江蘇省高考數(shù)學(xué)三模試卷解析版

1、高考數(shù)學(xué)三模試卷題號一一總分得分一、填空題(本大題共14小題，共70.0分)1 .已知集合 U=-1 , 0, 2, 3, A=0, 3,則？uA=.2 .已知復(fù)數(shù)z=冷 (i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a的值為3.如圖是一個算法流程圖，若輸出的x的值為.y的值為4時，則輸入CS)第10頁，共14頁4 .已知一組數(shù)據(jù)6, 6, 9, x, y的平均數(shù)是8,且xy=90,則該組數(shù)據(jù)的方差為 5 . 一只口袋裝有形狀、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只紅球，從中1次隨機(jī)摸出2只球，則2只球都是白色的概率為 .x2-2x,x > 0,6 .已知函數(shù)f (x) =_產(chǎn)_2工/<0

2、,則不等式f (x) >f (-x)的解集為.7 . 已知an是等比數(shù)列，前 n項和為Sn,若a3-a2=4, a4=16,則S3的值為.8 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線 «=1 (a>0, b>0)的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分 別交于A, B兩點(diǎn).若AAOB的面積為學(xué)，則該雙曲線的離心率為 .9 . 已知直角梯形 ABCD 中，AB /CD , AB1BC, AB=3cm, BC=1cm, CD=2cm,將此直 角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為 cm3.1it10 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若曲線y=sin2x與y=tanx在任，&

3、#169;上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,貝U sin2的值為. if11 .如圖，正六邊形ABCDEF中，若心%亡+叱(入科CR), 則入+的值為.12.如圖，有一壁畫，最高點(diǎn) A處離地面6m,最低點(diǎn)B 處離地面3.5m,若從離地高2m的C處觀賞它，則離 墻m 時，視角。最大.13.已知函數(shù) f (x) =x2-2x+3a, g (x) 吟,若對任意 xi q。，3,總存在 X2 2, 3,使得|f (2) |鴦(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的值為14.在平面四邊形 ABCD中，/BAD=90°, AB=2,T T-14T -pAD =1，若就?AC +BA ?BC =1CA 平，則CB+：CD的最小

4、值為二、解答題(本大題共 6小題，共90.0分)15. SBC 中，a, b, c 分別為角 A,B,C 所對邊的長，a (sinA-sinB)= (c-b) (sinB+sinC).(1)求角C的值；(2)若 a=4b,求 sinB 的值.16.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，平面 BP=BC, E, F分別是PC, AD的中點(diǎn).求證：(1) BE±CD;(2) EF 砰面 PAB.BPC"面 DPC,17 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C：1 + =1 (a>b>0)的上頂點(diǎn)為(0,4)， a b"圓 O： x2

5、+y2=：經(jīng)過點(diǎn) M (0, 1).(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)M作直線11交橢圓C于P, Q兩點(diǎn)，過M作直線li的垂線12交圓。于另一點(diǎn)N,若4PQN的面積為3,求直線11的斜率.18 .南通風(fēng)箏是江蘇傳統(tǒng)手工藝品之一.現(xiàn)用一張長2m,寬1.5m的長方形牛皮紙 ABCD裁剪風(fēng)箏面，裁剪方法如下：分別在邊 AB, AD上取點(diǎn)E, F,將三角形AEF沿直 線EF翻折到A' EF處，點(diǎn)A落在牛皮紙上，沿 A' E, A' F裁剪并展開，得到 風(fēng)箏面AEA' F,如圖1.(1)若點(diǎn)E恰好與點(diǎn)B重合，且點(diǎn)A'在BD上，如圖2,求風(fēng)箏面ABA' F的面

