小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)第18講方陣問題(含答案分析)

1、第 18講 方陣問題一、 知識(shí)概要1、方陣可以分為實(shí)心方陣和空心方陣。2、方陣的基本特點(diǎn)是：方陣中，里一層總比外一層的一邊少2 個(gè)物體，里一層物體的個(gè)數(shù)一定比上一層物體總個(gè)數(shù)少8 個(gè)。3、實(shí)心方陣中，物體個(gè)數(shù)=最外層的一邊個(gè)數(shù)X最外層一邊的個(gè)數(shù)；（每邊數(shù)一1） X 4=每層數(shù)；每層數(shù)+ 4+1海邊數(shù)4、空心方陣中物體的個(gè)數(shù)=（最外層一邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）X層數(shù)X 45、去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)X 2-1二、典型例題1、有一個(gè)正方形的稻田，四個(gè)角上都放1 個(gè)稻草人，如果每邊放5 個(gè)，四邊共放多少個(gè)稻草人？2、有一個(gè)正方形池塘，四個(gè)角上都栽1 棵樹，一共栽了 28棵樹，那么每邊栽多少棵？3

2、、同學(xué)們排成一個(gè)兩層空心方陣，外層每邊8 人，這個(gè)方陣一共有多少人？104、把若干個(gè)棋子擺成一個(gè)三層的空心方陣，最外層每邊12 個(gè)棋子，求這個(gè)方陣共有多少個(gè)棋子？5、同學(xué)們?cè)谲娪?xùn)時(shí)排成了一個(gè)由204 人組成的三層空心方陣，求最外面一層每邊有多少人？6、某小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，同學(xué)們排成正方形隊(duì)列參加團(tuán)體操表演。如果在這個(gè)正方形隊(duì)列中減少一行一列，則要減少15人，問參加團(tuán)體操表演的有多少同學(xué)？7、在兒童公園的一次菊花展上，用120 盆菊花擺成一個(gè)三層空心方陣，這個(gè)方陣最外層每邊有多少盆花?8、一個(gè)中空方陣的隊(duì)列，最外層每邊18人，最內(nèi)層每邊10人。這個(gè)隊(duì)列共有多少人？9、用 64 枚棋子擺成一個(gè)兩層中

3、空方陣，如果想在外面再增加一層，問需要增加多少枚棋子？10、學(xué)校組織一次團(tuán)體操表演，把男生排列成一個(gè)實(shí)心方陣，又在這個(gè)實(shí)心方72 人參加表演，男生有多少人？三、針對(duì)練習(xí)1、在正方形的廣場(chǎng)四周裝彩燈，四個(gè)角上都裝一盞，每邊裝 25 盞，問這個(gè)廣場(chǎng)一共需裝彩燈多少盞？2、小強(qiáng)用棋子排成了一個(gè)每邊11 枚的中空方陣，共2 層，求這個(gè)方陣共用多少枚棋子？3、小剛在用棋子擺好的實(shí)心陣上又填了17 枚棋子，使它的橫豎各增加一排，成了大一點(diǎn)的實(shí)心方陣，求原來實(shí)心方陣有多少枚棋子？4、 解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演， 組成一個(gè)外層有 48 人， 內(nèi)層有 16 人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？一共有多少人？5、有一個(gè)用

4、圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16 個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來，在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增加多少圓片？6、用棋子擺成方陣，恰好每邊24 粒的實(shí)心方陣，若改為 3 層的空心方陣，它的最外層每邊應(yīng)改放多少粒?7、有學(xué)生若干名，排成中實(shí)的方陣則多2 人，若在這正方陣縱橫兩個(gè)方向個(gè)增加一行還缺五人，問有學(xué)生多少人？8、儀仗隊(duì)員組成兩個(gè)實(shí)心方陣，甲方陣每邊12 人，后來兩隊(duì)合在一起排成一個(gè)中空方陣的丙方陣，丙方陣最外層一邊人數(shù)比乙方陣最外層一邊人數(shù)多 4 人，又原來甲方陣的人正好填滿丙方陣空心。求原乙方陣每邊的人數(shù)(指最外層一邊人數(shù))。9、運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè)9 行 9 列

