歷屆奧林匹克物理競(jìng)賽試題及解答

1、歷屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答第1屆（1967年于波蘭的華沙）h= 5m。一粒質(zhì)量 m = 0.01kg、m ： MS 【題1】質(zhì)量 M= 0.2kg的小球靜置于垂直柱上，柱高 以速度 o= 500m/s飛行的子彈水平地穿過(guò)球心。球落在 距離柱s= 20m的地面上。問(wèn)子彈落在地面何處？子彈動(dòng) 能中有多少轉(zhuǎn)換為熱能？解：在所有碰撞情況下，系統(tǒng)的總動(dòng)量均保持不變：mv0 = mv MV其中v和V分別是碰撞后子彈的速度和小球的速2h度.兩者的飛行時(shí)間都是t1.01sV g球在這段時(shí)間沿水平方向走過(guò)20m的距離，故它在水平方向的速度為：20 V19.8 （m/s）1.01由方程 0.01 X 50

2、0= 0.01 v+ 0.2 X 19.8可求出子彈在碰撞后的速度為：v= 104m/s子彈也在1.01s后落地，故它落在與柱的水平距離為S= vt = 104 X 1.01 = 105m的地面上。 1c碰撞前子彈的初始動(dòng)能為mv： =1250 J21 2球在剛碰撞后的動(dòng)能為MV 2 =39.2 J21 2子彈在剛碰撞后的動(dòng)能為mv =54 J2與初始動(dòng)能相比，兩者之差為1250 J 93.2 J = 1156.8 J這表明原來(lái)動(dòng)能的 92.5%被系統(tǒng)吸收而變?yōu)闊崮?。這種碰撞不是完全非彈性碰撞。在完全彈性碰撞的情形下，動(dòng)能是守恒的。而如果是完全非彈性碰撞，子彈將留在球內(nèi)?！绢}2】右圖（甲）為無(wú)

3、限的電阻網(wǎng) 絡(luò)，其中每個(gè)電阻均為 r,求A、E兩點(diǎn) 間的總電阻。解：如圖（乙）所示A、E兩點(diǎn)間的總電阻應(yīng)等于 C、DA 01HHHHFrrrd rurrrr后的等效電阻。如果網(wǎng)絡(luò)是無(wú)限的，貝U A、E 兩點(diǎn)間的總電阻應(yīng)等于 C、 D 兩點(diǎn)間的總電阻，設(shè)為 Rxo 根據(jù)它們的串并聯(lián)關(guān)系有：圖（甲）兩點(diǎn)間的總電阻與電阻r的并聯(lián)，再與串聯(lián)Rx 二rrRxRx r圖（乙）4 + J5解上式可得：Rx二-一r2【題3】給定兩個(gè)同樣的球，其一放在水平面上，另一個(gè)以細(xì)線懸掛。供給兩球相同的熱量，問(wèn)兩球溫度是否趨于相同？說(shuō)明你的理由（忽略各種熱 量損失）解答：如右圖所示，球體受熱，體積增大。放在水平面上 的球

4、重心升高，克服重力做功要耗費(fèi)一部分熱量，于是剩下提 高球體溫度的熱量減少了些。以細(xì)線懸掛的球與之相反。結(jié)果 放在水平面上球的溫度將稍小于以細(xì)線懸掛球的溫度。（這別是很小的，對(duì)于半徑為10cm的銅球來(lái)說(shuō)，相對(duì)差值約為10-7 K）【實(shí)驗(yàn)題】測(cè)定石油的比熱。 可供使用的物品有： 天平、量熱器、溫度計(jì)、電源、開(kāi)關(guān)、 導(dǎo)線、停表、電熱器、容器、水和石油。解答：把已知溫度ti和質(zhì)量m的水，與已知溫度t2和質(zhì)量m的石油在量熱器里混合， 測(cè)出混合物的溫度t3。從包含一方放熱和另一方吸熱的方程中可算出石油的比熱。這是通常測(cè)定石油比熱的方法。也可以先用電熱器加熱水，再加熱等量的石油， 并且及時(shí)觀察溫度的改變。

5、兩條溫度曲線起始點(diǎn)的切線斜率與比熱成反比關(guān)系，據(jù)此可以測(cè)定石油的比熱?！咎鎿Q題】（為在校沒(méi)有上過(guò)電學(xué)的學(xué)生而設(shè)。）密閉容器中裝有一個(gè)大氣壓、溫度為0C的干燥空氣10升，加入3克水后將系統(tǒng)加熱到 100C,求容器的壓強(qiáng)。1解：在100 C時(shí)，全部水都處于汽相。3克水是一摩爾（18-3= 6）,它們?cè)?00C和161373atm下的體積是：22.45.11 （升）kg6 2731由狀態(tài)方程求出1摩爾水蒸氣的壓強(qiáng)：6122.46273P水氣 10373解得：p水氣=0.507 atm由空氣的狀態(tài)方程:1_ P空氣273373解得：P 空氣=1.366 atm把兩部分壓強(qiáng)相加得到總壓強(qiáng)為:P = P

6、空氣P 水氣=1.366 atm + 0.507 atm = 1.873 atm歷屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答（1968年于匈牙利的布達(dá)佩斯）【題1】 在傾角為30°的斜面上，質(zhì)量為 m2 = 4 kg的木塊經(jīng)細(xì)繩與質(zhì)量為 m= 8 kg 半徑為r = 5 cm的實(shí)心圓柱體相連。求放開(kāi)物體后的加速度。木塊與斜面之間的動(dòng)摩擦系數(shù)卩=0.2，忽略軸承的摩擦和滾動(dòng)摩擦。解：如果繩子是拉緊，則圓柱體與木塊一同加速運(yùn)動(dòng)， 設(shè)加速度為a,繩子中的張力為 F,圓柱體與斜面之間 的摩擦力為S,則圓柱體的角加速度為 a/r。對(duì)木塊有： ma= mgs in a 卩 mgcos a + F對(duì)圓柱體有

