信號與系統(tǒng)第八章1鄭君里

1、1第一節(jié)第一節(jié) 引言引言第八章第八章 Z變換、離散時間系統(tǒng)的變換、離散時間系統(tǒng)的Z域分析域分析本章主要討論：本章主要討論：Z變換的定義、收斂域、性質(zhì)，與傅氏變換和拉氏變變換的定義、收斂域、性質(zhì)，與傅氏變換和拉氏變換的關(guān)系；利用換的關(guān)系；利用z變換解差分方程；變換解差分方程；利用利用z平面零極點(diǎn)的分布研究系統(tǒng)的特性平面零極點(diǎn)的分布研究系統(tǒng)的特性。2二z變換的導(dǎo)出抽樣信號的拉氏變換抽樣信號的拉氏變換離散信號的離散信號的z變換變換) t () t (x) t (xTsnn)nTt ()nT(x)nTt () t (x對對 取拉氏變換取拉氏變換)(stxnss)nTt ()nT(xL) t (xL)s

2、 (XOt txsTT2 nTtnTx On nx1 23 nnsnTnTxnTtLnTxsXe)()()(s sj 其其中中為為連連續(xù)續(xù)變變量量，引引入入復(fù)復(fù)變變量量 e sTz )()(| )(eszXznxsXnnzsT )(變變換換式式為為的的（雙雙邊邊）對對任任一一信信號號znx nnznxzX)()( nxnTx表示為表示為，將，將4 zTsezzssXeXzXZezsTasTezsTsTln1，為平面的映射，映射關(guān)系平面到量兩變量的關(guān)系，由復(fù)變信號的拉斯變換變換就等于其理想抽樣時，抽樣序列的當(dāng)。js其中ssTjTeez 后的傅立葉變換。該序列乘以變換可看成的這時一個序列變換存在的

3、只要令：nnnnnjnnnjjTrznxznxrnxernxrenxzXrezTers,5 Z變換演變?yōu)殡x散序列的傅里葉變換（DTFT）3. Z空間與s空間映射規(guī)律S平面上的復(fù)變量s是直角坐標(biāo)，z平面的復(fù)變量是極坐標(biāo)形式,S中實(shí)部 為零對應(yīng)于虛軸 , z平面r=1對應(yīng)于單位園 當(dāng)s在 軸上取值，拉氏變換變?yōu)楦凳献儞Q 0對應(yīng)于s平面左半邊， r1對應(yīng)于z平面單位園內(nèi)由s平面到z平面的映射不是單一的。 nnjjezenxeXzXrj則如,1jTrezTersjsjj6 在單位園上Z變換演變?yōu)殡x散序列的傅里葉變換（DTFT） sXeXzXZezasTezsTsT。信號的拉斯變換變換就等于其理想抽樣時

4、，抽樣序列的當(dāng) 后的傅立葉變換。該序列乘以變換可看成的序列nnnjnrznxernxzX7nnz)n(x)z(X的負(fù)冪的正冪zn210z12z)n(xz)2(xz) 1 (xz)0(xz) 1(xz)2(x 三對z變換式的理解變變換換單單邊邊zznxzXnn,)()(0 列列的的負(fù)負(fù)冪冪級級數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)成成右右邊邊序序zn 0 列列的的正正冪冪級級數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)成成左左邊邊序序zn 1 若雙邊序列取單邊若雙邊序列取單邊z變換，或?qū)σ蚬盘枺ㄓ衅鹨蛐蜃儞Q，或?qū)σ蚬盘枺ㄓ衅鹨蛐蛄校┝校?存在的序列取存在的序列取z z變換變換 0 n8z變換的定義 變換變換雙邊雙邊變換變換單邊單邊nnnnznxzXzznx

