“消元──二元一次方程組的解法”教學(xué)設(shè)計

1、“消元二元一次方程組的解法”教學(xué)設(shè)計北京五中分校曹自由摘要：明確概念的核心，以“使學(xué)生體會概念、方法的生成過程”為主導(dǎo)思想，設(shè)計教學(xué)過程。學(xué)生自主的運(yùn)用所學(xué)過的等式性質(zhì)，把沒學(xué)過的方程組問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的一元一次方程來解決，體會消元思想、轉(zhuǎn)化思想。學(xué)生經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)問題、類比解決問題、歸納形成方法這一過程，思維發(fā)而不散，更好的感悟數(shù)學(xué)。 關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想；消元思想；程序化思想 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)主要內(nèi)容為二元一次方程組的解法，“消元”是解二元一次方程組的基本思路，代入消元和加減消元是“消元”的最基本的方法探究解二元一次方程組的通解通法，即把解法程序化也是本節(jié)應(yīng)滲透的內(nèi)容。（

2、1）初中代數(shù)研究的中心問題是各類方程，初中代數(shù)中的函數(shù)是初步的，它只起到一個啟蒙的作用對函數(shù)較全面、深入的研究還有待于在高中進(jìn)行?？梢哉f，中學(xué)代數(shù)中，初中以方程為主，高中以函數(shù)為主，但初中的教學(xué)必須為高中進(jìn)一步研究函數(shù)打好基礎(chǔ)而二元一次方程組恰恰是聯(lián)系方程和函數(shù)的一個很好的紐帶，二元方程就刻畫了兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，而待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)的交點(diǎn)問題等，又需要利用解方程組來進(jìn)行計算在近代數(shù)學(xué)數(shù)值計算和工程應(yīng)用中，求解線性方程組是重要的課題，以Gauss消元法為首的各種消元法的程序化仍然是大家不斷研究的重點(diǎn)內(nèi)容因此，學(xué)好二元一次方程組的解法，體會消元、轉(zhuǎn)化思想，是學(xué)生完善認(rèn)知的必要支柱，

3、也是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)（2）解方程組過程中蘊(yùn)含的化歸思想，不僅在解方程組過程中具有指導(dǎo)作用，更貫穿了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究的始終；不僅應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題，而且是一種最基本的思維策略在研究和解決有關(guān)問題時，如何將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題；將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，正是數(shù)學(xué)課所要教給學(xué)生的基本思考方法在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，不能僅著眼于具體題目的具體解題過程，而應(yīng)不斷加深對以上思想方法的領(lǐng)會，從整體上認(rèn)識問題的本質(zhì)數(shù)學(xué)思想方法是通過數(shù)學(xué)知識的載體來體現(xiàn)的，對于它們的認(rèn)識需要一個較長的過程，既需要教材的滲透，也需要教師的點(diǎn)撥，還需要學(xué)生自身的感受和理解如果認(rèn)識了消元思想，那么

4、學(xué)生對于代入法、加減法的具體步驟就不會僅是死記硬背，而能夠順勢自然地理解，并能夠靈活運(yùn)用從而確立方程、不等式、函數(shù)這一結(jié)構(gòu)體系中重要的一環(huán)這種思想的逐步形成也恰恰體現(xiàn)了“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)使人聰明”因此，化歸思想是本節(jié)課教學(xué)中所要重點(diǎn)突出的數(shù)學(xué)思想（3）算法是一個全新的課題，已經(jīng)成為計算機(jī)科學(xué)的核心，它在科學(xué)技術(shù)和社會發(fā)展中起著越來越重要的作用學(xué)習(xí)算法的基本思想和初步知識，也成為高中必修課程中的內(nèi)容算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn)，同時又具有高度的抽象性、概括性和精確性算法學(xué)習(xí)使我們更加全面地理解運(yùn)算能力，還能夠發(fā)展邏輯思維能力本節(jié)課在對二元一次方程組解法的探究過程中，可以很好地體現(xiàn)上述內(nèi)容一

5、方面引導(dǎo)學(xué)生探究解二元一次方程的步驟，進(jìn)而體會解二元一次方程組的通解通法，并通過框圖初步感受程序化的思想；同時又在各個具體步驟中，關(guān)注某些細(xì)節(jié)，如“變形后的方程應(yīng)代入哪一個方程才能繼續(xù)求解”、“對比先消哪一個未知數(shù)使運(yùn)算更加簡潔”等培養(yǎng)學(xué)生的思維能力學(xué)生的認(rèn)知水平有限，還不能完全理解程序化的思想，對二元一次方程組解法的探究，也還只能停留在解給定具體系數(shù)的方程組，還不能探究公式化的解法，對同解方程的理解也只能停留在滿足等式性質(zhì)，不能全面地思考方程組有唯一確定解所滿足的條件，因此只能定位在滲透程序化思想上，而不應(yīng)把算法的學(xué)習(xí)作為本節(jié)課的重點(diǎn) 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)（1）理解解二元一次

