一元二次方程的應(yīng)用--知識(shí)講解基礎(chǔ)

1、一元二次方程的應(yīng)用-知識(shí)講解根底【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系,建立方程模型并解決實(shí)際問題,總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一 般步驟；2 .通過列方程解應(yīng)用題,進(jìn)一步提升邏輯思維水平、分析問題和解決問題的水平【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1 .利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系2 .解決應(yīng)用題的一般步驟：審審題目,分清量、未知量、等量關(guān)系等；設(shè)設(shè)未知數(shù),有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量；歹U 根據(jù)題目中的等量關(guān)系,列出方程；解解方程,注意分式方程需檢驗(yàn),將所求量表示清楚；驗(yàn)檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義答寫出答案,切忌答非所問.要點(diǎn)詮釋：列方程解實(shí)際問題的

2、三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.要點(diǎn)二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1 .數(shù)字問題1任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位,它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、,數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、9之中的數(shù),而最高位上的數(shù)不能為0.因此,任何一個(gè)多位數(shù),都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示,這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位 數(shù).如：一個(gè)三位數(shù),個(gè)位上數(shù)為a,十位上數(shù)為b,百位上數(shù)為c,那么這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.2幾個(gè)

3、連續(xù)整數(shù)中,相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.如：三個(gè)連續(xù)整數(shù),設(shè)中間一個(gè)數(shù)為X,那么另兩個(gè)數(shù)分別為 x-1 , x+1.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)或奇數(shù)中,相鄰兩個(gè)偶數(shù)或奇數(shù)相差2.如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)奇數(shù),設(shè)中間一個(gè)數(shù)為 x,那么另兩個(gè)數(shù)分別為 x-2, x+2.2 .平均變化率問題列一元二次方程解決增長 降低率問題時(shí),要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率,以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系 .如果列出的方程是一元二次方程,那么應(yīng)在原數(shù)的根底上增長或降低兩次.增長率問題：平均增長率公式為 a1 xn b a為原來數(shù),x為平均增長率,n為增長次數(shù),b為增長后的量.2降低率問題：平均降低率公式為a1 xnb a為原來數(shù),x為

4、平均降低率,n為降低次數(shù),b為降低后的量.3 .利息問題1概念：本金：顧客存入銀行的錢叫本金 .利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù) .利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率2公式：利息=本金x利率x期數(shù)利息稅=利息X稅率本金X 1 +利率X期數(shù)戶本息和本金X 1 +利率X期數(shù)X 1-稅率戶 本息和收利息稅時(shí)4 .禾I潤銷售問題利潤銷售問題中常用的等量關(guān)系:利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)本錢利潤率二進(jìn)價(jià):矗本X100 樂標(biāo)價(jià)中售價(jià)總利潤=每件的利潤X總件數(shù)進(jìn)價(jià)乂 1+利潤率標(biāo)價(jià)乂羋等5 .形積問題此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題,解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)那么

5、圖形分割或組合成規(guī)那么圖形,根據(jù)圖形的面積或體積公式,找出未知量與量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程要點(diǎn)詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題列方程,然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決.這是在解決實(shí)際問題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想一方程思想【典型例題】類型一、數(shù)字問題1,兩個(gè)數(shù)的和等于12,積等于32,求這兩個(gè)數(shù)是多少.【答案與解析】設(shè)其中一個(gè)數(shù)為 x,那么另一個(gè)數(shù)可表示為 12-x,依題意得x12-x =32,整理得 x2-12x+32 =0解得 x 1= 4, x2= 8,當(dāng) x=4 時(shí) 12-x = 8;當(dāng) x=8 時(shí) 12-x =4.x,那么另一個(gè)數(shù)便可以用 x表示出來,然所以這兩

6、個(gè)數(shù)是4和8.【總結(jié)升華】 數(shù)的和、差、倍、分等關(guān)系,如果設(shè)一個(gè)數(shù)為后根據(jù)題目條件建立方程求解.【變式】有一個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍,其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字少2,求這個(gè)兩位數(shù).【答案】設(shè)個(gè)位數(shù)字為 x,那么十位數(shù)字為(x 2).由題意,得:10(x 2)+x 3x(x 2)2整理,得：3x2 17x 20 0解方程,得:5X -13經(jīng)檢驗(yàn),x(3x 5)( x 4) 0x2 43不合題意,舍去(注意根的實(shí)際意義的檢驗(yàn)).當(dāng) x 4時(shí),x 2=210( x 2) x 10 2 4 24答：這個(gè)兩位數(shù)為 24.類型二、平均變化率問題3 2.隨著國家 惠民政策的陸續(xù)出臺(tái),為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠,

7、國家衛(wèi)計(jì)委通過嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為,某種藥品原價(jià)200元/瓶,經(jīng)過連續(xù)兩次降彳后,現(xiàn)在僅賣98元/瓶,現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同,求該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率.【思路點(diǎn)撥】 設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x,那么兩個(gè)次降價(jià)以后的價(jià)格是 200 (1 -x) 2,據(jù)此列出方程求解即可.【答案與解析】解：設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x,由題意得：200 (1 -x) 2=98解得：x1=1.7 (不合題意舍去),x2=0.3=30% .答：該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是30%.【總結(jié)升華】 此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出適宜的等

8、量關(guān)系,列出方程,再求解.判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.舉一反三：【變式】某產(chǎn)品原來每件是 600元,由于連續(xù)兩次降價(jià),現(xiàn)價(jià)為 384元,如果兩次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同, 求平均每次降價(jià)率.【答案】設(shè)平均每次降價(jià)率為 X那么第一次降價(jià)為600X,降價(jià)后價(jià)格為：600 600X 600(1 x),第二次降價(jià)為：600(1 x) x ,降價(jià)后價(jià)格為:2600(1 x) 600(1 x) x 600(1 x).根據(jù)題意列方程,得： 600(1 x)2 384(1 x)2162519x1工,x2二55x29不合題意,舍去(注意根的實(shí)際意義的檢驗(yàn))510. . x1520 00答：平均每次下降率

9、為 2000.類型三、利潤(銷售)問題3.某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件 60元,每星期可賣出300件.市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià) 1元,每星期可 多賣出20件.商品的進(jìn)價(jià)為每件40元,在顧客得實(shí)惠的前提下,商家還想獲得6080元的利潤,應(yīng)將銷售單價(jià)定位多少元【答案與解析】解：降價(jià)x元,那么售價(jià)為(60-x)元,銷售量為(300+20x)件,根據(jù)題意得,(60-x- 40) (300+20x) =6080,解得 x1=1 , x2=4,又顧客得實(shí)惠,故取 x=4 ,級(jí)定價(jià)為56元,答：應(yīng)將銷售單價(jià)定位 56元.【總結(jié)升華】 列一元二次方程解應(yīng)用題往往求出兩解,有的解不合實(shí)際意義或不合題意.應(yīng)舍去,必須 進(jìn)行檢驗(yàn).類型四、形積問題眇 4.如圖,一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍,豬舍的一邊利用長為12m的住房墻,另外三邊用 25m長的建筑材料圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門,所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時(shí),豬舍面積為 80m2?住房噴解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為25-2x+1 m,由題意得x 25- 2x+1 =80,化簡,得