條件概率、獨(dú)立性ppt課件

1、 第三節(jié)第三節(jié) 條件概率和三個(gè)重要公式條件概率和三個(gè)重要公式1131 條件概率條件概率2例：將一枚硬幣拋擲兩次，察看其出現(xiàn)正反面的情例：將一枚硬幣拋擲兩次，察看其出現(xiàn)正反面的情況。設(shè)事件況。設(shè)事件A為為“至少有一次為至少有一次為H，事件，事件B為為“兩次兩次擲出同一面?，F(xiàn)來(lái)求知事件擲出同一面。現(xiàn)來(lái)求知事件A曾經(jīng)發(fā)生的條件下事曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件件B發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。定義定義 設(shè)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且為兩個(gè)事件，且 ，稱，稱0)( AP)()()|(APABPABP 為在事件為在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。發(fā)生的條件概率。可以證明，條件概率可以證明，條件概率 也

2、滿足概率公理化定也滿足概率公理化定義的三條公理。因此條件概率也滿足概率的一切根義的三條公理。因此條件概率也滿足概率的一切根本性質(zhì)。如：本性質(zhì)。如：)|(ABP).|(1)|(ABPABP 3例例1 袋中有袋中有16個(gè)球，其中顏色和資料如下表個(gè)球，其中顏色和資料如下表5個(gè)紅球中，個(gè)紅球中，2個(gè)木質(zhì)球，個(gè)木質(zhì)球，3個(gè)玻璃球；個(gè)玻璃球；11個(gè)藍(lán)球中，個(gè)藍(lán)球中，4個(gè)木質(zhì)球，個(gè)木質(zhì)球，7個(gè)玻璃球；個(gè)玻璃球；現(xiàn)從中恣意摸取一個(gè)球。現(xiàn)從中恣意摸取一個(gè)球。假設(shè)知摸到的是紅球，那么這個(gè)紅球是木質(zhì)球假設(shè)知摸到的是紅球，那么這個(gè)紅球是木質(zhì)球的概率是多少？的概率是多少？4解：解：A：摸到的是紅球，：摸到的是紅球，B：

3、摸到的是木質(zhì)球：摸到的是木質(zhì)球 那么所求概率為那么所求概率為)()()|(APABPABP 162)(,165)( ABPAP又又 所以所以52)()()|( APABPABP 例 2 某建筑物按設(shè)計(jì)要求運(yùn)用壽命超越50年的概率為0.8，超越60年的概率為0.6。該建筑物閱歷了50年之后，它在10年內(nèi)倒塌的概率有多大？5132三個(gè)重要公式三個(gè)重要公式6例例3 有有6張字母卡片，其中兩張是張字母卡片，其中兩張是e，兩張是，兩張是s，一張是一張是r，一張是，一張是i，混合后重新陳列，求正，混合后重新陳列，求正好排成好排成series的概率。的概率。)|()|()()(51612161AAAPAAP

4、APAAP18011121314152627例例5: 某人忘記了號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因此他隨意地?fù)芴?hào)，求他某人忘記了號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因此他隨意地?fù)芴?hào)，求他撥號(hào)不超越三次而接通所需的的概率。假設(shè)巳知最后一個(gè)數(shù)字是撥號(hào)不超越三次而接通所需的的概率。假設(shè)巳知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)那么此概率是多少奇數(shù)那么此概率是多少? 解解: 設(shè)設(shè) 事件事件 A=“撥號(hào)不超越三次而接撥號(hào)不超越三次而接 通通那么那么 “連撥三次都未接通連撥三次都未接通 A iA321AAAA 又設(shè)又設(shè) “ 第第i次接通次接通那么那么3 , 2 , 1i 1078798109)AA/A(P)A/A(P)A(P)A(P213121 (1)

5、103)A(P1)A(P 故故(2) 如知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)如知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù),那么共有那么共有5個(gè)數(shù)字可選擇個(gè)數(shù)字可選擇, 所以所以52324354)A(P 故故53)A(P1)A(P 8某電訊效力部庫(kù)存某電訊效力部庫(kù)存100部一樣型號(hào)的機(jī)代售，部一樣型號(hào)的機(jī)代售，其中其中60部是甲廠消費(fèi)的，部是甲廠消費(fèi)的，30部是乙廠消費(fèi)的，部是乙廠消費(fèi)的，10部是丙廠消費(fèi)的。知三個(gè)廠的不合格率分部是丙廠消費(fèi)的。知三個(gè)廠的不合格率分別為別為0.1, 0.3,0.2。一位顧客從中隨機(jī)地取一部。一位顧客從中隨機(jī)地取一部。求：求：1顧客取到的是不合格機(jī)的概率；顧客取到的是不合格機(jī)的概率； 2顧客運(yùn)用后發(fā)現(xiàn)不

