大學(xué)物理第六講角動量角動量守恒(二)

1、四、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用四、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 已知：兩物體已知：兩物體 m1、m2（m2 m1 ) 滑輪滑輪 m、R, 可看成質(zhì)量均勻的圓盤可看成質(zhì)量均勻的圓盤, 軸上的摩擦力矩為軸上的摩擦力矩為 Mf（設(shè)繩輕，且（設(shè)繩輕，且 不伸長不伸長,與滑輪無相對滑動）。與滑輪無相對滑動）。求求:物體的加速度及繩中張力。物體的加速度及繩中張力。解題思路解題思路;（1）選物體）選物體（2）看運動）看運動（3）查受力（注意）查受力（注意:畫隔離體受力圖）畫隔離體受力圖）（4）列方程（注意）列方程（注意:架坐標(biāo)）架坐標(biāo)）例例1.m1m2mR因繩不伸長因繩不伸長,有有 a1= a2= a因繩輕因繩輕,有

2、有2211,TTTT 對對m1有有?TT21 對對 m2有有以加速度方向為正，可列出兩以加速度方向為正，可列出兩式式設(shè)出各量如圖所示。設(shè)出各量如圖所示。【解】【解】分別對分別對m1, m2, m 看運動、分析力，看運動、分析力， T1 - m1g = m1a -（1） m2g - T2= m2 a -（2）gm11T1agm22T2amg2T 1T fMNR 對滑輪對滑輪 m 由轉(zhuǎn)動方程由轉(zhuǎn)動方程-（3）三個方程三個方程,四個未知數(shù)四個未知數(shù).再從再從運動學(xué)關(guān)系上有運動學(xué)關(guān)系上有 Raat - （4）聯(lián)立四式解得：聯(lián)立四式解得：(以以“ 方向方向”為正為正) 21221mRJMRTRTf gm

3、2mggm12T 2T1T1T 1a2afMNR mmmRMgmmaf212112 mmmRMgmmaf212112 2222111211mmmRMmgmmmagmTf 2222122122mmmRMmgmmmagmTf 當(dāng)不計滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時當(dāng)不計滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時: gmmmma1212 gmmmmTT2121212 （與中學(xué)作過的一致！）（與中學(xué)作過的一致?。﹎ = 0, Mf = 0 ，有有討論討論 已知：如圖，已知：如圖，R=0.2m，m=1kg，vo=o， h=1.5m，勻加速下落時間，勻加速下落時間 t =3s, 繩、輪無相對滑動，軸光滑。繩、輪無相對滑動，軸光滑。 求：輪

4、對求：輪對o軸軸 J=？ （測定轉(zhuǎn)動慣量（測定轉(zhuǎn)動慣量J 的實驗方法之一）的實驗方法之一）定軸定軸0Rthmv0= 0繩繩設(shè)出各量如圖所示。設(shè)出各量如圖所示?！窘狻俊窘狻糠謩e對物體分別對物體m 和輪和輪 看運動、分析力，看運動、分析力，例例 2.RmaGgmNTT T【解】：【解】：由動力學(xué)關(guān)系：由動力學(xué)關(guān)系：四個未知量四個未知量a,J,T 由運動學(xué)關(guān)系：由運動學(xué)關(guān)系：221ath Raat 2212mRhgtJ ）（得得 JTR 對對輪輪：maTmg ：對對m 2mkg.).(411201151238922RmGgmNTT Ta 5.5 轉(zhuǎn)動中的功轉(zhuǎn)動中的功和和能能一一. . 力矩的功力矩的