6、方程組的基本思路“消元”，經(jīng)歷從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，培養(yǎng)觀察分析能力，體會化歸思想；初步體會解方程組過程中體現(xiàn)的程序化思想； （2）能用代入消元法、加減消元法解簡單的二元一次方程組，會根據(jù)方程組特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，體會簡化思想，培養(yǎng)運(yùn)算能力；（3）在探究過程中，培養(yǎng)合作交流意識與探究精神，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)美教學(xué)重點(diǎn)理解解二元一次方程組的基本思路“消元”，會用代入、加減消元法解簡單的二元一次方程組教學(xué)難點(diǎn)學(xué)生探究并理解為什么能通過代入、加減消元把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程首先，這是二元一次方程組解法的第一節(jié)課，學(xué)生初次接觸方程組的解法，同時思維的重點(diǎn)也集中在如何把未知問題轉(zhuǎn)化為已知

7、問題，把二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題。因此，教學(xué)的重點(diǎn)是對轉(zhuǎn)化思想、消元方法的理解，而不是對解法的熟練運(yùn)用，故在目標(biāo)中設(shè)定為“能用代入、加減消元法解簡單的二元一次方程組”其次，程序化思想雖然重要，但學(xué)生在本節(jié)課接觸的例題還比較少，缺少大量積累后的感悟，同時又沒有探討二元一次方程組的標(biāo)準(zhǔn)方程的解法（即二元一次方程組的求解公式），所以只能在幾個主要步驟環(huán)節(jié)讓學(xué)生“初步體會解方程組過程中體現(xiàn)的程序化思想”最后，化歸思想是化難為易、化繁為簡、化未知為已知代入、加減是方法，消元是目的，轉(zhuǎn)化是本質(zhì)所以本節(jié)課探究利用代入、加減消元法解二元一次方程組的基本步驟，立足于化歸思想的逐步形成 三、教學(xué)問題診斷分

8、析（1）學(xué)生對代數(shù)思想的認(rèn)識不夠，缺乏用字母表示數(shù)的意識，發(fā)現(xiàn)式的變形和依據(jù)的能力不強(qiáng)如用代入法解二元一次方程組時，需要先把其中一個方程變形成用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式，再利用整體代換的方式替換出一元這其中所蘊(yùn)含的式的變形及整體代入思想，都是需要學(xué)生理解的（2）學(xué)生對解法的關(guān)注點(diǎn)往往集中在不同的方法上，而忽視相同的思想；集中在不同的變形技巧上，而忽視相同的程序化過程；集中在答案的對與錯，而忽視解題過程的簡與繁因此，在本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計中，時刻注意引導(dǎo)學(xué)生思維聚焦的方向，通過合理設(shè)置有梯度的承接性問題，激發(fā)學(xué)生的思維，深化學(xué)生的思考并且及時進(jìn)行階段性小結(jié)，不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)

9、構(gòu)，力爭做到使學(xué)生的思維“發(fā)而不散” 四、教學(xué)過程設(shè)計先行組織者：在上一節(jié)課，我們通過對一道與籃球比賽得分有關(guān)的實(shí)際問題的研究，學(xué)習(xí)了二元一次方程組，以及二元一次方程組的解當(dāng)我們列出二元一次方程組后，所關(guān)心的就是如何求出這個方程組的解在此之前,我們學(xué)習(xí)了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依據(jù)是等式性質(zhì)今天我們就來共同探究，能否利用等式性質(zhì)和一元一次方程的相關(guān)知識，解二元一次方程組（一）探究新知例題在上一節(jié)課，通過對實(shí)際問題的分析，我們列出了二元一次方程組你會解這個方程組嗎？ （教師不加任何解釋和引導(dǎo)，讓學(xué)生自主探究方程組的解法）預(yù)案1解：由得 把代入，得解這個方程，得 

10、;（這時教師可以提出問題：為什么可以代入？代入可不可以？得到的方程是什么方程？）把代入，得 （這時教師可以提出問題：代入或行不行？好不好？）所以原方程組的解為（1）提出問題：在這種解法中，哪一步是最關(guān)鍵的？為什么？【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生理解等量代換在代入消元法解方程組過程中的應(yīng)用體會解二元一次方程組的關(guān)鍵是把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程（在“為什么可以代入”這一問題的解決過程中，引導(dǎo)學(xué)生回顧二元一次方程組的定義，和二元一次方程組的解的定義，再一次理解定義中的“相同未知數(shù)”、“公共解”）（2）引申問題：有沒有辦法得到關(guān)于的一元一次方程？解：由得    &

