條件概率、獨立性ppt課件

1、 第三節(jié)第三節(jié) 條件概率和三個重要公式條件概率和三個重要公式1131 條件概率條件概率2例：將一枚硬幣拋擲兩次，察看其出現(xiàn)正反面的情例：將一枚硬幣拋擲兩次，察看其出現(xiàn)正反面的情況。設事件況。設事件A為為“至少有一次為至少有一次為H，事件，事件B為為“兩次兩次擲出同一面?，F(xiàn)來求知事件擲出同一面。現(xiàn)來求知事件A曾經(jīng)發(fā)生的條件下事曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件件B發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。定義定義 設設A，B為兩個事件，且為兩個事件，且 ，稱，稱0)( AP)()()|(APABPABP 為在事件為在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。發(fā)生的條件概率。可以證明，條件概率可以證明，條件概率 也

2、滿足概率公理化定也滿足概率公理化定義的三條公理。因此條件概率也滿足概率的一切根義的三條公理。因此條件概率也滿足概率的一切根本性質(zhì)。如：本性質(zhì)。如：)|(ABP).|(1)|(ABPABP 3例例1 袋中有袋中有16個球，其中顏色和資料如下表個球，其中顏色和資料如下表5個紅球中，個紅球中，2個木質(zhì)球，個木質(zhì)球，3個玻璃球；個玻璃球；11個藍球中，個藍球中，4個木質(zhì)球，個木質(zhì)球，7個玻璃球；個玻璃球；現(xiàn)從中恣意摸取一個球。現(xiàn)從中恣意摸取一個球。假設知摸到的是紅球，那么這個紅球是木質(zhì)球假設知摸到的是紅球，那么這個紅球是木質(zhì)球的概率是多少？的概率是多少？4解：解：A：摸到的是紅球，：摸到的是紅球，B：

3、摸到的是木質(zhì)球：摸到的是木質(zhì)球 那么所求概率為那么所求概率為)()()|(APABPABP 162)(,165)( ABPAP又又 所以所以52)()()|( APABPABP 例 2 某建筑物按設計要求運用壽命超越50年的概率為0.8，超越60年的概率為0.6。該建筑物閱歷了50年之后，它在10年內(nèi)倒塌的概率有多大？5132三個重要公式三個重要公式6例例3 有有6張字母卡片，其中兩張是張字母卡片，其中兩張是e，兩張是，兩張是s，一張是一張是r，一張是，一張是i，混合后重新陳列，求正，混合后重新陳列，求正好排成好排成series的概率。的概率。)|()|()()(51612161AAAPAAP

4、APAAP18011121314152627例例5: 某人忘記了號碼的最后一個數(shù)字，因此他隨意地撥號，求他某人忘記了號碼的最后一個數(shù)字，因此他隨意地撥號，求他撥號不超越三次而接通所需的的概率。假設巳知最后一個數(shù)字是撥號不超越三次而接通所需的的概率。假設巳知最后一個數(shù)字是奇數(shù)那么此概率是多少奇數(shù)那么此概率是多少? 解解: 設設 事件事件 A=“撥號不超越三次而接撥號不超越三次而接 通通那么那么 “連撥三次都未接通連撥三次都未接通 A iA321AAAA 又設又設 “ 第第i次接通次接通那么那么3 , 2 , 1i 1078798109)AA/A(P)A/A(P)A(P)A(P213121 (1)

5、103)A(P1)A(P 故故(2) 如知最后一個數(shù)字是奇數(shù)如知最后一個數(shù)字是奇數(shù),那么共有那么共有5個數(shù)字可選擇個數(shù)字可選擇, 所以所以52324354)A(P 故故53)A(P1)A(P 8某電訊效力部庫存某電訊效力部庫存100部一樣型號的機代售，部一樣型號的機代售，其中其中60部是甲廠消費的，部是甲廠消費的，30部是乙廠消費的，部是乙廠消費的，10部是丙廠消費的。知三個廠的不合格率分部是丙廠消費的。知三個廠的不合格率分別為別為0.1, 0.3,0.2。一位顧客從中隨機地取一部。一位顧客從中隨機地取一部。求：求：1顧客取到的是不合格機的概率；顧客取到的是不合格機的概率； 2顧客運用后發(fā)現(xiàn)不

6、合格，問此機是顧客運用后發(fā)現(xiàn)不合格，問此機是甲、乙、丙廠消費的概率各是多少？甲、乙、丙廠消費的概率各是多少？2全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式9我們首先引見劃分的概念我們首先引見劃分的概念SB1B2B3B5B4B6A1011)()(11niiniiABBAASA 由于由于 兩兩互不相容，兩兩互不相容，iAB niiiBAPBP1)|()(12證明：證明： niiABPAP1)()(由加法公式可得由加法公式可得某電訊效力部庫存某電訊效力部庫存100部一樣型號的機代售，部一樣型號的機代售，其中其中60部是甲廠消費的，部是甲廠消費的，30部是乙廠消費的，部是乙廠消費的，10部是丙廠消費的