7、： ma= mgsin a S- FS r = la / r其中I是圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，S r是摩擦力矩。解以上方程組可得（mb +m2）si na Pm2cosaa =gmb m22r(1)I 血 +m2)sina - m2 cos« S g rImi +m2r(2)._j(m12)cos 2 sin:F =m2g r 十mim22r2 均勻圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I =卬丄2(3)代入數(shù)據(jù)可得a= 0.3317 g= 3.25m/sS 13.01 NF= 0.196 N討論：系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的條件是a> 0。把a(bǔ)> 0代入（1）式，得出傾角的極限 a 1為:m1m2=0.0667

8、m2a 1 = 3°49/單從圓柱體來(lái)看，a 1=0;F= 0代入（3）式，得出極限角為:單從木塊來(lái)看，a 1= tg -1 = 11019/ 如果繩子沒(méi)有拉緊，則兩物體分開(kāi)運(yùn)動(dòng)，將2t a n2=(1 JL) =3=0.6Io_ Ja 2= 30 58圓柱體開(kāi)始打滑的條件是S值(由(2)式取同樣的動(dòng)摩擦系數(shù)算出)達(dá)到卩mgcos a ,由此得出的a 3值與已得出的 a 2值相同。圓柱體與木塊兩者的中心加速度相同，都為g (sin a u gcos a )圓柱體底部的摩擦力為卩migcos a，邊緣各點(diǎn)的切向加速度為a( mi ) gcos a,30【題2】一個(gè)杯里裝有體積為 300

9、 cm、溫度為0C的甲苯，另一個(gè)杯里裝有體積為110cm?、溫度為1000C的甲苯，兩體積之和為 410 cm3。求兩杯甲苯混合以后的最終體積。甲苯 的體膨脹系數(shù)為 3 = 0.001 (0c)J忽略混合過(guò)程中的熱量損失。解：若液體溫度為11時(shí)的體積為V1,則在00C時(shí)的體積為同理，若液體溫度為 12時(shí)的體積為匕，則在0°C時(shí)的體積為=V10+ V20+ 3 m1 m2m1t1m2tm1m2=V10+ V20+ 3 ( -dm2t2d如果液體在0°C時(shí)的密度為d,則質(zhì)量分別為混合后，液體的溫度為mbh m2t2m1m2在該溫度下的體積分別為 V10 (1+ 3 t )和 V

10、)(1+ 3 t )。所以混合后的體積之和為Vi0 (1+ 3 t) + V?0 (1+ 3 t )= V10+ 仏+ 3 (V10+ V?0)t=V10+ 3 Vi0t 1 + 慨0 + 3 0t 2= V10 (1+ 3 11)+0 (1+ 3 12)=M + “3體積之和不變，在本題仍為 410 cm。當(dāng)把多杯甲苯不斷地加入進(jìn)行混合，對(duì)任何數(shù)量 的甲苯這個(gè)結(jié)果都成立?！绢}3】光線在垂直玻璃半圓柱體軸的平面內(nèi)，以45°角射'-在半圓柱體的平面上(如右圖)，玻璃的折射率為.2問(wèn)光線在何處離開(kāi)圓柱體表面？解：用角度 屮描述光線在玻璃半圓柱體內(nèi) 的位置如解圖2.3所示。按照折射

11、定律：sin 45°2sin -得：sin =,= 30°所有折射光線與垂直線的夾角均為300，有必要研究一下，當(dāng)屮角從00增至1800的過(guò)程中發(fā)生了什么現(xiàn)象。不難看出，Y角不可能小于60：光線從玻璃射向空氣全反射的臨界角由解圖3.2 R 1J2sin t n 2求出：t = 45°,則：¥ t = 1800600450= 750如果¥角大于75°，光線將離開(kāi)圓柱體。隨著¥角的增加，光線將再次發(fā)生全反射，此時(shí) ¥ t = 900+ 300+ 450= 1650故當(dāng)：750V¥V 1650時(shí)光線離開(kāi)圓柱體。

12、出射光線的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為1650 75。=900?！緦?shí)驗(yàn)題】參加者每人領(lǐng)取三個(gè)封閉的盒子， 每個(gè)盒上有兩個(gè)插孔。不許打開(kāi)盒子，試 確定盒中元件的種類，并測(cè)定其特性。可供使用的是，內(nèi)阻和精度已知交流和直流儀器， 以及交流電源（頻率 50 HZ）和直流電源。解：在任何一對(duì)插孔中都測(cè)不到電壓，因此，盒子都不含有電源先用交流，再用直流測(cè)電阻，有一盒給出相同的結(jié)果。 結(jié)論是：該盒包含一個(gè)簡(jiǎn)單電阻， 其阻值由測(cè)量確定。另一盒有極大的直流電阻，但對(duì)交流來(lái)說(shuō)是導(dǎo)體。結(jié)論是：該盒包含一個(gè)電容，其電容1值由C 算得。；R第三個(gè)盒子對(duì)交流和直流都是導(dǎo)體，而交流電阻較大。 結(jié)論是：該盒包含一個(gè)電阻和電感，兩者串

13、聯(lián)。電阻和電感值可從測(cè)量中算得。歷屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答第3屆(1969年于捷克斯洛伐克的布爾諾)【題1】右圖的力學(xué)系統(tǒng)由三輛車組成，質(zhì)量分別為mA= 0.3kg , mB= 0.2kg , mc= 1.5kg。(a) 沿水平方向作用于 C車的力F很大。使A B兩車相對(duì) C車保持靜止。求力 F及繩子的張力。(b) C車靜止，求 A、B兩車的加速度及繩子的張力。(忽略阻力和摩擦力，忽略滑輪和車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)為mAg。這個(gè)力使B車得到加速度aBmA-g。又三車系統(tǒng)以相同的加速度運(yùn)動(dòng)，則:m)B解：(a) A、B兩車相對(duì)C車保持靜止，A車在豎直方向沒(méi)有加速度，因此它對(duì)繩的拉力mAF =(m