6、合格，問(wèn)此機(jī)是顧客運(yùn)用后發(fā)現(xiàn)不合格，問(wèn)此機(jī)是甲、乙、丙廠消費(fèi)的概率各是多少？甲、乙、丙廠消費(fèi)的概率各是多少？2全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式9我們首先引見劃分的概念我們首先引見劃分的概念SB1B2B3B5B4B6A1011)()(11niiniiABBAASA 由于由于 兩兩互不相容，兩兩互不相容，iAB niiiBAPBP1)|()(12證明：證明： niiABPAP1)()(由加法公式可得由加法公式可得某電訊效力部庫(kù)存某電訊效力部庫(kù)存100部一樣型號(hào)的機(jī)代售，部一樣型號(hào)的機(jī)代售，其中其中60部是甲廠消費(fèi)的，部是甲廠消費(fèi)的，30部是乙廠消費(fèi)的，部是乙廠消費(fèi)的，10部是丙廠消費(fèi)的

7、。知三個(gè)廠的不合格率分部是丙廠消費(fèi)的。知三個(gè)廠的不合格率分別為別為0.1, 0.3,0.2。一位顧客從中隨機(jī)地取一部。一位顧客從中隨機(jī)地取一部。求：求：1顧客取到的是不合格機(jī)的概率；顧客取到的是不合格機(jī)的概率； 2顧客運(yùn)用后發(fā)現(xiàn)不合格，問(wèn)此機(jī)是顧客運(yùn)用后發(fā)現(xiàn)不合格，問(wèn)此機(jī)是甲、乙、丙廠消費(fèi)的概率各是多少？甲、乙、丙廠消費(fèi)的概率各是多少？1314)|()()|()()(2211BAPBPBAPBPAP )|()(33BAPBP 17. 02 . 01 . 03 . 03 . 01 . 06 . 017617. 006. 0)()|()()|(111APBAPBPABP179170090 .P(A

8、)B|)P(AP(BA)|P(B222172170020 .P(A)B|)P(AP(BA)|P(B33315例例:用甲胎蛋白法普查肝癌。令用甲胎蛋白法普查肝癌。令C=被檢驗(yàn)者被檢驗(yàn)者患肝癌患肝癌，A=甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，那么那么 =被檢驗(yàn)者未患肝癌被檢驗(yàn)者未患肝癌 =甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果為陰性甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果為陰性CA由過(guò)去的統(tǒng)計(jì)資料知由過(guò)去的統(tǒng)計(jì)資料知90. 0)|(95. 0)|(CAPCAP又知某地居民的肝癌發(fā)病率為又知某地居民的肝癌發(fā)病率為P(C)=0.0004.在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的人求這批人中真的患有肝癌

9、的概率。的人求這批人中真的患有肝癌的概率。16解：由解：由Bayes公式得公式得)C|)P(ACP(C)|P(C)P(AC)|P(C)P(AA)|P(C 10999609500004095000040. %.380 17例例: 在一盒中裝有在一盒中裝有15個(gè)球個(gè)球, 其中有其中有9個(gè)新球個(gè)新球, 第一次競(jìng)第一次競(jìng)賽從中任取賽從中任取3個(gè)運(yùn)用個(gè)運(yùn)用, 賽后仍放回盒中賽后仍放回盒中, 第二次競(jìng)賽時(shí)第二次競(jìng)賽時(shí), 再?gòu)暮兄腥稳≡購(gòu)暮兄腥稳?個(gè)球個(gè)球, 求求(1) 第二次取出的球都是新球的概率第二次取出的球都是新球的概率;(2) 知第二次取出的球都是新球知第二次取出的球都是新球, 第一次僅取出第一次僅