5、功F對轉(zhuǎn)動（功）無貢獻對轉(zhuǎn)動（功）無貢獻現(xiàn)在討論現(xiàn)在討論力矩對空間的積累效應(yīng)力矩對空間的積累效應(yīng) 設(shè)剛體上設(shè)剛體上P點受到點受到外力外力 的作用，的作用，F(xiàn)0 r drd FP r0 z FFPFrd, 功為功為 , d A位移為位移為 ddsinsindMrFrF 此式稱為此式稱為力矩的功力矩的功（實質(zhì)上仍然是力的功）。（實質(zhì)上仍然是力的功）。(d )AFr對比21dAMdddcosAFrFr0 r drd FP 二二 . . 定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能:2221 iiirm221 JE K（可對比質(zhì)點的動能）（可對比質(zhì)點的動能）2221112221

6、ddddd1122AMJJtJJ 外外定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理.即即K2K1AEE外im0 iriv iiivmE221K三三 . . 剛體定軸轉(zhuǎn)動的機械能守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的機械能守恒定律 剛體的重力勢能剛體的重力勢能 iighmEp hc-質(zhì)心的高度質(zhì)心的高度剛體系剛體系仍是個質(zhì)點系仍是個質(zhì)點系,根據(jù)質(zhì)點系的功能原理：根據(jù)質(zhì)點系的功能原理：若若 dA外外+dA內(nèi)非內(nèi)非=o，則，則 Ek+Ep=常量常量.- 機械能守恒定律機械能守恒定律cmgh mhmmgii A外外+A內(nèi)非內(nèi)非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）mimchihc求求: 桿下擺到桿下擺到 角時，角時， 角速度角速

7、度 ？ 軸對桿的作用力軸對桿的作用力 ？ N【解】【解】“桿桿+地球地球”系統(tǒng)，系統(tǒng)， (1)22204874121mllmmlJ )( (2)由由(1)、(2)解得：解得：lg7sin62 只有重力作功，只有重力作功，E機機 守恒。守恒。 已知：均勻直桿質(zhì)量為已知：均勻直桿質(zhì)量為m，長為，長為l，軸，軸o光滑，光滑， 初始靜止在水平位置。初始靜止在水平位置。4/ lAO 例例3.EP重重=0042120 sinlmgJ0CABl , ml /4 應(yīng)用應(yīng)用質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 求軸對桿的作用力：求軸對桿的作用力：camgmN BCOAl , mNlNtNmgactacllt 24 lalc

8、 sin76g Olt cJmglJMlla cos44440 7cos3 g 設(shè)軸力設(shè)軸力 如圖，有如圖，有NlclmaNmgl sin ： (3)tctmaNmgt cos ： (4) 代入代入(3)(4) ，得：，得：COABl , mNlNtNlt,sin713 mgNl cos74mgNt tmglmgNcos74sin713 16sin1537222 mgNNNtl)ctg134(tg|tg11 ltNN或或(負號代表什么？負號代表什么？)質(zhì)量質(zhì)量 m 長長 l 的均勻細桿可繞過其中點處的均勻細桿可繞過其中點處的水平光滑固定軸的水平光滑固定軸 0 轉(zhuǎn)動，如果一質(zhì)量為轉(zhuǎn)動，如果一質(zhì)量

9、為 m的小球以速度的小球以速度 豎直落到棒的一端，豎直落到棒的一端，發(fā)生彈性碰撞（忽略軸處摩擦）。發(fā)生彈性碰撞（忽略軸處摩擦）。u例例4.lm uvmo【解解】求：碰后小球的速度及桿的角速度。求：碰后小球的速度及桿的角速度。 桿的角速度桿的角速度 肯定如圖，肯定如圖， 假設(shè)小球碰后瞬時的速假設(shè)小球碰后瞬時的速 度度 向上，如圖所示。向上，如圖所示。v系統(tǒng)系統(tǒng)：小球：小球+桿桿條件條件：M外外=0 角動量守恒角動量守恒 （軸力無力矩；小球的重力矩與碰撞的（軸力無力矩；小球的重力矩與碰撞的 內(nèi)力矩相比可以忽略）內(nèi)力矩相比可以忽略）)1(212122lvmmllum 因為彈性碰撞因為彈性碰撞, 動能