6、 積；(2)當(dāng)風(fēng)箏面AEA' F的面積為Gm2時，求點(diǎn)A'至U AB距離的最大值.19 .已知數(shù)列an滿足(nan-i-2) an= (2an-1) an-i (n>? , bn=-n (nCN*)(1)若a1二3,證明：bn是等比數(shù)列；(2)若存在kN*,使得5，*成等差數(shù)列. “ 上 ulr + 1+ 2求數(shù)列an的通項公式；證明：lnn+；an>ln (n+1) -：an+i.20 .已知函數(shù)f (x) =i：“(aw0 , e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)a>0時，求f (x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若對任意的xs|, f (x) >小 (bCR),求實(shí)

7、數(shù):的最大值;(3)若f (x)的極大值為-2,求不等式f (x) +ex<0的解集.答案和解析1 .【答案】-1 , 2【解析】解：.U=-1 , 0, 2, 3, A=0 , 3,.PA=-1 , 2,故答案為：-1 , 2根據(jù)補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.本題主要考查集合的基本運(yùn)算，結(jié)合補(bǔ)集的定義是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).2 .【答案】-3【解析】解：缶罌*廣小+察i是純虛數(shù),t a + 3 = 03q¥0,解得 a=-3.故答案為：-3.利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0且虛部不為0求解.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.3 .【答案】

8、-1(3X工 < 1【解析】解：程序的功能是計算 y=3 + g x>i,若輸出y的值為4時，則當(dāng)xWl時，由3-x=4得x=-1 ,當(dāng)x> 1時，由3+x=4得x=1,此時無解，故答案為：-1根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計算即可.本題主要考查程序框圖的識別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵.144 .【答案】可【解析】 解：一組數(shù)據(jù)6, 6, 9, x, y的平均數(shù)是8,且xy=90,. 6+6+9+x+y=8>5,解得 x+y=19,又 xy=90,. x, y的值為10, 9,.該組數(shù)據(jù)的方差為：S2=1 (6-8) 2+ (6-8) 2+ (9-

9、8) 2+ (9-8) 2+ (10-8) 2=y.故答案為：y.推導(dǎo)出x, y的值為10, 9,由此能求出該組數(shù)據(jù)的方差.本題考查方差的求法，考查平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.5 .【答案】；【解析】解：一只口袋裝有形狀、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只紅球,從中1次隨機(jī)摸出2只球，基本事件總數(shù)n=d=6,2只球都是白色包含的基本事件個數(shù)m=C： =3 ,2只球都是白色的概率為 p=：=：;另.故答案為：從中1次隨機(jī)摸出2只球，基本事件總數(shù)n=C： =6, 2只球都是白色包含的基本事件個數(shù)m=d=3,由此能求出2只球都是白色的概率.排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

10、求解能力，是基本題考查概率的求法，考查古典概型、 礎(chǔ)題.6 .【答案】(-2, 0) U (2, +8)【解析】解：畫出函數(shù)f (x)的 圖象，如圖所示， 易知函數(shù)f (x)為奇函數(shù)， 則 f (x) > f (-x) =-f (x), 即 f (x) > 0,由圖象可得，不等式的解集為 (-2, 0) U (2, +8),故答案為：(-2, 0) U (2, +8). 畫出函數(shù)f (x)的圖象，如圖所 示，易知函數(shù)f (x)為奇函數(shù)， 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象即可 求出.考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.本題考查了分段函數(shù)和不等式的解法，7 .【答案】14【解析】解：根據(jù)題意，a

11、n是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,若 a3-a2=4, a4=16,則 01g3 =3 ,解可得 q=2, ai=2,則 S3= '=14;故答案為：14伊1/一。遇=4根據(jù)題意，設(shè)數(shù)列an的公比為q,結(jié)合題意可得|%/ = 16 ,解可得a1與q的值,由等比數(shù)列的前n項和公式分析可得答案.本題考查等比數(shù)列的前 n項和公式以及通項公式，關(guān)鍵是求出數(shù)列an的公比.8 .【答案】2【解析】解：雙曲線鼻名=1 a2 b2(a>0, b>0)的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A, B兩點(diǎn).可得 y ,解得 A bx ± ay = 0由ZOB的面積為了，可得：因為 e=£&g