10、取出2個(gè)新個(gè)新球的概率球的概率.解解 以以 表示事件表示事件“第一次競(jìng)賽從盒中任第一次競(jìng)賽從盒中任取的取的3個(gè)球中有個(gè)球中有i個(gè)新球個(gè)新球,可知可知 是樣本是樣本空間空間S的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分, 以以B表示事件表示事件“第二次取出的球都是新球第二次取出的球都是新球. 那么那么)3 , 2 , 1 , 0i (Ai 3210AAA,A189146525658651231536315373153831539 CC)A|P(BCC)A|P(BCC)A|P(BCC)A|P(B321065124552169127914 3153933151629231526191315360CC)P(ACCC)P(AC

11、CC)P(ACC)P(A19(2) 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得589)B(P)A/B(P)A(P)B/A(P222 (1) 由全概率公式得由全概率公式得24. 09146512652545521665891276512914)A/B(P)A(P)B(P30iii 20事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性21BA,證明：只需證明假設(shè)證明：只需證明假設(shè) 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，那么那么 也相互獨(dú)立刻可。也相互獨(dú)立刻可。BA,由于由于 而而 ，所以，所以ABBBASBA )(ABB )()()(ABPBPBAP )()()(1)()()()(APBPAPBPBPAPBP 22三個(gè)事件的獨(dú)立性三個(gè)事件的獨(dú)立性23多

12、個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性那么稱那么稱 相互獨(dú)相互獨(dú)立。立。nAAA,21定義：設(shè)定義：設(shè) 是是 n n 個(gè)事件，假設(shè)對(duì)恣個(gè)事件，假設(shè)對(duì)恣意的意的k k 及恣意的及恣意的 , ,都有等式都有等式)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP nAAA,21niiik 211)1(nk 2426例例1 甲、乙、丙三人各自去破譯一個(gè)密碼，他們甲、乙、丙三人各自去破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為能破譯的概率分別為 。試求：密碼能譯出的概率。試求：密碼能譯出的概率。41,31,51例例2 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)射擊，三甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)射擊，三人擊中的概率分別為人擊中的概

13、率分別為0.4,0.5,0.7，飛機(jī)被，飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為一人擊中而被擊落的概率為0.2，飛機(jī)被，飛機(jī)被二人擊中而被擊落的概率為二人擊中而被擊落的概率為0.6，飛機(jī)被，飛機(jī)被三人擊中三人擊中,必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率。概率。2728:1A第第i人擊中人擊中 i =1,2,3 09. 0)7 . 01)(5 . 01)(4 . 01()(1)(1)(1)()()()()(3213213210 APAPAPAPAPAPAAAPBP36. 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0)()()()()(321

14、3213213213213211 AAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAPBP2941. 07 . 05 . 04 . 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0)()()()()(3213213213213213212 AAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAPBP14. 07 . 05 . 04 . 0)()()()()(3213213 APAPAPAAAPBP 例 要驗(yàn)收一批100件樂(lè)器，驗(yàn)收方案如下：自該批樂(lè)器中隨機(jī)地取3件測(cè)試設(shè)3件樂(lè)器是相互獨(dú)立的，假設(shè)3件中至少有一件在測(cè)試中以為音色不純，那么這批樂(lè)器就被回絕接納。設(shè)一件音色不純樂(lè)器經(jīng)測(cè)試查出其音色不純的概

15、率0.95，而一件音色純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試被誤以為不純的概率0.01，假設(shè)知這100件樂(lè)器中恰有4件音色不純的.試問(wèn)這批樂(lè)器被接納的概率是多少?30設(shè)設(shè))3 , 2 , 1( iHi表示事件表示事件 “隨機(jī)地取隨機(jī)地取 3 件件,恰有恰有i件音色不純件音色不純”A表示事件表示事件“被接收被接收”30)99. 0()|(HAP;05. 0)99. 0()|(21HAP;22)05. 0(99. 0)|(HAP;33)05. 0()|(HAP3131003960)(CCHP, 3100296141)(CCCHP3100196242)(CCCHP 3100341)(CCHP故30)|()()(iiiHAP