10、守恒動能守恒)2(2112121212222vmmlum 聯(lián)立聯(lián)立(1)(2)解得解得 ;33mmummv lmmum)3(6 討論討論1. 量綱量綱 對對2. 0 對對3. 當(dāng)當(dāng) m 3m 時時,v 0（向上）（向上） 當(dāng)當(dāng) m =3m 時時, v = 0（瞬時靜止）（瞬時靜止） 當(dāng)當(dāng) m 3m 時時,v 0（向下）（向下）例例5. 兩個質(zhì)量分別為兩個質(zhì)量分別為m 、M的小球，位于一固定的小球，位于一固定 的、半徑為的、半徑為 R 的的水平光滑水平光滑圓形溝槽內(nèi)。一輕圓形溝槽內(nèi)。一輕 彈簧被壓縮在兩球間（未與球相連）。用線彈簧被壓縮在兩球間（未與球相連）。用線 將兩球縛緊，并使它們靜止，如圖

11、所示。將兩球縛緊，并使它們靜止，如圖所示。（1）今將線燒斷，兩球）今將線燒斷，兩球 被彈開后在溝槽內(nèi)運動。被彈開后在溝槽內(nèi)運動。 問此后問此后M轉(zhuǎn)過多大角度轉(zhuǎn)過多大角度 與與 m 相碰？相碰？（2）設(shè)原來彈簧勢能為）設(shè)原來彈簧勢能為 U0.問線燒斷后兩球經(jīng)問線燒斷后兩球經(jīng) 過多少時間發(fā)生碰撞？過多少時間發(fā)生碰撞？MvmvmMR系統(tǒng)系統(tǒng)：“m+M ”條件條件：彈簧推力的力矩之和為：彈簧推力的力矩之和為0； 重力、槽底支持力無力矩；重力、槽底支持力無力矩； 槽壁對球的壓力指向圓心，槽壁對球的壓力指向圓心， M外外=0，角動量守恒。角動量守恒。設(shè)設(shè) m,M 剛脫離彈簧時的角速度為剛脫離彈簧時的角速度

12、為 m， M有有0)MR()mR(M2m2 0JJMMmm )1(MmMm 第（第（1）問：）問： M 轉(zhuǎn)過多大角度與轉(zhuǎn)過多大角度與 m 相碰相碰【解解】對彈出過程：對彈出過程：tMtmMm 溝槽水平光滑，所以溝槽水平光滑，所以m、M都作勻速圓周運動。都作勻速圓周運動。設(shè)經(jīng)過設(shè)經(jīng)過 t 它們相遇，相遇時，它們相遇，相遇時，m 轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過 角，角，M 轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過 角角, 由（由（1）式有）式有)1( Mm即即且有且有)2(2 解（解（1）（2）聯(lián)立，得）聯(lián)立，得)3(2mMm 第（第（2）問：原來彈簧勢能為）問：原來彈簧勢能為U0,問線燒斷后兩球問線燒斷后兩球 經(jīng)過多少時間發(fā)生碰撞？經(jīng)過多少時間發(fā)生

13、碰撞？因為在此過程中，因為在此過程中，系統(tǒng)：系統(tǒng)：m+M條件：條件：只有保守力（彈力）作功，只有保守力（彈力）作功，所以機械能守恒。所以機械能守恒。 022222121UMRmRMm 能否先求出能否先求出 ？(或或 )M ?m 022222121UMRmRMm 202RmMMmUM 再利用（再利用（3）式的）式的 角，得角，得 0222UmMmMRtM 將（將（1）式）式 的的 代入上式，代入上式，可解得可解得MmMm （量綱對）（量綱對）例例6.已知已知: 泥球質(zhì)量為泥球質(zhì)量為 m,半徑為半徑為R的均質(zhì)圓盤質(zhì)量的均質(zhì)圓盤質(zhì)量 為為 M=2m,它可繞水平光滑軸它可繞水平光滑軸o軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動.泥