7、。知三個廠的不合格率分部是丙廠消費的。知三個廠的不合格率分別為別為0.1, 0.3,0.2。一位顧客從中隨機地取一部。一位顧客從中隨機地取一部。求：求：1顧客取到的是不合格機的概率；顧客取到的是不合格機的概率； 2顧客運用后發(fā)現(xiàn)不合格，問此機是顧客運用后發(fā)現(xiàn)不合格，問此機是甲、乙、丙廠消費的概率各是多少？甲、乙、丙廠消費的概率各是多少？1314)|()()|()()(2211BAPBPBAPBPAP )|()(33BAPBP 17. 02 . 01 . 03 . 03 . 01 . 06 . 017617. 006. 0)()|()()|(111APBAPBPABP179170090 .P(A

8、)B|)P(AP(BA)|P(B222172170020 .P(A)B|)P(AP(BA)|P(B33315例例:用甲胎蛋白法普查肝癌。令用甲胎蛋白法普查肝癌。令C=被檢驗者被檢驗者患肝癌患肝癌，A=甲胎蛋白檢驗結(jié)果為陽性甲胎蛋白檢驗結(jié)果為陽性，那么那么 =被檢驗者未患肝癌被檢驗者未患肝癌 =甲胎蛋白檢驗結(jié)果為陰性甲胎蛋白檢驗結(jié)果為陰性CA由過去的統(tǒng)計資料知由過去的統(tǒng)計資料知90. 0)|(95. 0)|(CAPCAP又知某地居民的肝癌發(fā)病率為又知某地居民的肝癌發(fā)病率為P(C)=0.0004.在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗結(jié)果為陽性在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗結(jié)果為陽性的人求這批人中真的患有肝癌

9、的概率。的人求這批人中真的患有肝癌的概率。16解：由解：由Bayes公式得公式得)C|)P(ACP(C)|P(C)P(AC)|P(C)P(AA)|P(C 10999609500004095000040. %.380 17例例: 在一盒中裝有在一盒中裝有15個球個球, 其中有其中有9個新球個新球, 第一次競第一次競賽從中任取賽從中任取3個運用個運用, 賽后仍放回盒中賽后仍放回盒中, 第二次競賽時第二次競賽時, 再從盒中任取再從盒中任取3個球個球, 求求(1) 第二次取出的球都是新球的概率第二次取出的球都是新球的概率;(2) 知第二次取出的球都是新球知第二次取出的球都是新球, 第一次僅取出第一次僅

10、取出2個新個新球的概率球的概率.解解 以以 表示事件表示事件“第一次競賽從盒中任第一次競賽從盒中任取的取的3個球中有個球中有i個新球個新球,可知可知 是樣本是樣本空間空間S的一個劃分的一個劃分, 以以B表示事件表示事件“第二次取出的球都是新球第二次取出的球都是新球. 那么那么)3 , 2 , 1 , 0i (Ai 3210AAA,A189146525658651231536315373153831539 CC)A|P(BCC)A|P(BCC)A|P(BCC)A|P(B321065124552169127914 3153933151629231526191315360CC)P(ACCC)P(AC

11、CC)P(ACC)P(A19(2) 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得589)B(P)A/B(P)A(P)B/A(P222 (1) 由全概率公式得由全概率公式得24. 09146512652545521665891276512914)A/B(P)A(P)B(P30iii 20事件的獨立性事件的獨立性21BA,證明：只需證明假設證明：只需證明假設 相互獨立，相互獨立，那么那么 也相互獨立刻可。也相互獨立刻可。BA,由于由于 而而 ，所以，所以ABBBASBA )(ABB )()()(ABPBPBAP )()()(1)()()()(APBPAPBPBPAPBP 22三個事件的獨立性三個事件的獨立性23多

12、個事件的獨立性多個事件的獨立性那么稱那么稱 相互獨相互獨立。立。nAAA,21定義：設定義：設 是是 n n 個事件，假設對恣個事件，假設對恣意的意的k k 及恣意的及恣意的 , ,都有等式都有等式)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP nAAA,21niiik 211)1(nk 2426例例1 甲、乙、丙三人各自去破譯一個密碼，他們甲、乙、丙三人各自去破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為能破譯的概率分別為 。試求：密碼能譯出的概率。試求：密碼能譯出的概率。41,31,51例例2 甲、乙、丙三人同時對飛機射擊，三甲、乙、丙三人同時對飛機射擊，三人擊中的概率分別為人擊中的概