14、- m)B me)gm)B由給定的數(shù)值得：aB= ac= a-= 1.5g = 14.7m/s繩中的張力為：T= mg = 2.94N 水平推力為：F= 29.4N(b)如果C車靜止，則力 mg使質(zhì)量mA+ m>加速，加速度為:mAgaAB-= 0.6g = 5.88NmA +mB繩中的張力為：T= mAg- mAX 0.6g = 1.176N【題2】在質(zhì)量為m的銅量熱器中裝有質(zhì)量為m的水，共同的溫度為t12； 塊質(zhì)量為m、溫度為t3的冰投入量熱器中(如右圖所示)。試求出在各種可 能情形下的最終溫度。計(jì)算中13取負(fù)值。銅的比熱C1 = 0.1kcal/kg °C,水的比熱C2=

15、 1kcal/kg °C,冰的比熱C3 =0.5 kcal/kg 0C,冰的熔解熱 L= 80kcal/kg。解：可能存在三種不同的終態(tài)：(a)只有冰；(b)冰水共存；(c )只有水。(a)冰溫度升高，但沒(méi)有熔化，達(dá)到某一(負(fù))溫度 ta ； 放出的熱量和吸收的熱量相等：c3 m3 (ta 13) = ( o mi+ C2 m2) (112-ta) + mLm2 C2t2m1 C1t1m3 c313得出最終的溫度為 ta = (EG +m2c2)t12 +m3c3t3 *m2L ( 1 ) am© +m2c3 +1TI3C3情況(a)的條件是tavo (注：指00C),如果

16、上式的分子為負(fù)值，我們得到下列條件:(o m1 + C2 m2) 112V C3 m3t3 mL(2)(c) 現(xiàn)在讓我們討論冰塊全部熔化的情況。設(shè)它們最終的溫度為tc，冰塊吸收的熱量等于量熱器和水放出的熱量：C3 m3 (0 -13)+ m L + C2皿仁=(o mi + C2 m2) (M t c)得出最終的溫度為tc (mem2C2)t12 m3Cat3 maLme m2C2 m3C2(3)這種情況只有在tc >0時(shí)才能發(fā)生。取上式的分子為正值，得到下列條件：(C1 mi1+ C2 m?) 112> C3 m3t 3+ mL(4)(b)冰水共存這種情況是冰和水混合后都以00C

17、共存于量熱器中。根據(jù)(2)式和(4)式，條件為：一 C3 m3t 3 mLv( o m1+ C2 m2) 112V C3 m3t 3+ mL如果混合后有x克冰熔化了，則一e3m3t3+ x L =（eimi+e2m2）112故冰熔化了的質(zhì)量為xmG叱12 5皿L于是混合后，在量熱器中有質(zhì)量為（m3 x）的冰和質(zhì)量為（m+ x）的水。x為負(fù)值意味著有水結(jié)為冰，冰的質(zhì)量增加。對(duì)于給定的數(shù)值，我們可以從公式容易得到最終的結(jié)果。【題3】在豎直平面內(nèi)有半徑 R= 5em的線圈（如圖）的絕緣輕繩上，從線圈的最高點(diǎn)懸掛著。當(dāng)線圈和小球-8兩者都帶有 Q= 9X 10 C的相同電量時(shí)，發(fā)現(xiàn)小球在垂 直線圈平面

18、的對(duì)稱軸上處于平衡。求繩的長(zhǎng)度。解：如果線圈上的全部電荷集中與一點(diǎn)，則庫(kù)侖力為F我2。質(zhì)量m= 1g的小球系在長(zhǎng)度為IF線圈上各點(diǎn)施于小球的力與對(duì)稱軸夾角為_(kāi) R T重量為mg由上圖可得：sin =四 FmgkQ，它們?cè)谳S上的投影為Fn = Feos。小球的L2所以：| =3|世 = 7.2em (k = 9XV mg109n m/c2)（注：以上解答為原解，可能有錯(cuò)）另解：如解答圖3.3.1，在線圈上取一電荷微元， 長(zhǎng)為d，電荷量為 d , 為線電荷密度，2n R =Q則微元電荷對(duì)小球的作用力為：dQFi十有把Fi沿平行軸和垂直軸分解：Fni = Fi eos解答圖R = F sin在線圈上

19、取與上電荷微元對(duì)稱的電荷微元，如 解答圖3.3.2。對(duì)稱的電荷微元，長(zhǎng)也為量為 d，它對(duì)小球的作用力為:F/把F沿平行軸和垂直軸分解：F/i = Fi ' eos解答圖3.3.2Fl = F zsinFni與Fni方向相同，合力為大小相加, 所以線圈對(duì)小球作用的庫(kù)侖力為：rFiFniRd，電荷.AdQJFn=E Fni= kcos： = kQeos：l2I2對(duì)小球受力分析，小球受三力作用：重力 庫(kù)侖力Fn、拉力T,如解答圖333。則:FiI2lcos ：Fn解答圖3.3.3Rmg2打LQ2RkQ2922、把Fn = k 2 COS代入上式解得：1=3= 7.2cm(k= 9 x 10