14、球與泥球與 它正下方的圓盤上的它正下方的圓盤上的P點距離為點距離為 h， =60 。 求求: （1） 碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間 m、M 共同角速度共同角速度 ? 0 （2）P點轉(zhuǎn)到點轉(zhuǎn)到 x 軸時，軸時， 角速度角速度 ? 角加速度角加速度? 【解】【解】對對“泥球泥球+地球地球”系統(tǒng)，系統(tǒng)，只有保守力作功，只有保守力作功，故機械能守恒：故機械能守恒：m下落過程：下落過程：對第（對第（1）問）問mMRhxP0 )(12212ghvmvmgh 碰撞過程碰撞過程:對對“m + M ”系統(tǒng)，系統(tǒng)，t 碰撞時間碰撞時間 極小，極小，)2(cos0 JmvR 沖力遠大于重力，重力（外力）對沖力遠大于重力

15、，重力（外力）對0的力矩可忽略，的力矩可忽略，故角動量守恒：故角動量守恒：)3(221222mRmRMRJ mMRhxP0 (1) (3) 代入代入(2)得：得： )(4420Rgh 轉(zhuǎn)動過程：轉(zhuǎn)動過程： 對對“m + M + 地球地球 ” 系統(tǒng)，系統(tǒng)，對第（對第（2）問）問只有重力作功，故只有重力作功，故 E機機守恒：守恒： 令令P點與點與 x 軸重合時，軸重合時， EP重重=0)(sin52121220 JJmgR (3)(4)代入代入(5)得：得：)Rh(gR34221 RgmRmgRJM222 P點轉(zhuǎn)到點轉(zhuǎn)到 x 軸時，軸時，,2Rg ， )34(221RhgR 用質(zhì)心運動定理求用質(zhì)心

16、運動定理求: NaCyaCxNyNx y xmg CRMg0 M=2mmMmRmMRmMxC 0。和和、質(zhì)質(zhì)心心受受力力為為 NgmgMCamMgmMN)()( 分量如圖。分量如圖。、的的和和設(shè)設(shè)yxaNC已求得已求得P與與 x 軸重合時，軸重合時，討論討論P與與 x 軸重合時，軸重合時，軸軸O 對盤對盤M 的作用力的作用力? Nx向：向：CxxamMN)( )(32 Cxm y向：向：CyyamMgmMN)()( )(3 Cxm y xmg CaCyaCxRNyNxMg0 M=2m解得軸解得軸O 對盤對盤M 的作用力：的作用力：x向：向：xN)(32 Cxm y向：向：gmMNy)( )(3

17、 Cxm 將將 代入上兩式，代入上兩式， ,Cx)34(8RhRmgNx mgNy25 （向左）（向左）（向上）（向上）即即例例7. 一圓盤剛體平面運動如圖，已知一圓盤剛體平面運動如圖，已知 m1,m2, R, 桌面水平光滑，滑輪質(zhì)量不計桌面水平光滑，滑輪質(zhì)量不計。 求：圓盤角加速度求：圓盤角加速度。平面平行運動平面平行運動隨質(zhì)心的平動隨質(zhì)心的平動繞過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動繞過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動【解解】T對對m1,由牛由牛對對m2，由質(zhì)心運動方程，由質(zhì)心運動方程1m2mRTgm1amTgm11 -（1）camT2 -（2） 繞繞 過質(zhì)心的瞬時軸轉(zhuǎn)動過質(zhì)心的瞬時軸轉(zhuǎn)動.Rgmmm21132 桌面對桌面對 m