5、zXz)()()()(0 的的生生成成函函數(shù)數(shù)。為為某某些些文文獻(xiàn)獻(xiàn)中中也也稱稱數(shù)數(shù)）；的的冪冪級級數(shù)數(shù)（亦亦稱稱羅羅朗朗級級復(fù)復(fù)變變量量)(1nxzXz 第二節(jié)第二節(jié) z z變換的定義、典型序列的變換的定義、典型序列的z z變換變換9一單位樣值函數(shù) 0 001)(nnn 1)()( nnznzX 二單位階躍序列 0001)(nnnu1 z1111)(1321 zzzzzzzXnO)(n 1nO)(nu112 310三斜變序列的z變換？， 0)()()(nnnzzXnnunx已知已知 1 11)(10 zzznuZnn求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊，對對式式對對11011 zzznn21011)1(1)(

6、zznnn兩邊同時乘以兩邊同時乘以z-1 ，可得，可得 1 z 20)1( zzznnnuZnn（用間接方法求）（用間接方法求）11同理可得同理可得302211)()()( zzzznnunnn42033114)()()( zzzzznnunnn )(dd)()(11zXzznxnZnxnmmm n是離散變量，所以對是離散變量，所以對n沒有微積分運(yùn)算；沒有微積分運(yùn)算；z是連續(xù)變量，所以對是連續(xù)變量，所以對z有微積分運(yùn)算。有微積分運(yùn)算。12四指數(shù)序列)()(nuanxn az bbnzznuZe)(e 則則,e,ebbza 設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng), 1,e0j za設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng) 00jje)( nzznueZ 則

7、則 0nnnzazXazzaz 1111 1右邊序列右邊序列 1 2 nuanxn左左邊邊序序列列.注意：注意：z 變換相同時，左邊序列的定義。變換相同時，左邊序列的定義。 azzzX 1 nanaz 13五正弦與余弦序列 nun0cos 2eecos 00jj0nnn 因?yàn)橐驗(yàn)?nnzznuZ00jjee 1 z單邊余弦序列單邊余弦序列 1cos2cosee21cos 020jj000zzzzzzzznunZ所以同理同理 1cos2sineej21sin 020jj000zzzzzzznunL14一收斂域的定義收斂的所有收斂的所有z 值之集合為收斂域。值之集合為收斂域。 nnznxzX)()

8、(）的區(qū)域（的區(qū)域（即滿足即滿足ROC )( nnznx對于任意給定的序列對于任意給定的序列x(n) ，能使，能使ROC: Region of convergence不同的不同的x(n)的的z變換，由于收斂域不同，可能對應(yīng)于相變換，由于收斂域不同，可能對應(yīng)于相同的同的z 變換，故在確定變換，故在確定 z 變換時，必須指明收斂域。變換時，必須指明收斂域。第三節(jié) z變換的收斂域15二兩種判定法1 1比值判定法比值判定法 nna 1limaannn 令令若有一個正項(xiàng)級數(shù)，若有一個正項(xiàng)級數(shù)，則：則： 1：發(fā)散：發(fā)散 nnnalim即令正項(xiàng)級數(shù)的一般項(xiàng)即令正項(xiàng)級數(shù)的一般項(xiàng)na的的n次根的極限等于次根的極

9、限等于 ，則則 1：發(fā)散：發(fā)散2 2根值判定法根值判定法16三討論幾種情況1有限長序列的收斂域21nnnnx ),(2右邊序列的收斂3左邊序列的收斂4雙邊序列的收斂 nnuanxn0)( 11)( nnuanxn 0 bnbnxn172右邊序列的收斂 nuanxn )(zazazazazXnnnnnnn 11lim)(100時時收收斂斂，即即當(dāng)當(dāng)azza 1 azzzazX 11az ROC：183左邊序列的收斂 azzzaaazzX 1111 11)( nnuanxn 1nnnzazX)(nm 令令 000011)(mmmmmmmmmzazazazazX azazazmmmm11lim111

