfxfiffGGFyxyxyx正Fourier 變換：1.7.1定義:廣義Fourier 變換： ?)(xF設：)(|1lim)(0bxrectbxb)(1lim)(0bxrectbFxFb)(1lim0bxrectbFb1)(sinlim0 xbbfc函數(shù)的頻譜在整個頻域內均勻1.7.2 Fourier 變換的性質 則

14、),(1),(bfafGabbyaxgFyx2坐標縮放性質 1 線性性質若 Fg(x,y)=G(fx,fy)， Fh(x,y)=H(fx,fy)則Fa1g+a2h= a1G+a2H若 Fg(x,y)=G(fx,fy)空間域坐標（x,y)的伸展導致頻域坐標（fx, fy ）的壓縮附加頻譜幅度變高極限情況： 函數(shù)光學上衍射孔徑的伸展導致衍射圖樣壓縮極限情況：無衍射孔（空間域1）一個點（頻域 函數(shù)）（幾何光學）3平移性)(2exp),(),(bfafiffGbyaxgFyxyx則若 Fg(x,y)=G(fx,fy)物方位置移動 只引起像方位置變化 光強不變像方位置變化反映在空間頻率的變化或位相變化例

15、：設g(x,y)= (x,y)則：Fg(x,y)=F(x,y)=1fx=0, fy=0 點光源位移(a,b)fx0, fy0)(2exp1),(bfafibyaxFyx位相因子改變表示光傳播方向改變),()(2exp),(yxffGyxiyxgF同樣4.Parseval定理若 Fg(x,y)=G(fx,fy) yxyxdfdfffGdxdyyxg22| ),(| ),(|則能量守恒5卷積定理 ddyxhghg),(),(HGhgF HGhgF 則Fg(x,y)=G(fx,fy)Fh(x,y)=H(fx,fy)若),(),( ddyxhgFhgFdxdyyfxfiddyxhgyx)(2exp),

16、(),( ddffigffHyxyx)(2exp),(),(HGffGffHyxyx),(),(dxdyffiyfxfiddyxhgyxyx)(2exp)()(2exp),(),( ddffidxdyyfxfiyxhgyxyx)(2exp)()(2exp),( ),( ),(yxffHHGhgF 習題：證明6Fourier積分定理),(),(),(11yxgyxgFFyxgFF對函數(shù)相繼進行變換和逆變換又重新得到該函數(shù)1.7.3 Fourier-Bessel變換圓對稱函數(shù))(),(rgrgR dxdyyfxfiyxgffGyxyx)(2exp),(),(直角坐標系的Fourier變換在xy平面

17、和fX fY平面作變換：sin),(tancos,122ryxyrxyxrsin),(tancos,122YXYXYXffffff200)sinsincos(cos2exp)(),(rirrgdrdGR020)cos(2exp)(),(ridrrgdrGR200)cos(exp21)(diaaJBessel 恒等式 00)2()(2)(drrJrrgGRFourier-Bessel變換00)2()(2)(drJGrgR逆變換)()()(11rgrgBBrgBBRRR用B*表示F-B變換1)(2aGaargBR計算舉例)(sin)(xfcxrectF1、證明21, 021, 1)(xxxrect

18、證：dxxfjxrectFx2121)2exp()(2121)2exp(21xfjfjxxjxfjxfjfxxx2)exp()exp(1xxffsin)(sinxfc)(sin)(2xfcxF2、證明：1, 01,1)(xxxxdttxrecttrect)()()()(xrectxrect)()()(xrectxrectFxF)()(xrectFxrectF)(sin)(sinxxfcfc)(sin2xfc3、求 F1=?1)(explim),(222yxNyxfN)(explim 1 222yxNFFN)(explim222yxNFN)(explim2222yxNffNN),(yxff設010001)sgn(xxxx0)(lim0lim)sgn(00 xexexaxaaxa4 求 Fsgn(x)sgn(y)=?dxxfiedxxfiexFxaxaxaxa)2exp()(lim)2exp(lim)sgn(0000)2exp()()2exp(lim000dxxfiedxxfiexaxxaxaxxxafifiafia12121lim00, 011)sgn()sgn(yxyxfffifiyxF02exp)sgn(dxxfixx另：0 xf1.8 線性系統(tǒng)分析實現(xiàn)函數(shù)運算過程稱為系統(tǒng)1122,yxfFyxg1.8.1 線性系統(tǒng): 同時具有疊加性和均勻性的系統(tǒng)疊加性獨立作用性; 均