12、t;i,所以e=2.故答案為：2.【分析】求出雙曲線的右準(zhǔn)線方程，漸近線方程，然后求解雙曲線的離心率即可. 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查.9 .【答案】t【解析】解：直角梯形 ABCD中，AB心D, AB1BC, AB=3cm, BC=1cm,CD=2cm,將此直角梯形繞 AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓錐和圓柱的組合體，底面半徑都為1,圓柱的高為 2,圓錐的高為1,.由此形成的幾何體的體積為:V=K X l2 X 2 + ：jX TT X I2 X l=y (cm3),故答案為：Y-幾何體為圓錐和圓柱的組合體，底面半徑都為1,圓柱的高為2,圓錐的高為1,代入體積

13、公式計算即可.本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積的求法，考查圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題.海10 .【答案】-T11T【解析】 解：由題意可得：sin2 atan縱 尤仁，兀)，可得：sin s> 0, cos 0, sina可得：16sin a cos 砥1解得：cos2 a 而,解得：cos aq, sin m-d=,屏可得： sin2 a =2sin a cos-%=.故答案為：-唱.由題意可得：sin2 atanaa4，兀),可得：sin A 0, cos o< 0,利用二倍角公式, 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos % sin疝勺值，進(jìn)而可求

14、sin2 a的值.本題主要考查了二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.411 .【答案】【解析】 解：依題意，正六邊形 ABCDEF中，三角形ACE 為等邊三角形，設(shè)三角形 ACE的中心為O, AD nCE=G,則 G為CE中點(diǎn).T T2 _11 r f 2T 2貝 Ln=23=2X? =_%XL + r )=qT +彳 rAD 月。九 3 2 VAC W 3AC故填： 依題意，三角形 ACE為等邊三角形，設(shè)三角形 ACE的中心為O,則- T Iff* - 2T 2T前-2月0-2XJ/十月P-5 +彳 故入+的值可得. / Li

15、.T C本題考查了平面向量的分解，屬于基礎(chǔ)題.12 .【答案】亞【解析】解：如圖所示：過點(diǎn)C作CD IDA于點(diǎn)D,則：tan 0 -tan( ZACD-ZBCD) - 1 /l + X ,rX當(dāng)且僅當(dāng)x-：,即X-*時，視角最大.故答案為：1直接利用解直角三角形知識，利用差角的公式和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，基本不等式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生 的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力.屬于基礎(chǔ)題型.13 .【答案】：2 一【解析】 解：f (X) -x -2x+3a在x1qo, 3上先減后增故當(dāng)x-1時，函數(shù)有最小值f (1) -3a-1,當(dāng)a-3時，函數(shù)有最大值f (3

16、) -3+3a故 f (x1) q3a-1, 3a+3,.g (x) * 在X2可2, 3上單調(diào)遞減，故g (x) qi, 2,對任意Xiqo, 3,總存在X2可2, 3,使得|f (Xi) |智(X2)成立，.|f ( Xi ) |maX可(X2)maX,|f(0)| =|3a|<2J IKl)|=|3a-l|<2ll/(3)| = |3 + 3«|<25解可得，a=-故答案為：-由g (x)=工在X2Q2, 3上單調(diào)遞減，可求 g (x) qi, 2,對任意Xiq。，3,總存在X2Q2, 3,使得 |f (xi) | 彎(X2)成立，可得 |f (xi) |ma

17、x 可(X2)max, 結(jié)合二次函數(shù)的性 質(zhì)可求本題主要考查了函數(shù)的恒成立與函數(shù)的存在性問題的相互轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.14 .【答案】"【解析】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AB為x軸，以AD為y軸建立如圖坐 標(biāo)系，設(shè)C (x, V).則月片(2，°)，然=(x，y)，獷(-2, 0),劭=(2-x, -y),fTe= (-x, -y) , cd= (-x, i-y) -T f T T 4 T T? . + ? =CA?砧所以 2x-2x+4=； (x2-2x+y2),即(x-i) 2+y2=4,即點(diǎn)C在以O(shè) (i, 0)為圓心，以2為半徑的圓上, 取