20、N m/C )l2V mg【題4】一塊平板玻璃放置在邊長(zhǎng)為2cm的玻璃立方體上，兩者之間有一層平行的薄空氣隙。波長(zhǎng)在0.4卩m到1.15卩m之間的電磁波垂直入射到平板上，經(jīng)空氣 隙的兩邊表面反射而發(fā)生干涉。在此波段中只有兩種波長(zhǎng)獲得極大的增強(qiáng)，,f丄其一是 1= 0.4卩求空氣隙的厚度。dZt一解：光在厚度為 d的空氣隙中往返，經(jīng)過(guò)的距離為2d。光被玻璃反射T時(shí)，還經(jīng)受1800的相位改變。于是對(duì)波長(zhǎng)為i的光，增強(qiáng)的條件為：2d= kv( k1 = 0, 1, 2, 3,)2類似地，對(duì)其它波長(zhǎng)的光，產(chǎn)生極大增強(qiáng)的條件是：2d= k2' 22(k2= 0, 1, 2, 3,)2比較這兩個(gè)條

21、件，得到:2k11 - 22k21 一 1/115根據(jù)波長(zhǎng)給定的范圍，得到：=2.875人 0.4這個(gè)比值的最小可能值為1，最大可能值為2.875。因此我們得到關(guān)于 k1和k2的下列條件：IV 空一1 V2.875(1)2k2 +1對(duì)不同的k1和k2，我們算出上述分?jǐn)?shù)值，得到下表:0123450135791110.3311.672.3333.6720.20.611.41.82.230.140.430.7111.291.5740.110.330.560.7811.2250.090.270.450.640.811只有分?jǐn)?shù)值滿足條件(1)式的各個(gè) k1和k2對(duì)才是合格的，我們已在表格中算出。但 其中

22、只有一對(duì)是允許的。這就是說(shuō)，我們應(yīng)當(dāng)找出這樣的一列，其中只能有一對(duì)是允許的 k1和k2。從表中看出，僅有的是k1= 2, k2= 1這一對(duì)，其分?jǐn)?shù)值是1.67，這就是解答。對(duì)于k1 = 0.4卩m的光，根據(jù)2d= 2X 0.4 + 0.2 = 1卩m,得到空氣隙的厚度為d= 0.5卩m由 2X 0. 5= 222得到第二個(gè)波長(zhǎng)為 k2= 0.667卩m【實(shí)驗(yàn)題】給定一閉合電路，它是由已知電阻R未知電阻X以及內(nèi)阻可以忽略的電源組成的。電阻X是可調(diào)電阻器，由引線、毫米標(biāo)尺、滑動(dòng)接觸塊組成。另一電路由干電池和 零點(diǎn)在中心的電流計(jì)組成，它與主電路的連接方式使得沒(méi)有電流流過(guò)電流計(jì)。試測(cè)定電阻X及端電壓之

23、比。E解答圖3.5.1解答圖3.5.2解答：聯(lián)接兩種補(bǔ)償電路，如解答圖3.5.1和解答圖3.5.2。第一次測(cè)量不包括R滑動(dòng)接觸塊的位置在第一次測(cè)量中由比率 電阻值之比等于電勢(shì)差之比，所以有E _ xXU " R X，x給出，在第二次測(cè)量中由y給出，在此兩中測(cè)量下,E R yXU 一 R X解得：1X =R()x 一 y把 X 二 R(-)代入 E XX 得：-XxyUR + X U1+x y歷屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答第4屆（1970年于蘇聯(lián)的莫斯科）【題1】如圖4.1 （a）、（b）,在質(zhì)量M= 1kg的木板上有質(zhì)量n= 0.1kg的小雪橇。雪橇上的馬達(dá)牽引著一根繩子，使雪橇

24、以速度V0= 0.1m/s運(yùn)動(dòng)。忽略桌面與木板之間的摩擦。木板與雪橇之間的摩擦系數(shù)卩=0.02。把住木板，起動(dòng)馬達(dá)。當(dāng)雪橇達(dá)到速度vo時(shí)，放開(kāi)木板。在此瞬間，雪橇與木板端面的距離L= 0.5m。繩子拴在(a)遠(yuǎn)處的樁子，(b)木板的端面上。試描述兩種情形下木板與雪橇的運(yùn)動(dòng)。雪橇何時(shí)到達(dá)木板端面？m_ L - 一GFMm l - -M圖 4.1 (a)圖 4.1 (b)解：(a)在第一種情形中(如圖 4.1 (a),雪橇處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。雪橇與木板以不同的速度運(yùn)動(dòng)。這樣引起的最大摩擦力為mg它作用在木板上，產(chǎn)生的加速度ag，直至木板達(dá)到雪橇的速度V。為止。加速時(shí)間為t°=Ma Jmg5

25、.1s在這段時(shí)間內(nèi)，雪橇的位移為2 2,”V0V0MS0= 0.255m2a 2 AmgV0 一起運(yùn)動(dòng)。因此，雪橇離木板右端點(diǎn)的距離為0.5m 0.255m = 0.245m雪橇不能達(dá)到木板的一端，因?yàn)檫@段時(shí)間以后，木板與雪橇以相同的速度在木板加速期間，馬達(dá)必須用力mg牽引繩子，但以后馬達(dá)不能施加力的作用，它只是5.6 x 10-8cm的立方晶胞組成，它是面心立方點(diǎn)陣。卷繩子。(b)在第二種情形中(如圖 4.1 (b),木板與桌面之間無(wú)摩擦。木板與雪橇形成一個(gè) 孤立系統(tǒng)，可以用動(dòng)量守恒定律。當(dāng)我們放開(kāi)木板時(shí)，雪橇的動(dòng)量為mv,釋放后的木板具有速度V2,它由下式?jīng)Q定：mv= M V2 + m (