13、率分別為0.4,0.5,0.7，飛機被，飛機被一人擊中而被擊落的概率為一人擊中而被擊落的概率為0.2，飛機被，飛機被二人擊中而被擊落的概率為二人擊中而被擊落的概率為0.6，飛機被，飛機被三人擊中三人擊中,必定被擊落，求飛機被擊落的必定被擊落，求飛機被擊落的概率。概率。2728:1A第第i人擊中人擊中 i =1,2,3 09. 0)7 . 01)(5 . 01)(4 . 01()(1)(1)(1)()()()()(3213213210 APAPAPAPAPAPAAAPBP36. 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0)()()()()(321

14、3213213213213211 AAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAPBP2941. 07 . 05 . 04 . 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0)()()()()(3213213213213213212 AAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAPBP14. 07 . 05 . 04 . 0)()()()()(3213213 APAPAPAAAPBP 例 要驗收一批100件樂器，驗收方案如下：自該批樂器中隨機地取3件測試設3件樂器是相互獨立的，假設3件中至少有一件在測試中以為音色不純，那么這批樂器就被回絕接納。設一件音色不純樂器經(jīng)測試查出其音色不純的概

15、率0.95，而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤以為不純的概率0.01，假設知這100件樂器中恰有4件音色不純的.試問這批樂器被接納的概率是多少?30設設)3 , 2 , 1( iHi表示事件表示事件 “隨機地取隨機地取 3 件件,恰有恰有i件音色不純件音色不純”A表示事件表示事件“被接收被接收”30)99. 0()|(HAP;05. 0)99. 0()|(21HAP;22)05. 0(99. 0)|(HAP;33)05. 0()|(HAP3131003960)(CCHP, 3100296141)(CCCHP3100196242)(CCCHP 3100341)(CCHP故30)|()()(iiiHAP

16、HPAP 8629. 000055. 08574. 032 事件的獨立性在可靠性問題中的運用事件的獨立性在可靠性問題中的運用所謂系統(tǒng)元件的可靠性是指系統(tǒng)元件正常所謂系統(tǒng)元件的可靠性是指系統(tǒng)元件正常任務的概率。任務的概率。例例: : 設有設有n n個元件，每個元件的可靠性均為個元件，每個元件的可靠性均為r r，且各，且各元件能否正常任務是相互獨立的，試求串聯(lián)絡統(tǒng)和元件能否正常任務是相互獨立的，試求串聯(lián)絡統(tǒng)和并聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性。并聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性。331 1串聯(lián)絡統(tǒng)串聯(lián)絡統(tǒng)12n設設 = =“第第i i個元件正常任務，個元件正常任務，iAni, 2 , 1 “串聯(lián)絡統(tǒng)正常任務等價于串聯(lián)絡統(tǒng)正常任務等價

17、于“這這n n個元件都正常任務。個元件都正常任務。所以串聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性為：所以串聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性為：nininrAPAAAP )()(121由于由于 r 1 r 1 所以，串聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性隨著所以，串聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性隨著 n n 的增大而減少。的增大而減少。34“并聯(lián)絡統(tǒng)正常任務等價于并聯(lián)絡統(tǒng)正常任務等價于“這這n n個元件中至個元件中至少有一個元件正常任務少有一個元件正常任務 可見并聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性高于串聯(lián)絡統(tǒng)?？梢姴⒙?lián)絡統(tǒng)的可靠性高于串聯(lián)絡統(tǒng)。 niinnnAPAAAPAAAPAAAP121212111)(1)(1)( nir111 nnrr 11所以并聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性為：所以并聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性為：

18、2 2并聯(lián)絡統(tǒng)并聯(lián)絡統(tǒng)1n2353 3混聯(lián)絡統(tǒng)混聯(lián)絡統(tǒng) 如以下圖所示如以下圖所示混聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性普通可以分解為假設干串聯(lián)或并聯(lián)子混聯(lián)絡統(tǒng)的可靠性普通可以分解為假設干串聯(lián)或并聯(lián)子系統(tǒng)，從而逐漸求得其可靠性系統(tǒng)，從而逐漸求得其可靠性) r1 (1 r2 )r1(1 r1)r1(12 432rr3r2r 2)r1(1 132436 貝努利實驗和二項概率貝努利實驗和二項概率將某一實驗獨立地反復進展將某一實驗獨立地反復進展n次，我們只次，我們只關懷每次實驗中某個事件關懷每次實驗中某個事件A能否發(fā)生，這能否發(fā)生，這種實驗稱為貝努利實驗，相應的數(shù)學模型種實驗稱為貝努利實驗，相應的數(shù)學模型稱為貝努利概型。稱為

