高等數(shù)學(xué)-微積分下-課件-華南理工大學(xué) (34)

1、1二階常系數(shù)齊次線性方程定義二階常系數(shù)齊次線性方程定義二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法第八節(jié)第八節(jié) 二階二階常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次2n階階0 qyypy方程方程)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 線性微分方程線性微分方程常系數(shù)常系數(shù)二階二階常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性線性一、定義一、定義形如形如3- - 特征方程法特征方程法將其代入方程將其代入方程, 0)(2 rxeqp

2、rr, 0 rxe故有故有02 qprr2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二階二階rxey 設(shè)設(shè)解解得得特征方程特征方程常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性方程線性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二階二、二階常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次線性方程解法線性方程解法其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 4,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個兩個 特解特解 y)0( 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.1、有兩個不相等的實根、有兩個不相等的實根特征根特征根r的不同情況決定了方程的不同情況決定

3、了方程02 qprr特征方程特征方程xre12Cxre2 1C21yy常數(shù)常數(shù)線性無關(guān)線性無關(guān)的的 得得齊次齊次方程的通解為方程的通解為52、有兩個相等的實根、有兩個相等的實根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為xrexCC1)(21 代代入入到到，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u,)(xxu ,12xrxey 2y常數(shù)常數(shù) 12yy. 0 qyypy化簡得化簡得.)(為為待待定定函函數(shù)數(shù)其其中中xu0 0 設(shè)設(shè))(xu,1xre取取則則知知 yxre1xrxe1 1C2C得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為63、有一對共軛復(fù)根、有一

4、對共軛復(fù)根,1 ir ,2 ir ,)(xie xrey22 )0( )(21211yyy xex cos )(21212yyiy xex sin )sincos(21xCxCeyx 0,21 qyypyyy為為方方程程為了得到實數(shù)形式的解為了得到實數(shù)形式的解,常數(shù)常數(shù) 21yy重新組合重新組合的兩個的兩個線性無關(guān)線性無關(guān)的解的解.xrey11 xie)( 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為用歐拉用歐拉(Euler)公式公式:xixeixsincos 7稱為稱為.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解為故所求通解為 y例例1 1由常系

5、數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法確定其通解的方法特征方程法特征方程法. .特征根特征根xexCC221)( 8.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解為故所求通解為 y例例2 2特征根特征根)2sin2cos(21xCxCex ir212,1 9例例3 3解初值問題解初值問題 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程0924162 rr特征根特征根43 r所以方程的通解為所以方程的通解為41 CxexCy432)4( xexCCy4322433 (二重根二重根)12 C特解

6、特解.)4(43xexy xCCeyx2143 40 xy由由20 xy由由1001)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程特征方程0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應(yīng)項通解中的對應(yīng)項rxkkexCxCC)(121 sin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx 三、三、n階階常系數(shù)齊次線性方程解法常系數(shù)齊次線性方程解法若是若是k重根重根r若是若是k重共軛重共軛復(fù)根復(fù)根 i 11注意注意一個根都對應(yīng)著通解中的一項一個根都對應(yīng)著通解中的一項, nnyCyCyCy 2211n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特征方程的每而特征方程的每且

7、每一項各且每一項各一個任意常數(shù)一個任意常數(shù).12例例4 4求方程求方程解解052)4( yyy的通解的通解.特征方程特征方程, 052234 rrr021 rr故所求通解為故所求通解為特征根特征根xCCy21 . 0)52(22 rrr即即和和.214,3ir )2sin2cos(43xCxCex 13特征根特征根),( 11單根單根 r故所求通解故所求通解 xeCy1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)1)(1(22 rr.022)4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例5 5,)(32,共軛復(fù)根共軛復(fù)根二重二重ir 對應(yīng)的特解對應(yīng)的特解xey 1,cos2xy

8、,sin3xy ,cos4xxy xxysin5 xxCCcos)(32xxCCsin)(54 14(3) 根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解 (1) 寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程(2) 求出特征根求出特征根四、小結(jié)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程02 qprr0 qyypy特征根的情況特征根的情況通解的表達式通解的表達式實根實根21rr xrxreCeCy2121 實根實根21rr xrexCCy2)(21 復(fù)根復(fù)根)sincos(21xCxCeyx 求通解的步驟求通解的步驟: ir 2,115練習(xí)練習(xí)設(shè)方程設(shè)方程 的三個特解的三個特解是是 ，求此方程的通解；并求出，求此方程的通解；并求出該方程。該方程。 xfyxqyxpy 2321,1xyxyy因因 是是 的三個解，的三個解，2,1xx， xfyxqyxpy 故故 是是 的二個解；的二個解；1,12xx 0 yxqyxpy且且 常數(shù)，即常數(shù)，即 線性無關(guān)；線性無關(guān)；112xx1,12xx11221xcxcY是是 的通解。的通解。 0 yxqyxpy故故解解16再取再取 的特解的特解 ； xfyxqyxpy 11* yy于是，于是， 的通解為的通解為 xfyxqy