26、V0+ V2)此式表明V2=0，所以木板保持不動(dòng)，雪橇以同一速度繼續(xù)前進(jìn)。L0 5雪橇達(dá)到木板右端的時(shí)間為t = = 5 sV00.1【題2】NaCI的晶體點(diǎn)陣由邊長(zhǎng)為 鈉原子量約為 23,氯原子量為 35.5 ,3NaCI密度為2.22g/cm。試計(jì)算氫原子 的質(zhì)量(如圖4.2 )。解：我們先求出一個(gè)晶胞的Na離子數(shù)。在立方晶胞中心有一個(gè)離子，在立 方晶胞的每一邊也有一個(gè)離子，但后者 僅有四分之一是屬于這個(gè)晶胞的。12故鈉離子數(shù)為：144氯離子也是這個(gè)數(shù)。密度可以表示為晶圖4.2胞的質(zhì)量與體積之比，故若用m表示氫原子的質(zhì)量，則密度可表示為:r 4 x 23m + 4 x35.5m:-= (5

27、.6 "0)3二 2.22解上式可求得氫原子的質(zhì)量為m= 1.66 x 10-24g= 1.66 x 10- 27kg【題3】半徑r = 10cm的金屬球置于半徑 R= 20cm的薄金屬空心球內(nèi)，兩球同心。內(nèi)球靠一根長(zhǎng)導(dǎo)線經(jīng)過(guò)外球的開(kāi)孔接地。若外球帶電量Q= 10-8C,求外球電勢(shì)（如圖4.3 ）。解：這里有兩個(gè)電容，并聯(lián)連接。其一由外球和內(nèi)球組成，另一 由地與外球組成。由電容相加便可算出電勢(shì)。R導(dǎo)體球相對(duì)遠(yuǎn)處地球的電容為一，其中k= 9x 109 N m/C2, Rk為導(dǎo)體球半徑。在空心球情形，如果內(nèi)球接地，電容為：1Ca 一k(-R，1 Rr所以：Ca=1k R-r兩個(gè)電容并聯(lián)總

28、電容為：旦丄Rr1 R2 k kR-r k R - r把 R= 0.2m, r = 0.1m,k= 9x 109 N韋/C2代入上式得:圖4.312C= 44.4 x 10- F= 44.4 pF）的凹面鏡的焦點(diǎn)位置上，放一塊圓形屏幕，使平Ph2otF1故外球相對(duì)與地球的電勢(shì)為：U = Q = 225VC（注：C是內(nèi)外球組成的球形電容器的電容，與內(nèi)球是否接地?zé)o關(guān)?！绢}4】在半徑r = 2m孔徑d = 0.5m 行于軸的所有入射光線經(jīng)凹面鏡反射后都 能達(dá)到該圓形屏幕。試求圓形屏幕的直徑。 如果在上述條件下圓形屏幕的直徑減少到 僅由原來(lái)的1/8，問(wèn)有多少部分的光能達(dá) 到在同樣位置的屏幕上？解：我們

29、只有采用較精確形式的反射 定律，通過(guò)利用某些數(shù)學(xué)近似來(lái)求解本題。按照教科書中通常的理論推導(dǎo)，半徑 PO= R的凹面鏡的焦點(diǎn)位于距離 R的中點(diǎn)丨 處。我們用h表示凹面鏡孔徑之半。在丨點(diǎn)的入射光線與半徑的夾角為，反射后與軸交于F1點(diǎn)。OP F是等腰三角形。R貝U： OF1 :2COSG故實(shí)際焦點(diǎn)與理論距離的偏差為RR RFFOF1 -OF( s e c1)2c Os 22我們把圓形屏放在點(diǎn) F處，要求出屏幕的最小半徑值x。在直角三角形 P F Fi中，應(yīng)用通常的小角近似，得：x=F,Ftan2: F.Fsin 2；; = F,F 辿=R（sec_ 1）卻=h（sec_1）R 2R、a21a2對(duì)于小

30、角度：cos、； ； 1 ，故sec12 coso2將-R代入，得焦“斑”的半徑為£2R2將數(shù)值：h= 50/2 = 25cm； R= 200cm,代入即得：x = 0.195cm = 1.95mm再看問(wèn)題的第二部分。如果圓形屏的半徑為x,則入射到凹面鏡的光束半徑為h = 3 2R2x如果我們用半徑kx的屏代替半徑為x的屏，則入射光束的半徑為:= 3.2R2kx入射光的量正比于h2，因此hk = （ . 2R2kx）2 二 h23 k211本題情形是k，由此得出，落在圓形屏幕上光的量將是前者的一84【實(shí)驗(yàn)題】桌上有三個(gè)裝在支架上的透鏡，一塊有幾何圖形的屏，一支桿和一把卷尺。 僅用所給

31、的工具，以不同的方法測(cè)定透鏡的焦距。解答：有幾種可能的方法。在凸透鏡情形，我們用目視觀查虛像的消失，并測(cè)定透鏡的 距離。我們注視著實(shí)像，借助于視差把桿放在實(shí)像的位置上，測(cè)量物距和像距，從而計(jì)算出焦距。再看凹透鏡情形。我們把凹透鏡與一個(gè)強(qiáng)會(huì)聚的凸透鏡密接在一起，并用上述方法之一測(cè)量系統(tǒng)的焦距，然后算出凹透的焦距。歷屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答第5屆（1971年于保加利亞的索菲亞）【題1】質(zhì)量為m和m的物體掛在繩子的兩端，繩子跨過(guò)雙斜面頂部的滑輪，如圖5.1 o斜面質(zhì)量為m,與水平面的夾角為1和 2o整個(gè)系m1m2al統(tǒng)初態(tài)靜止。求放開(kāi)后斜面的加速度和物體的加速度。斜面保持靜止的條件是什么？摩

32、擦可 以忽略。用ao表示物體解：我們用a表示雙斜面在慣性參照系中的加速度（正號(hào)表示向右的方向）相對(duì)斜面的加速度（正號(hào)表示左邊物體m下降）兩個(gè)物體在慣性系中的加速度ai和a2可由矢量a和ao相加得到（如解圖5.1圖5.1 ）。用F表示繩子中的張力。對(duì)沿斜面方向的分量應(yīng)用牛頓第二定律。使物體m加速下降的力是mgs ini F在慣性系中，沿斜面方向的加速度分量為ao acosi解圖5.1m (ao acos1) = mgsi n1 F同樣，對(duì)于m有m (ao acos2) = F mgsi n2兩式相加：（mcos1+ mcos2) a= (m+ n) ao (msin1 msi n2) g我們用動(dòng)