18、 O' (5, 0),則 = | = 7,所以如BCs/oco,所以配，即BC二和七,所以CB+；CD取得最小值即 如七十皿1取得最小值,根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊,初七 + CDO 4oD=5 + -以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AB為x軸，以AD為y軸建立如圖坐標(biāo)系，設(shè) C (x, y).可以推 出點(diǎn)C在圓(x-i) 2+y2=4上，然后將CB+：CD的最小值的問題，根據(jù)三角形相似轉(zhuǎn)化為匚口)的問題，借助三角形的兩邊之和大于第三邊即可得到CB+：CD的最小值.本題借助向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了兩距離和最小的問題，考查了構(gòu)造相似三角形，以 及圍成三角形的條件.難點(diǎn)在于構(gòu)造相似三角形將距離和轉(zhuǎn)

19、化為兩點(diǎn)間的距離.本題屬于難題.15 .【答案】(本題滿分為12分)解：(1)由已知：a (sinA-sinB) = (c-b) (sinC+sinB), 由正弦定理，得：a (a-b) = (c-b) ( c+b),(2分) 即：a2+b2-c2=ab(3分)所以：cosC=" y三，(5分)又：CC (0,城,所以：C=；(6分)(2)因為：C=-, a=4b,所以：sinA=4sinB,可得：sin (y-B) =4sinB, 517可得： cosB+.sinB=4sinB,解得：cosB=sinB,所以：(酒sinB)2+sin2B=1 ,解得：sin2B=52,所以可得：s

20、inB噂.(12分)【解析】(1)由已知a (sinA-sinB) = (c-b) (sinC+sinB)利用正弦定理，得 a (a-b) =(c-b) (c+b),即a2+ b2-c2=ab.再利用余弦定理即可得出.(2)由正弦定理可得 sinA=4sinB,禾1J用兩角差的正弦函數(shù)公式可得：sin得-B) =4sinB,進(jìn)而可求cosB=sinB,根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可解得sinB的值.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中本題考查了正弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式， 的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.16 .【答案】證明：(1)在4PBC中， . BP=BC,E是 PC 的

21、中點(diǎn)，BE1PC, 平面BPC"面DPC ,平面 BPCn 平面 DPC=PC, BE?平面 BPC, BE!面 PCD,又 CD?平面 DPC, .BE±CD .(2)取PB中點(diǎn)H,連結(jié)EH, AH, 在"BC中，又E是PC的中點(diǎn)，1. HE/BC, HE=aBC,又底面ABCD是平行四邊形，F(xiàn)是AD的中點(diǎn), . AF/BC, AF=|bC, . HE/AF, HE=AF,四邊形AFEH是平行四邊形,. EF /HA,. EF?平面 PAB, HA?平面 PAB . EF 砰面 PAB.【解析】（1）推導(dǎo)出BE1PC, BE4面PCD,由此能證明 BE±

22、;CD.（2）取PB中點(diǎn)H,連結(jié)EH, AH,推導(dǎo)出四邊形 AFEH是平行四邊形，從而 EF/HA, 由此能證明EF /狂面PAB .本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基 礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.17 .【答案】解：（1）由橢圓C的上頂點(diǎn)為（0,），則b/G,又圓 O： x2+y2="2,經(jīng)過點(diǎn) M （0, 1）,則 a=2,.橢圓C的方程為：+（=1 . 4 J（2）若11的斜率為0,則PQ=: MN=2,.ZPQN的面積為"，不合題意，直線11的斜率不為0,直線11的方程為y=kx+1,由，