19、貝努利概型。37它具有如下四個特征它具有如下四個特征(1) (1) 在一樣條件下進展在一樣條件下進展n n次反復實驗次反復實驗; ;(2) (2) 每次實驗是相互獨立的每次實驗是相互獨立的; ;(3) (3) 每次實驗有且僅有兩種結(jié)果每次實驗有且僅有兩種結(jié)果 ；(4) (4) 每次實驗中每次實驗中 。pAPpAP 1)(,)(AA和和在在n n重貝努里實驗中，我們主要研討事件重貝努里實驗中，我們主要研討事件A A恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn)k k次的概率次的概率 )(kPn38“在在n n重貝努里實驗中事件重貝努里實驗中事件A A恰好發(fā)生了恰好發(fā)生了k k次，次，設事件設事件其中其中nk 0 kB 由于由

20、于 n n 次實驗是相互獨立的，所以事件次實驗是相互獨立的，所以事件A A在指定的在指定的 k k 次實驗中發(fā)生，而在其他次實驗中發(fā)生，而在其他(n-k(n-k次實驗中不發(fā)生如次實驗中不發(fā)生如前前k k次實驗中次實驗中A A都發(fā)生，而在后都發(fā)生，而在后n-kn-k次實驗中次實驗中A A都不發(fā)都不發(fā)生的概率為：生的概率為：)(PAAAAAAknk knk) p1 (p) p1 () p1 (ppp 39所以所以knkknkn)p1(pC)B(P)k(P n, 2 , 1 , 0k 由于由于 恰好是恰好是 按二項公式展開時的各項，所以上述按二項公式展開時的各項，所以上述 公式稱為二項概率公式。公式

21、稱為二項概率公式。)n, 2 , 1 , 0k()p1(pCknkkn npp1 由于這種指定方式有由于這種指定方式有 種，且它們是兩兩互不相容的，種，且它們是兩兩互不相容的，knC40因因此此，我我們們有有如如下下的的定定理理在在 n 重重貝貝努努利利試試驗驗中中，設設pAP)(，則則事事件件 A 恰恰好好發(fā)發(fā)生生 k)0(nk 次次的的概概率率為為knkknnppCkP)1()( nk,2 , 1 , 041例例 甲、乙兩名棋手進展競賽，知甲的甲、乙兩名棋手進展競賽，知甲的實力較強，每盤棋獲勝的概率為實力較強，每盤棋獲勝的概率為0.6，假定每盤棋的勝負是相互獨立的，且假定每盤棋的勝負是相互

22、獨立的，且不會出現(xiàn)和棋。試求在以下三種情形不會出現(xiàn)和棋。試求在以下三種情形下甲最終獲勝的概率。下甲最終獲勝的概率。1 采用三盤競賽制；采用三盤競賽制；2采用五盤競賽制。采用五盤競賽制。4243)2(n4.設一廠家消費的每臺儀器，以概率設一廠家消費的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠，以可以直接出廠，以概率概率0.3需進一步伐試，經(jīng)調(diào)試后以概率需進一步伐試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概可以出廠，以概率率0.2定為不合格品不能出廠?，F(xiàn)該廠新消費了定為不合格品不能出廠。現(xiàn)該廠新消費了n臺儀器臺儀器假設各臺儀器的消費過程是相互獨立假設各臺儀器的消費過程是相互獨立 ，求：，求：1 全部能出廠的概率

23、全部能出廠的概率 ；2 其中恰好有兩臺不能出廠的概率其中恰好有兩臺不能出廠的概率 ；3 至少有兩臺不能出廠的概率至少有兩臺不能出廠的概率 ； 44解：設解：設A=儀器需進一步伐試儀器需進一步伐試，B=儀器能出廠儀器能出廠；=儀器能直接出廠儀器能直接出廠；AB=調(diào)試后能出廠調(diào)試后能出廠； 由條件由條件 那么那么 AABAB8 . 0)|(, 3 . 0)(ABPAP24. 0)|()()(ABPAPABP94. 024. 07 . 0)()()(ABPAPBP45設隨機變量設隨機變量 為消費的儀器臺數(shù)為消費的儀器臺數(shù) ，那么，那么XnnXP94. 0 22206. 094. 02nnCnXP 112nXPnXPnXP nnn94. 0)06. 0()94. 0(1146設甲袋中有N-1只白球，1只黑球，乙袋中有N只白球，每次從甲乙兩袋中分別取出一只球并交換后放入另一袋，經(jīng)過n次后，問黑球在甲袋中的概率是多少？并討論 的情況。 n“經(jīng)過n次后，問黑球在甲袋中 nAnnpAP )(NpNNpAPpnnnn1)1(1)(11 47NNNpNpNNpAPpnnnnn121)1(1)(111 NNNppNNNppnnnn1212211 48nnnnnq