18、2 沒有摩擦力沒有摩擦力; 有支持力，但無力矩。有支持力，但無力矩。質(zhì)心雖然有加速度，不是慣性系，質(zhì)心雖然有加速度，不是慣性系，但是繞但是繞 過質(zhì)心的瞬時軸的轉(zhuǎn)動方程過質(zhì)心的瞬時軸的轉(zhuǎn)動方程是和慣性系中的轉(zhuǎn)動方程一樣的，是和慣性系中的轉(zhuǎn)動方程一樣的，ccc JM 可以解得可以解得 )(2221RmTR 有有-（3）運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系：caRa -（4）將（將（1）（）（2）代入（）代入（4），再將（），再將（3）代入之，）代入之，例例8. 勻質(zhì)球由靜止沿斜面無滑動滾動（純滾動）勻質(zhì)球由靜止沿斜面無滑動滾動（純滾動） 求：質(zhì)心下降求：質(zhì)心下降h時的時的 vc 及斜面的及斜面的 frm cvm

19、grf R無滑動，無滑動，rf不作功：不作功： E 守恒守恒對球地，分析力對球地，分析力靜摩擦力的作用：把部分能量變成轉(zhuǎn)動動能。靜摩擦力的作用：把部分能量變成轉(zhuǎn)動動能?！窘饨狻繜o滑動，有：無滑動，有：Rvc 222)52(2121 mRmvmghc )R/(gh2710 ,/ghghvc2710 得得（注意：對質(zhì)心的角速度與對接觸點的是相同的）（注意：對質(zhì)心的角速度與對接觸點的是相同的）質(zhì)心系中動能定理：質(zhì)心系中動能定理：.sin mgfr72 將將代入得代入得K2K1AEE外由動能定理：由動能定理：K2,K1,cccAEE外m cvmgrf R質(zhì)心系中：質(zhì)心系中：rf是作功的，而且只有它作功

20、。此力是作功的，而且只有它作功。此力作用的位移就是球在斜面上純滾動的長度作用的位移就是球在斜面上純滾動的長度 h/sin 22)52(21sin mRfhr 有有5.6 進動進動（旋進旋進Precession）例如例如: 陀螺陀螺進動：高速旋轉(zhuǎn)的物體，進動：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個軸轉(zhuǎn)其自轉(zhuǎn)軸繞另一個軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。動的現(xiàn)象。為什么重心已經(jīng)偏出為什么重心已經(jīng)偏出支撐點但是不倒？支撐點但是不倒？能否從力學(xué)規(guī)律上解釋？能否從力學(xué)規(guī)律上解釋？一般地說，轉(zhuǎn)動剛體的角動量一般地說，轉(zhuǎn)動剛體的角動量 和角速度和角速度 是不平行的。是不平行的。L 進動是一種剛體繞點轉(zhuǎn)動進動是一種剛體繞點轉(zhuǎn)動的有趣現(xiàn)象

21、。的有趣現(xiàn)象。o cmg但若剛體質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的但若剛體質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布對稱時，則有（對分布對稱時，則有（對轉(zhuǎn)軸上的任一點）：轉(zhuǎn)軸上的任一點）：軸軸 L zzJ)( z L)(L 對對軸軸對對軸軸上上一一點點例如，例如， 圖中所示剛體圖中所示剛體 以輕桿連接，以輕桿連接， （不對稱），則對（不對稱），則對O點的點的 顯然顯然 不平行于不平行于 。21mm L 為簡單起見為簡單起見,我們只討論我們只討論具有對稱軸的剛體具有對稱軸的剛體的旋進問題。的旋進問題。即即m2 r2m1 r1L2L1 L Oz利用質(zhì)點系對利用質(zhì)點系對固定點的角動量定理固定點的角動量定理 tLMdd 外外在陀螺的自轉(zhuǎn)軸有一傾角時在陀螺的自轉(zhuǎn)軸有一傾角時,陀螺受的重力陀螺受的重力產(chǎn)生的對產(chǎn)生的對o點的力矩為點的力矩為 gmrMc 外外（方向向里）（方向向里）Ld的方向