23、:上二1，消y可得（3+4k2） x2+8kx-8=0,y - ft .a 十 i設(shè)點(diǎn) P (x1，yj , Q (x2, y2),x2=.PQ=:心一。丁 + 7 一二）, 二 I4微-也 +M - Jtk1 + 1 ,"?|x1-x2| =第16頁，共14頁直線l2的方程為y=-x+1,即x+ ky-k=0,11 4聲- Jl + *2 執(zhí)？ + I W.QN 的面積 S=FPQ?MN=-77-?肯=3,解得k=£,即直線1i的斜率為4.J口【解析】（1）根據(jù)由題意可得 b支&,即可求出a=2,可得橢圓方程，（2）設(shè)直線1i的方程為y=kx+1,再根據(jù)韋達(dá)定理，

24、和弦長公式，和三角形的面積公式 即可求出直線的斜率.本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時 考查三角形的面積公式，屬于中檔題.18 .【答案】 解：（1）設(shè)ZABF= 2貝U ZABD=21AD 32切的 31tan2 脆/，即 1Tm汩=*, - tan %或 tan 9-3 （舍），- AF=7, SAABF至 X 彳 X 2 =,四邊形ABA' F的面積為2Szabf=；(2)設(shè) AE=a (0vaw? , ZAEF=0,貝U AF=atan q2Saaef=AE?AF=a2tan。有，故 tan 碑, 過 A'作 A' TL

25、E 于 T,則 A' T=A' Esin2 6 asin2 夕又 sin2 0 - setta+；W + g +，當(dāng)且僅當(dāng)分即a=«號時取等號. fl JJ >QJ JJ HA' T的最大值為 等招，即點(diǎn)A'至I AB距離的最大值為，【解析】(1)設(shè)/ABF=。，根據(jù)tan2 0：計算tan 0從而可求出AF ,進(jìn)而求出四邊形的面積；(2)過A'作A' TXAET T,設(shè)AE=a, ZAEF=6,根據(jù)面積求出a和tan。的關(guān)系，得 出A' T關(guān)于a的函數(shù)，再利用基本不等式求出A' T的最大值.本題考查三角恒等變換，

26、解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.19 .【答案】 解：(1)由(nae-2) an= (2an-1) an-i (n>2),得+2-n,得，-n=2J-(n-1)L 得 bn=2bn-i,1H7i-1-Si=3 豐 0)112。=1-1=匚 1=-產(chǎn)Q 則b二=2, (n)?,則>是以bi為首項，公比q=2的等比數(shù)列.(2)設(shè) 31 二人,由(1)知，bn=2bn-i,則 bn=2n-1bi-2n-1 X,SPr-n=2n-1 % 則：=X?2+k, ' n'k7.3,占，念成等差數(shù)列，k *1k+1k( Z?2 +k) + ( A?2 +k+2) =2 (代2+k+1

27、), k-iii- -A?2 =O,得 入=Q .,即4=n,即 an=G.iii i要證 lnn+2an> In (n+1)號an+i .即證述產(chǎn)利田 >In (n+1) -Inn,1n + 111ft +1rt +1即(an+i-an) > ln, BPn+TT >2ln,設(shè) t,L J 1t-：i 1-則產(chǎn)7TT=t-1+T =忤，且 t>1,i從而只需要證明：當(dāng)t>1時，忤>2lnt即可，11212設(shè) f (x) =x-2lnx, (x>1),則 f' ( x) =1+-= (7-1) >0,. f (x)在(1, +8)上

28、單調(diào)遞增，f (x) > f (1) =0,即 x-7>2lnx,.t>1 時，t-；>2lnt 成立,.,原不等式得證.【解析】(1)根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可(2)由(1)得bn的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解利用分析法，進(jìn)行證明即可.本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，結(jié)合數(shù)列遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列，等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度.20.【答案】解：(1) f (x)的定義域為(0,e-1)u(e-1,+叼.p ini)ar3 - - ZaifJjir I由=1 =J .'' '(1 1 Inxf(1 卜 一-a>0,可得 x E g1十 8)時，f' (x) >0.- f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(e-', +8)；(2)當(dāng)av 0時，f (1) =a<0,不符合題意.當(dāng)a>0時，由(父)=一工'工'(1 1 Inx(1 卜 M爐可得 xqeW +oo)時，f' (x) >0. xC