16、HPAP 8629. 000055. 08574. 032 事件的獨(dú)立性在可靠性問(wèn)題中的運(yùn)用事件的獨(dú)立性在可靠性問(wèn)題中的運(yùn)用所謂系統(tǒng)元件的可靠性是指系統(tǒng)元件正常所謂系統(tǒng)元件的可靠性是指系統(tǒng)元件正常任務(wù)的概率。任務(wù)的概率。例例: : 設(shè)有設(shè)有n n個(gè)元件，每個(gè)元件的可靠性均為個(gè)元件，每個(gè)元件的可靠性均為r r，且各，且各元件能否正常任務(wù)是相互獨(dú)立的，試求串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)和元件能否正常任務(wù)是相互獨(dú)立的，試求串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)和并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性。并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性。331 1串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)12n設(shè)設(shè) = =“第第i i個(gè)元件正常任務(wù)，個(gè)元件正常任務(wù)，iAni, 2 , 1 “串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)正常任務(wù)等價(jià)于串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)正常任務(wù)等價(jià)

17、于“這這n n個(gè)元件都正常任務(wù)。個(gè)元件都正常任務(wù)。所以串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性為：所以串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性為：nininrAPAAAP )()(121由于由于 r 1 r 1 所以，串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性隨著所以，串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性隨著 n n 的增大而減少。的增大而減少。34“并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)正常任務(wù)等價(jià)于并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)正常任務(wù)等價(jià)于“這這n n個(gè)元件中至個(gè)元件中至少有一個(gè)元件正常任務(wù)少有一個(gè)元件正常任務(wù) 可見并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性高于串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)。可見并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性高于串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)。 niinnnAPAAAPAAAPAAAP121212111)(1)(1)( nir111 nnrr 11所以并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性為：所以并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性為：

18、2 2并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)1n2353 3混聯(lián)絡(luò)統(tǒng)混聯(lián)絡(luò)統(tǒng) 如以下圖所示如以下圖所示混聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性普通可以分解為假設(shè)干串聯(lián)或并聯(lián)子混聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的可靠性普通可以分解為假設(shè)干串聯(lián)或并聯(lián)子系統(tǒng)，從而逐漸求得其可靠性系統(tǒng)，從而逐漸求得其可靠性) r1 (1 r2 )r1(1 r1)r1(12 432rr3r2r 2)r1(1 132436 貝努利實(shí)驗(yàn)和二項(xiàng)概率貝努利實(shí)驗(yàn)和二項(xiàng)概率將某一實(shí)驗(yàn)獨(dú)立地反復(fù)進(jìn)展將某一實(shí)驗(yàn)獨(dú)立地反復(fù)進(jìn)展n次，我們只次，我們只關(guān)懷每次實(shí)驗(yàn)中某個(gè)事件關(guān)懷每次實(shí)驗(yàn)中某個(gè)事件A能否發(fā)生，這能否發(fā)生，這種實(shí)驗(yàn)稱為貝努利實(shí)驗(yàn)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型種實(shí)驗(yàn)稱為貝努利實(shí)驗(yàn)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努利概型。稱為

19、貝努利概型。37它具有如下四個(gè)特征它具有如下四個(gè)特征(1) (1) 在一樣條件下進(jìn)展在一樣條件下進(jìn)展n n次反復(fù)實(shí)驗(yàn)次反復(fù)實(shí)驗(yàn); ;(2) (2) 每次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的每次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的; ;(3) (3) 每次實(shí)驗(yàn)有且僅有兩種結(jié)果每次實(shí)驗(yàn)有且僅有兩種結(jié)果 ；(4) (4) 每次實(shí)驗(yàn)中每次實(shí)驗(yàn)中 。pAPpAP 1)(,)(AA和和在在n n重貝努里實(shí)驗(yàn)中，我們主要研討事件重貝努里實(shí)驗(yàn)中，我們主要研討事件A A恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn)k k次的概率次的概率 )(kPn38“在在n n重貝努里實(shí)驗(yàn)中事件重貝努里實(shí)驗(yàn)中事件A A恰好發(fā)生了恰好發(fā)生了k k次，次，設(shè)事件設(shè)事件其中其中nk 0 kB 由于由