11、#160; 把代入，得   解這個方程，得  （這時教師可以提出問題：代入可不可以？）     把代入，得 （這時教師可以提出問題：代入或可不可以？）所以原方程組的解是（3）小結(jié)：這種解二元一次方程組的方法，我們稱之為代入消元法問題1：你認(rèn)為哪一步是最重要的？為什么?（“代入”，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程）問題2：應(yīng)用代入消元法前，需要先做的準(zhǔn)備工作是什么？（用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)）問題3：除了代入法，還有沒有其他方法來實(shí)現(xiàn)消元這一目的呢（引入預(yù)案2）？預(yù)案2解：由-，得 

12、                （這時教師可以提出問題：這一步的依據(jù)是什么？）把代入，得       （這時教師可以提出問題：代入可以嗎？）所以原方程組的解是（1）提出問題：在這種解法中，哪一步是最關(guān)鍵的？為什么？【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生理解等式性質(zhì)在加減消元法解方程組過程中的應(yīng)用，體會解二元一次方程組的關(guān)鍵是把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程（2）引申問題：能不能先消？解：×2，

13、得          -，得              （這時教師可以提出問題：-可以嗎？好嗎？）把代入，得所以原方程組的解是（3）小結(jié)：這種解二元一次方程組的方法我們稱之為加減消元法問題1：你認(rèn)為哪一步是最重要的？為什么?（“加減”，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程）問題2：應(yīng)用加減消元法前，方程組中的兩個方程要先具備什么特征？（兩方程中某個相同未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)）問題3：除了加減法

14、，還有沒有其他方法來實(shí)現(xiàn)消元這一目的呢（引入預(yù)案1）？ 對比預(yù)案1、預(yù)案2，進(jìn)行總結(jié)問題1：兩種方法的共同點(diǎn)（共同目的）是什么？（通過消元，使二元問題先轉(zhuǎn)化為一元問題，求出一個未知數(shù)后再求另一個）問題2：兩種方法的不同點(diǎn)是什么？（消元的方法不同，一個是“代入”，一個是“加減”） 問題3：哪一種方法更簡單？（根據(jù)方程組特征，具體問題具體分析）預(yù)案3解：把方程變形成把代入，得     （后續(xù)步驟略）    【說明】整體代入也實(shí)現(xiàn)了“消元”這一目的。（二）運(yùn)用新知練習(xí)： 答案：    

15、60;           （學(xué)生分組解答，然后匯報、交流不同的解法注意糾正學(xué)生解題步驟中的細(xì)節(jié)問題）（三）歸納總結(jié)思考：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？問題1：這節(jié)課我們研究的主要內(nèi)容是什么？（代入、加減消元法解二元一次方程組。）問題2：解法的主要步驟是什么？ （變形、代入（加減）、求解、回代、結(jié)論。）我們以練習(xí)、練習(xí)為例，通過框圖（如圖1、圖2），再次回顧解二元一次方程組的基本步驟            

16、;      代入消元法解方程組的基本步驟                              圖1  代入消元法解二元一次方程組的幾個關(guān)鍵步驟是什么？變形：將其中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示代入：將變形后的方程代

17、入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程求解：求出一元一次方程的解回代：將其代入到變形后的方程中，求出另一個未知數(shù)的解結(jié)論：寫出方程組的解                         加減消元法解方程組的基本步驟          &

18、#160;                                                 &

19、#160;   圖2加減消元法解二元一次方程組的幾個關(guān)鍵步驟是什么？變形：使兩個方程中某個相同未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)加減：將兩個方程相加減，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程求解：求出一元一次方程的解回代：將其代入到變形后的方程中，求出另一個未知數(shù)的解結(jié)論：寫出方程組的解問題3：你覺得其中最關(guān)鍵的一步是什么？為什么？體現(xiàn)了什么思想？（代入消元，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，轉(zhuǎn)化思想。）問題4：在解題過程中我們還應(yīng)注意哪些問題？（分析如何消元能簡化運(yùn)算等。）（四）布置作業(yè)教材P107頁練習(xí)2、32用代入法解下列方程組：(1)             (2) 3張翔從學(xué)校出發(fā)騎自行車去縣城，中途因道路施工步行一段路，15小時后到達(dá)縣城他騎車的平均速度是15千米/時