5、的正方形方陣，如果去掉2 行 2 列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？10、有楊樹和柳樹以隔株相間的種法,種成 7行 7列的方陣 ,問這個(gè)方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?11、三年級(jí)(1)班的學(xué)生參加體操表演,排成隊(duì)形正好是由每7個(gè)人為一邊的 6個(gè)三角形組成的一個(gè)正六邊形 ,求正六邊形一周共有多少名學(xué)生?三(1)班參加體操表演的共有多少人?12、某班抽出一些學(xué)生參加節(jié)日活動(dòng)表演，想排成一個(gè)正方形方陣，結(jié)果多出人；如果每行每列增加一個(gè)再排，卻少了 4 人，問共抽出學(xué)生多少人？13、在第五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)上，紅星小學(xué)組成了一個(gè)大型方塊隊(duì)，方塊隊(duì)最外層每邊30 人，共有 10 層，中間 5

6、 層的位置由 20 個(gè)同學(xué)抬著這次運(yùn)動(dòng)會(huì)的會(huì)徽，問這個(gè)方塊隊(duì)共有多少同學(xué)組成？方陣問題（二）1、運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè)9 行 9 列的正方形方陣，如果去掉2 行 2 列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？2、 解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演， 組成一個(gè)外層有 48 人， 內(nèi)層有 16 人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？一共有多少人？3、五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽,他們排成甲乙兩個(gè)方陣,其中甲方陣每邊的人數(shù)等于 8,如果兩隊(duì)合并,可以另排成一個(gè)空心的丙方陣,丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多 4 人,甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人?4、有楊樹和柳樹以隔株相間的種法,種成 7

7、 行 7 列的方陣 ,問這個(gè)方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?5、三年級(jí)(1)班的學(xué)生參加體操表演,排成隊(duì)形正好是由每7 個(gè)人為一邊的 6個(gè)三角形組成的一個(gè)正六邊形 ,求正六邊形一周共有多少名學(xué)生?三(1)班參加體操表演的共有多少人?6、現(xiàn)有松樹和柏樹以隔株相間的種法,種成 9 行 9 列的方陣 ,問這個(gè)方陣最外層有松樹和柏樹各多少棵?方陣中共有松樹柏樹各多少棵?7、某班抽出一些學(xué)生參加節(jié)日活動(dòng)表演，想排成一個(gè)正方形方陣，結(jié)果多出 7人；如果每行每列增加一個(gè)再排，卻少了 4 人，問共抽出學(xué)生多少人？8、將棋子排成正方形，甲、乙兩人自其外周起，輪流取一周，結(jié)果甲比乙

8、多得24 粒，問棋子總數(shù)有多少粒？9、在第五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)上，紅星小學(xué)組成了一個(gè)大型方塊隊(duì)，方塊隊(duì)最外層每邊30人，共有 10 層，中間 5 層的位置由 20 個(gè)同學(xué)抬著這次運(yùn)動(dòng)會(huì)的會(huì)徽，問這個(gè)方塊隊(duì)共有多少同學(xué)組成？10、用棋子擺成方陣，恰好每邊24 粒的實(shí)心方陣，若改為 3 層的空心方陣，它?第 18講 數(shù)數(shù)圖形一、知識(shí)要點(diǎn)在解決數(shù)圖形問題時(shí)，首先要認(rèn)真分析圖形的組成規(guī)律， 根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒? 既可以逐個(gè)計(jì)數(shù)，也可以把圖形分成若干個(gè)部分，先對(duì)每部分按照各自構(gòu)成的規(guī)律數(shù)出圖形 的個(gè)數(shù)，再把他們的個(gè)數(shù)合起來。二、精講精練【例題11 數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？13【思路導(dǎo)航】圖中的AB邊上