33、量守恒原理來(lái)研究斜面的運(yùn)動(dòng)。(1)所以，對(duì)此斜面分量，牛頓第二定律為：斜面在慣性系中的速度為v （向右）。物體相對(duì)斜面的速度為Vo。故斜面上兩物體在慣性系中的速度的水平分量（向左）分別為：Vo cos 1 V 和Vo cos2 V利用動(dòng)量守恒原理：m （Vo cos 1 v） + m （Vo cos2 v）= m v對(duì)勻加速運(yùn)動(dòng)，速度與加速度成正比，因此有：m （ao cos1 a） + m （ao cos2a）= m a(2)m1 cos： 1 m2 cos： 2所以aaom + mi 十 m2上式給出了有關(guān)加速度的信息。很明顯，只有當(dāng)兩物體都靜止，即兩個(gè)物體平衡時(shí)，斜面才靜止，這是動(dòng)量守恒

34、原理的自然結(jié)果。由方程（1）和（2）,可得到加速度為：(m + mi + m2)(g sin 口 1 一 m2 sin 2) 2(m1m2)(m m1 m2 (m1 com2cos-：2)(m1 cos% +m2 co(2)(m1 sin % m2 sin a2)a2(m1 m2)(m m1 m2 (m1 co： m2cos_：i2)如果 msin1= msin2即則兩個(gè)加速度均為零?！绢}2】在一個(gè)帶活塞的圓筒內(nèi)裝配著著名的托里拆利裝置。在水銀柱上方有氫氣，在圓筒內(nèi)有空氣。第一步，水銀柱高度h1 = 70cm,空氣壓強(qiáng)pk1= 1.314atm = 133.4kPa = 100cmHg 溫度為

35、00C= 273K。第二步，向上提升活塞，直至水銀柱高度降為h2= 40cm，這時(shí)空氣壓強(qiáng)為pk2 = 0.79atm = 80kPa = 60cmH®第三步，保持體積不變，提高溫度到T3，此時(shí)水銀柱的高度為h3= 50cmt最后，第四步，溫度為Ti,水銀柱的高度為 h4= 45cm,空氣壓強(qiáng)沒(méi)有改變。 求出最后一步中氫氣的溫度和壓強(qiáng)。L表示。為了簡(jiǎn)cmHg為單位70cm40cm50cm45cm解：我們將空氣和氫氣的數(shù)據(jù)列成表。兩者溫度是相同的。玻璃管的長(zhǎng)度用 單起見(jiàn)，我們以裝有氫氣的管子長(zhǎng)度的厘米數(shù)來(lái)度量氫氣的體積。壓強(qiáng)全部用 給出（見(jiàn)解圖5.2第一步至第四步）。次數(shù)1234氫氣壓

36、強(qiáng)ph1Ph2Ph3Ph4氫氣體積Vh1Vh2Vh3Vh4空氣壓強(qiáng)100cmHg60cmHgPk3=Pk4空氣體積Vk1Vk2=Vk3Vk4兩者溫度273K273KTT4解圖5.2從第-步到第二步，對(duì)氫氣應(yīng)用玻意耳定律：(L 70) (100 70)=(L 40) (60-40)Vhi = 60cm, Vh2 = 90cm, Vhs = 80cm, Vh4由此式求得玻璃管的長(zhǎng)度 L= 130cm, 因此，氫氣在第一步至第四步中體積分別為:=85cm從第二步到第三步，氫氣的狀態(tài)方程為:(60 -40) 90 仏-50) 80Ts273對(duì)空氣應(yīng)用蓋呂薩克定律：Pk3 _ 60T3 _ 273從第三

37、步到第四步，我們只有向上提升活塞，以便使空氣壓強(qiáng)保持不變。氫氣的狀態(tài)方程為.(pk3 -50)80 _仏-45) 85T3T4解以上方程組，得：pk3= pk4= 80cmHgT3= 364K,T4= 451K,所以氫氣的壓強(qiáng)為：Ph3= 30cmHgPh4= 35cmHg算出空氣的體積比為:Vk1: Vk2: Vk4 = 6:10:12.4（注：cmHg為實(shí)用單位，應(yīng)轉(zhuǎn)換成國(guó)際單位Pa）【題3】四個(gè)等值電阻 R、四個(gè)C= 1 F的電容器以及四個(gè)電池分別在立方體的各邊連U= 4V, U= 8V, U3= 12V, U= 16V,它們的內(nèi)電 (b)若H點(diǎn)與B點(diǎn)短路，求電容器 C2上的接起來(lái)，如圖

38、 阻均可忽略。 電量。解：(a) 將這個(gè)網(wǎng) 絡(luò)展開(kāi)成 平面圖(如解圖5.3.1 )。由于電流 不能通過(guò)電容器， 所以只在圖中 A-B-C-G-H-E-A5.3所示。各電池的電壓為 (a)求每個(gè)電容器的電壓和電量,U1CiR呂3C2U3C4丿1產(chǎn)M_RHDU4E圖5.3回路的導(dǎo)線中有電流。在這個(gè)回路中，電壓為RR12V,電阻為4F。因此電流為：I =U 4 -U14R就能很容易地算出各點(diǎn)的電于是就知道了電阻和電源兩端的電壓。設(shè)A點(diǎn)的電勢(shì)為零,勢(shì)。A0 VB(14-U)/43 VC(14-U)/26 VG(14-Ui)/2 + U10 VH(14-Ui)/2 + U+ (14-U)/413 VE(