10、0時時收收斂斂，即即當(dāng)當(dāng)azaz 1ROC: az 194雙邊序列的收斂 0 bnbnxn 11111 bzbzznubnubnn bzbzznubn n nbnx 10 b1n nbnx 1 b1bbb 110 若若bzb1:ROC 則則 001 nnnnnubnubnx或或20四小結(jié)x(n)的收斂域（的收斂域（ROC）為）為 z 平面以原點(diǎn)為中心平面以原點(diǎn)為中心 的圓環(huán)；的圓環(huán)； ROC內(nèi)不包含任何極點(diǎn)（以極點(diǎn)為邊界）；內(nèi)不包含任何極點(diǎn)（以極點(diǎn)為邊界）；有限長序列的有限長序列的ROC為整個為整個 z 平面平面 （可能除去（可能除去z = 0 和和z = ）；）；右邊序列的右邊序列的ROC為

11、為 的圓外；的圓外；1Rz 左邊序列的左邊序列的ROC為為 的圓內(nèi)；的圓內(nèi)；2Rz 雙邊序列的雙邊序列的ROC為為 的圓環(huán)。的圓環(huán)。21RzR 21 32)()()(21nnnnnnznxznxzX3221 nn,0321012)3()2()1( )0()1()2( zzzxzxzxzxzxzx常常數(shù)數(shù)所以，收斂域?yàn)樗?，收斂域?yàn)?的的z平面。平面。 例1 z022例2變換的收斂域。變換的收斂域。的的求信號求信號znnnxn 0 00 31)( 32)3(1)3(1311zzz若該序列收斂，則要求若該序列收斂，則要求131 z 0003131nnnnnnnzzznxzX)()(即收斂域?yàn)椋杭词?/p>

12、斂域?yàn)椋?31 z的圓外半徑為31)Re(z)Im(jz03123例3:變換的收斂域。變換的收斂域。的的求信號求信號znnnxn 0 210 0)(2222321 zzzzznnnnnnnnnnzzzznxzX 111122121)()(收斂域?yàn)椋菏諗坑驗(yàn)椋?2 z所以所以2 z)Re(z)Im(jz0224例4 021031)(nnnxnnROC:231 z)Re(z)Im(jzO23 / 125第四節(jié) 逆z變換部分分式展開法部分分式展開法冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法圍線積分法圍線積分法留數(shù)法留數(shù)法26一部分分式展開法 aznuaaznuaazzznn)1( )( 變變換換的的基基本本形形式式1

13、z變換式的一般形式 zRz包括包括收斂域收斂域右邊序列右邊序列因果序列因果序列,。即即必必須須滿滿足足于于分分母母多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的階階次次的的階階次次不不能能大大處處收收斂斂，其其分分子子多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為了了保保證證 , rkz kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()( stut 1e 拉氏變換的基本形式：拉氏變換的基本形式：272求逆z變換的步驟Z提出一個 為真分式zzx 再部分分式展開 zzzx 查反變換表 283極點(diǎn)決定部分分式形式 NmmmzzzAAzX10)(0,)()()()()( 22110 nzAzAzAnAnxnN

14、Nnn 對一階極點(diǎn)對一階極點(diǎn)NNNmmmzzAzzAzzAzAzzAzAzzX 2211010)(的的系系數(shù)數(shù)極極點(diǎn)點(diǎn)0 000 zabA的的系系數(shù)數(shù)極極點(diǎn)點(diǎn)mzzmmzzzzXzzAm )()(NNzzzAzzzAzzzAAzX 22110)( 所所以以 點(diǎn)點(diǎn)和和高高階階極極點(diǎn)點(diǎn)。的的極極點(diǎn)點(diǎn)也也可可分分為為一一階階極極 zX29高階極點(diǎn)（重根） sjjijzzzBzX1)()( 設(shè)設(shè)階極點(diǎn)。階極點(diǎn)。為為szzi izzsijsjsjzzXzzzjsB )()(dd)!(1 則則30例5:221)( zzzzzX)n(u)2(2)n(u)n(xn nun122 。求求，已已知知nxzzzzzX, 2:ROC)2)(1()(2 zzX除以