20、于 n n 次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的，所以事件次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的，所以事件A A在指定的在指定的 k k 次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生，而在其他次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生，而在其他(n-k(n-k次實(shí)驗(yàn)中不發(fā)生如次實(shí)驗(yàn)中不發(fā)生如前前k k次實(shí)驗(yàn)中次實(shí)驗(yàn)中A A都發(fā)生，而在后都發(fā)生，而在后n-kn-k次實(shí)驗(yàn)中次實(shí)驗(yàn)中A A都不發(fā)都不發(fā)生的概率為：生的概率為：)(PAAAAAAknk knk) p1 (p) p1 () p1 (ppp 39所以所以knkknkn)p1(pC)B(P)k(P n, 2 , 1 , 0k 由于由于 恰好是恰好是 按二項(xiàng)公式展開時(shí)的各項(xiàng)，所以上述按二項(xiàng)公式展開時(shí)的各項(xiàng)，所以上述 公式稱為二項(xiàng)概率公式。公式

21、稱為二項(xiàng)概率公式。)n, 2 , 1 , 0k()p1(pCknkkn npp1 由于這種指定方式有由于這種指定方式有 種，且它們是兩兩互不相容的，種，且它們是兩兩互不相容的，knC40因因此此，我我們們有有如如下下的的定定理理在在 n 重重貝貝努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中，設(shè)設(shè)pAP)(，則則事事件件 A 恰恰好好發(fā)發(fā)生生 k)0(nk 次次的的概概率率為為knkknnppCkP)1()( nk,2 , 1 , 041例例 甲、乙兩名棋手進(jìn)展競(jìng)賽，知甲的甲、乙兩名棋手進(jìn)展競(jìng)賽，知甲的實(shí)力較強(qiáng)，每盤棋獲勝的概率為實(shí)力較強(qiáng)，每盤棋獲勝的概率為0.6，假定每盤棋的勝負(fù)是相互獨(dú)立的，且假定每盤棋的勝負(fù)是相互

22、獨(dú)立的，且不會(huì)出現(xiàn)和棋。試求在以下三種情形不會(huì)出現(xiàn)和棋。試求在以下三種情形下甲最終獲勝的概率。下甲最終獲勝的概率。1 采用三盤競(jìng)賽制；采用三盤競(jìng)賽制；2采用五盤競(jìng)賽制。采用五盤競(jìng)賽制。4243)2(n4.設(shè)一廠家消費(fèi)的每臺(tái)儀器，以概率設(shè)一廠家消費(fèi)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠，以可以直接出廠，以概率概率0.3需進(jìn)一步伐試，經(jīng)調(diào)試后以概率需進(jìn)一步伐試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概可以出廠，以概率率0.2定為不合格品不能出廠?，F(xiàn)該廠新消費(fèi)了定為不合格品不能出廠?，F(xiàn)該廠新消費(fèi)了n臺(tái)儀器臺(tái)儀器假設(shè)各臺(tái)儀器的消費(fèi)過(guò)程是相互獨(dú)立假設(shè)各臺(tái)儀器的消費(fèi)過(guò)程是相互獨(dú)立 ，求：，求：1 全部能出廠的概率

23、全部能出廠的概率 ；2 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率 ；3 至少有兩臺(tái)不能出廠的概率至少有兩臺(tái)不能出廠的概率 ； 44解：設(shè)解：設(shè)A=儀器需進(jìn)一步伐試儀器需進(jìn)一步伐試，B=儀器能出廠儀器能出廠；=儀器能直接出廠儀器能直接出廠；AB=調(diào)試后能出廠調(diào)試后能出廠； 由條件由條件 那么那么 AABAB8 . 0)|(, 3 . 0)(ABPAP24. 0)|()()(ABPAPABP94. 024. 07 . 0)()()(ABPAPBP45設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 為消費(fèi)的儀器臺(tái)數(shù)為消費(fèi)的儀器臺(tái)數(shù) ，那么，那么XnnXP94. 0 22206. 094. 02nnCnXP 112nXPnXPnXP nnn94. 0)06. 0()94. 0(1146設(shè)甲袋中有N-1只白球，1只黑球，乙袋中有N只白球，每次從甲乙兩袋中分別取出一只球并交換后放入另一袋，經(jīng)過(guò)n次后，問(wèn)黑球在甲袋中的概率是多少？并討論 的情況。 n“經(jīng)過(guò)n次后，問(wèn)黑球在甲袋中 nAnnpAP )(NpNNpAPpnnnn1)1(1)(11 47NNNpNpNNpAPpnnnnn121)1(1)(111 NNNppNNNppnnnn1212211 48nnnnnq