39、14-U)/2 + U+ (14-U)/216 VD(14-Ui)/2 + U+ (14-U)/4 U31 VF(14 U)/4 13+ 1211 VC(11 10) V= 1V,-61 X 10 CoC2(16 11) V= 5V,5 X 10-6CoC3(6 1) V= 5V,-65 X 10 CoC4(1 0) V= 1V,-61 X 10 Co從每個(gè)電容器兩端的電勢(shì)差，可以算出其電量如下:我們可以算出各電容器的儲(chǔ)能量6C4各有0.5 X 10- J，電容器(b) H點(diǎn)與B點(diǎn)連接，CU 2/2。電容器C和6C2 和 C3各有 12.5 X 10- J。我們得到兩個(gè)分電路。如解圖532。在

40、下方的分電路中,電流為, E點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)的電2R勢(shì)是14= 16 V , H點(diǎn)與B點(diǎn)的電勢(shì)是14/2= 8 V。F點(diǎn)的電E勢(shì)為 U 2 = 16 V2于是，電容器C2兩極板的電勢(shì)均為16 V，結(jié)果G上無(wú)電量。解圖5.3.25.4( a)所示。從Ti點(diǎn)以角度【題4】在直立的平面鏡前放置一個(gè)半徑為R的球形玻璃魚缸，缸壁很薄，其中心距離鏡面3R,缸中充滿水。遠(yuǎn)處一觀察者通過(guò)球心與鏡面垂 直的方向注視魚缸。一條小魚在離鏡面最近處以速度v沿缸壁游動(dòng)。求觀察者看到的魚的兩個(gè)像的相對(duì)速度。4水的折射率為n=。如圖5.4 (a), 5.4 (b)3解：魚在1秒鐘內(nèi) 游過(guò)的距離為v。 我們把這個(gè)距離 當(dāng)作物，而必

41、須求 出兩個(gè)不同的像。 在計(jì)算中，我們只 考慮近軸光線和 小角度，并將角度 的正弦用角度本身 去近似。在Ti點(diǎn)游動(dòng)的魚只經(jīng)過(guò)一個(gè)折射面就形成一個(gè)像，如圖r =ZA TiO發(fā)出的光線，在 A點(diǎn)水中的入射角為r，在空氣中的折射角為n r。把出射光線向相反方向延長(zhǎng)，給出虛像的位置在Ki,顯然/ KiA Ti = n r r =( n 1) r從三角形Ki Ti A，有:KiTiK,A(n i)rr-i利用通常的近似：KA KiO+ R,KAT KiO- R是 KjO -R疋 K,O R-i所以這個(gè)虛像與球心的距離為 KiO R2- n4水的折射率n ，從而Kg 2R若折射率大于 2,則像是實(shí)像。有像

42、距與物距之商3得至y放大率為一i-TiO 2-n對(duì)水來(lái)說(shuō)，放大率為 2。以與速度v相應(yīng)的線段為物，它位于在 E處的平面鏡前的距離為 2R處，它在鏡后2R 遠(yuǎn)的T2處形成一個(gè)與物同樣大小的虛像。T2離球心的距離為 5R。在一般情形下，我們假設(shè)EO= kF。T2處的虛像是我們通過(guò)球作為一個(gè)透鏡觀察時(shí)的(虛)物。因此，我們只要確定 T2的實(shí)像而無(wú)需再去考慮平面鏡。如圖5.4 (b)所示。我們需要求出以r角度從T2發(fā)出的光線在 C點(diǎn)的入射角B ,其中r = Z CTF。I' T O kR在三角形T2OC中,-k3 = k rr CO Rkr玻璃中的折射角為：DCO = CDOn n需要算出/

43、DOB 因?yàn)椋? COF= 3 r = k r r = r (k 1)而且/ CO旳 C點(diǎn)和D點(diǎn)的兩角之和相加，或與/ COF和/ DOB和相加，兩種情況都2kr等于 1800,因此.DOB r(k 1)=2k即.DOB 二 r( -k 1)n從三角形DOK,有匹DK22kr (n-k 1)k2kk 1n此外0K2 -R因此像距為：°心n(2k-1)-2kR410若 k = 5, n=，得 OK2R3 3放大率為OK2nOT2 - n(2k -1) -2k4 2若k = 5, n=，則放大率為一33v向上運(yùn)動(dòng)，而魚的實(shí)像綜合以上結(jié)果，如魚以速度v向上運(yùn)動(dòng)，則魚的虛像以速度22 28以

44、速度一 v向下運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)像的相對(duì)速度為2v + v= v,3 33是原有速度的8 3倍。我們還必須解決的最重要的問(wèn)題是：從理論上已經(jīng)知道了像是如何運(yùn)動(dòng)的，但是觀察者在做此實(shí)驗(yàn)時(shí)，他將看到什么現(xiàn)象呢？?jī)蓚€(gè)像的速度與魚的真實(shí)速度值，從水中的標(biāo)尺上的讀數(shù)來(lái)看，是一致的，實(shí)際上觀察到兩個(gè)反向的速度， 其中一個(gè)是另一個(gè)的三倍， 一個(gè)像是另一個(gè)像的三倍。我們應(yīng)當(dāng)在遠(yuǎn)處看，因?yàn)槲覀円瑫r(shí)看清楚魚缸后遠(yuǎn)處的一個(gè)像。兩個(gè)像的距離8.33R。用肉眼看實(shí)像是可能的，只要我們?cè)诒让饕暰嚯x遠(yuǎn)得多的地方注視它即可。題目中講到“在遠(yuǎn)處的觀察者”，是指他觀察從兩個(gè)不同距離的像射來(lái)光線的角度變化。只要觀察者足夠遠(yuǎn)，盡管有距離差