9、有線段1+2+3=6條，把AB邊上的每一條線段作為長(zhǎng)，AD邊 上的每一條線段作為寬，每一個(gè)長(zhǎng)配一個(gè)寬，就組成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以，圖中共有6X3=18個(gè)長(zhǎng)方形。數(shù)長(zhǎng)方形可以用下面的公式：長(zhǎng)邊上的線段X短邊上的線段=長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)練習(xí)1:數(shù)一數(shù)，下面各圖中分別有幾個(gè)長(zhǎng)方形?0)(2)【答案】（1） 60個(gè)（2） 30個(gè)（3） 7個(gè)【例題2】數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)正方形？（每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為 1的正方形）【思路導(dǎo)航】圖中邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有3X3=9個(gè)，邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正 方形有2X2=4個(gè)，邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有1X1=1個(gè)。所以圖中的正方形總數(shù)為： 1+4+9=14 個(gè)。經(jīng)進(jìn)一步分

10、析可以發(fā)現(xiàn)，由相同的nx n個(gè)小方格組成的幾行幾列的正方形其中所含的正 方形總數(shù)為：1X1+2X2+ nXn。練習(xí)2:數(shù)一數(shù)下列各圖中分別有多少個(gè)正方形？（每個(gè)小方格為邊長(zhǎng)是1的小正方形）【答案】（1） 5個(gè)30個(gè)（3） 55個(gè)【例題3】數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)正方形？（其中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的 正方形）【思路導(dǎo)航】邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有3X2=6個(gè)，邊長(zhǎng)是2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形 有2X1=2個(gè)。所以，圖中正方形的總數(shù)為：6+2=8個(gè)。經(jīng)進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，一般情況下，如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成m等份，寬被分成n等份（長(zhǎng)和寬的每一份都是相等的）那么正方形的總數(shù)為：mn+（m- 1）

11、（n 1）+（m2）（n -2） + + (m n+ 1)n.練習(xí)3:1.數(shù)一數(shù)下列各圖中分別有多少個(gè)正方形。2.其中有多少個(gè)是正方形?【答案】（1） 20個(gè)（2） 70個(gè)（3） 210個(gè)長(zhǎng)方形，50個(gè)正方形【例題4】從廣州到北京的某次快車中途要?？?8個(gè)大站，鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多 少種不同車的車票？這些車票中有多少種不同的票價(jià)？【思路導(dǎo)航】這道題是數(shù)線段的方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，連同廣州、北京在內(nèi)，這條 鐵路上共有10個(gè)站，共有1+2+3+ +9=45條線段，因此要準(zhǔn)備45種不同的車票。由于這些 車站之間的距離各不相等，因此，有多少種不同的車票，就有多少種不同的票價(jià)，所以共有 45種不同

12、的票價(jià)。練習(xí)4:1 .從上海到武漢的航運(yùn)線上，有 9個(gè)停靠碼頭，航運(yùn)公司要為這段航運(yùn)線準(zhǔn)備多少種不同的船票？2 .從上海至青島的某次直快列車，中途要停靠 6個(gè)大站，這次列車有幾種不同票價(jià)？3 .從成都到南京的快車，中途要停靠 9個(gè)站，有幾種不同的票價(jià)？【答案】1.1+2+3+4+10=55(條)2.1+2+3+4+5+6+7=28 (條)3.55 種【例題5】求下列圖中線段長(zhǎng)度的總和。(單位：厘米)1423l 4*!«A BCDE【思路導(dǎo)航】要求圖中的線段長(zhǎng)度總和，可以這樣計(jì)算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=1+ (1+4) + (1+4+2) + (1

13、+4+2+3) +4+ (4+2) + (4+2+3) +2+ (2+3) =352 厘米從上面的計(jì)算中可以發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律，算式中長(zhǎng)1厘米的基本線段(我們把不能再劃分的線段稱為基本線段)出現(xiàn)了 4次，長(zhǎng)4厘米的線段出現(xiàn)了( 3X2)次，長(zhǎng)2厘米的線段 出現(xiàn)了(2X3)次，長(zhǎng)3厘米的線段出現(xiàn)了( 1X4)次，所以，各線段長(zhǎng)度的總和還可以這 樣算：1X4+4X (3X2) +2X (2X3) +3X (1X4)=1X (51) +4X (5 2) X2+2X (5 3) X 3+3X (5 4) X 4=52厘米上式中的5是線段上的5個(gè)點(diǎn)，如果設(shè)線段上的點(diǎn)數(shù)為n,基本線段分別為a1、a2、 a(n 1)。以上各線段長(zhǎng)度的總和為 L,那么