45、， 但所看到的速度將逐漸增加而接近8。他當(dāng)然必須具有關(guān)于魚的實(shí)際速度(v)的一些信息。3兩個(gè)像的相對(duì)速度與物的原始速度之比的普遍公式為:2n (k -1)(n -1)2 _ n 2k(n _ 1) - n用一個(gè)充滿水的圓柱形玻璃缸，一面鏡子和一支桿， 這個(gè)實(shí)驗(yàn)很容易做到。 沿玻璃缸壁運(yùn)動(dòng)的桿代表一條魚。【實(shí)驗(yàn)題】測(cè)量作為電流函數(shù)的給定電源的有用功率。確定電源的內(nèi)阻R和電動(dòng)勢(shì)U0。畫出作為外電阻R函數(shù)的有用功率，總功率以及效率的曲線。解答：端電壓為U°RR Rb電流為,Uo R + RbR總功率為Po= U0I 有用功率為：A UIp效率為 n =Po利用以上公式，得到要求的六個(gè)函數(shù)，

46、如解圖2Uo RP= U0I RI(Rb R)po= 10I2Rb R測(cè)出適當(dāng)選擇的兩個(gè)值，由以上公式便可求出 所以這樣的測(cè)量并不可靠，大負(fù)載時(shí)尤其如此。歷屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答（1972年于羅馬尼亞的布加勒斯特）【題1】給定三個(gè)圓柱，它們的長(zhǎng)度、外徑和質(zhì)量均相同。第一個(gè)是實(shí)心圓柱；第二個(gè)是空心圓筒，壁有一定厚度；第三個(gè)是同樣壁厚的圓筒，但兩端用薄片封閉，里面充滿一種密度與筒壁相同的液體。如將它們放在傾角a為的斜面上，如圖 6.1所示，求出并比較這些圓柱 的線加速度。研究光滑滾動(dòng)與又滾又滑兩種情況。圓柱與斜面的摩擦系數(shù)為卩，液體與筒壁之間的摩擦可以忽略。解：沿斜面方向作用在圓柱上的力

47、是： 作用于質(zhì)心重力的分量 mgsin 和作用于接觸點(diǎn)的摩擦力 S,如圖6.1所示。產(chǎn)生的 加速度a :ma= mgsin S純滾動(dòng)時(shí)的角加速度為：=空R轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：RS，IR以上方程組的解為：g sin 二 a = n1 -2 mRmgs in： SmRS廠1 -mR2當(dāng)S達(dá)到最大可能值 卩mgcos 時(shí)，也就到了純滾動(dòng)的極限情形，這時(shí):ImR21丄mR2mgcos： h = mgsin ： h即維持純滾動(dòng)的極限條件為(2)下面我們來(lái)研究三個(gè)圓柱體的純滾動(dòng)情形。（I）實(shí)心圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I 二-mR22從（1）式和（2）式分別得到2 .agsin ：,tanah =3角加速度為：a3

48、=-R（n）設(shè)空心圓筒壁的密度是實(shí)心圓柱密度的n倍。因已知圓柱的質(zhì)量是相等的，故可以算出圓筒空腔的半徑 r:rR2-n轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:由（1）式和（2）角加速度為:I =0.5nLR2 R2 -0.5n'LR2r2 =0.5mR2 紅n式分別算出：2nag sin ：,4n1，a3 =R4n -12n -1m但轉(zhuǎn)（川）對(duì)充滿液體的圓筒，因液體與筒壁之間無(wú)摩擦力，故液體不轉(zhuǎn)動(dòng)。總質(zhì)量為動(dòng)慣量只需對(duì)圓筒壁計(jì)算：I -0.5nLR2 R2 -0.5nJ：LR2 r2 = 0.5mR2n由（1）式和（2）式分別算出:22n2n1a 2g sin ：,2n 2n -1角加速度為：3 =R現(xiàn)在比較三個(gè)

49、圓柱體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：線加速度和角加速度之比為:3n4n -13n22n2 -2n -1極限角正切之比為:22n 2n13(2n -2)3(2n -1)如果斜面傾角超過(guò)極限角，則圓柱又滑又滾。此時(shí)三個(gè)圓柱體的摩擦力均為 故線加速度相同，為：a= g （sin角加速度由1= R mgcOs給出，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在三種情況下各不相同。因此，若圓柱體又cos )I滾又滑，則三種情況下的角加速度分別為:r 2 4 cosa1gmgcos ,2._jcos：Rn2n 一1 g2ng2n -1【題2】有兩個(gè)底面積為量4g，體積22.4L，壓強(qiáng)積22.4L，壓強(qiáng)1atm，溫度0°C。左方圓筒筒壁絕熱，右方圓

50、筒靠一個(gè)大熱庫(kù)維持溫度 整個(gè)系統(tǒng)在真空中。21dm的圓筒，如圖6.2所示，左方圓筒裝有一種氣體，氣體的質(zhì)1atm，溫度0°Co右方圓筒裝有同種氣體，氣體的質(zhì)量7.44g，體0°Co收了多少熱量？氣體等容比熱為放開(kāi)活塞，它移動(dòng)了 5dm后達(dá)到平衡并靜止。試問(wèn)右方圓筒中的氣體吸°.75cal/g ?K。圖6.2解：放開(kāi)連桿前，右方氣體壓強(qiáng)為：7.44/4 = 1.86 ( atm)在達(dá)到平衡時(shí)，左方氣體體積為 22.4 + 5= 17.4 (dm3),右方氣體體積為 22.4 + 5 = 27.4 (dm3)。 左方氣體經(jīng)絕熱過(guò)程升高溫度到T,壓強(qiáng)為p。右方氣體經(jīng)等溫膨脹到同一壓強(qiáng)。等溫膨脹由下式表示：1.86 X 22.4 = X 27.4解得:p = 1.521 atm 對(duì)左方氣體應(yīng)用絕熱過(guò)程定律，得：kk1X 22.4 = 1.521