圓錐曲線中弦長(zhǎng)專題

1、圓錐曲線中弦長(zhǎng)專題 第 1 頁(yè) 共 4 頁(yè) 圓錐曲線中的 弦長(zhǎng)問(wèn)題 一、 知識(shí)梳理 （一) 弦長(zhǎng) 弦長(zhǎng) 公式 適用范圍 兩點(diǎn)間的距離公式 萬(wàn)能弦長(zhǎng)公式 圓的專屬弦長(zhǎng)公式 拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式 圓錐曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式 （二） 焦半徑 焦半徑 適用范圍 拋物線 焦點(diǎn)在 x 軸 焦點(diǎn)在 y 軸 橢圓 焦點(diǎn)在 x 軸 焦點(diǎn)在 y 軸 （三) 弦長(zhǎng)計(jì)算的有關(guān)技巧 （1）聯(lián)立方程消元時(shí)，需要考慮"消 x '還是"消 y '，視題目情況而定 若"消 y '，直線一般設(shè)成 b kx y + = 形式，可以用最簡(jiǎn)公式弦長(zhǎng)| |1 | |2ak abd

2、5; + = 若"消 x '，直線一般設(shè)成 n my x + = 形式，可以用最簡(jiǎn)公式弦長(zhǎng)| |11 | |2a kabd× + = （2）過(guò)焦點(diǎn)的弦可以使用焦半徑公式q cos 1 eepaf±= 與焦點(diǎn)弦公式q2 2cos 12eepab-= （3）焦點(diǎn)弦對(duì)應(yīng)的兩個(gè)焦半徑之間的等量關(guān)系： . _| |1| |11 1= +bf af （4）過(guò)同一點(diǎn)兩條弦它們的斜率有明確的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可采取"替代法'簡(jiǎn)化運(yùn)算. （5）與范圍有關(guān)的問(wèn)題，常用基本不等式與函數(shù)求值域的方法（如配方法，換元法，分離常數(shù)法等）. 第 2 頁(yè) 共 4 頁(yè) ( 二）

3、基礎(chǔ)檢測(cè) 1.直線 0 1= - + y x 與橢圓 12 42 2= +y x相交于 a,b 兩點(diǎn)，則 = ab 2.直線 ) 3 ( - = x k y 與橢圓 1422= + yx相交于 a,b 兩點(diǎn)，若58= ab ，則 = k 3.已知過(guò)拋物線 x y 22= 的焦點(diǎn) f 的弦長(zhǎng)為 8 ，則弦所在直線方程的斜率 = k 4.過(guò)拋物線 x y 42= 右焦點(diǎn) f 的直線 l 與拋物線相交于 a,b 兩點(diǎn)，若 bf af 3 = ， 則直線 l 的斜率 = k 5. 直線 3 y kx = + 與圓 ( ) ( )2 23 2 4 x y - + - = 相交于 m,n 兩點(diǎn)，若 2 3

4、 mn ³ ，則 k 的取 值范圍是_. 6.過(guò)橢圓 15 92 2= +y x右焦點(diǎn) f 的直線 l 與橢圓相交于 a,b 兩點(diǎn)，若 bf af 2 = ， 則直線 l 的斜率 = k . 7.已知圓 c 和 y 軸相切，圓心 c 在直線 x3y0 上，且被直線 yx 截得的弦長(zhǎng)為 2 7 ，求圓 c 的方程_. 8.（2021.）設(shè) f 1 ，f 2 分別是橢圓 e：x 2 + =1（0b1）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) f 1 的直線交橢圓 e 于 a、b 兩點(diǎn)，若|af 1 |=3|f 1 b|，af 2 x 軸，則橢圓 e 的方程為 9.（2021浙江）設(shè) f 1 ，f 2 分別為橢

5、圓 +y 2 =1 的焦點(diǎn)，點(diǎn) a，b 在橢圓上，若 =5，求點(diǎn) a 的坐標(biāo) 10.已知拋物線 x y c 3 :2= 的焦點(diǎn)為 f，斜率為23的直線 l 與 c 的交點(diǎn)為 b a, ，與 x 軸的交點(diǎn)為 p（1）若 4 = + bf af ，求 l 的方程；（2）若 pb ap 3 = ，求 ab 的長(zhǎng)度 第 3 頁(yè) 共 4 頁(yè) 11.已知橢圓 ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxe 經(jīng)過(guò)點(diǎn) )21, 3 (- p ，橢圓 e 的一個(gè)焦點(diǎn)為 ) 0 , 3 ( （1）求橢圓 e 的方程； （2）若直線 l 過(guò)點(diǎn) ) 2 , 0 ( m 且與橢圓 e 交于 a,

6、b 兩點(diǎn)，求 ab 的最大值 12.已知拋物線 x y e 4 :2= 的焦點(diǎn)為 f，過(guò) f 作兩條互相垂直的直線 n m, ，直線 m 交 e 于不同兩點(diǎn) a,b，直線 n 交 e 于不同兩點(diǎn) c,d. （1）若 8 = ab ，求直線 m 的方程；（2）求 cd ab + 的最小值. 13.已知橢圓 ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxc 的右焦點(diǎn)為 ) 0 , 3 ( ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) )23, 1 (- p ，點(diǎn) m 為 x 軸上一點(diǎn)，過(guò) m 點(diǎn)的直線 l 與橢圓 c 交于 a,b 兩點(diǎn)（點(diǎn) a 在 x 軸上方） （1）求橢圓 c 的方程； （2）若 mb a

7、m 2 = ，且直線 l 與圓742 2= + y x 相切于點(diǎn) n ，求 mn 的長(zhǎng). 第 4 頁(yè) 共 4 頁(yè) 14.設(shè) n m, r Î ，若直線 0 1 : = - +ny mx l 與 x 軸相交于點(diǎn) a，與 y 軸相交于點(diǎn) b，且 直線 l 與圓 42 2= + y x 相交所得弦的長(zhǎng)為 2 ，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 aob d 面積的最小值. 15.已知對(duì)稱中心為原點(diǎn)的橢圓 c 的一個(gè)焦點(diǎn)為 ), 0 , 3 ( f c 上的一點(diǎn) )23, 1 ( p ，且), 1 , 0 ( ), 0 , 2 ( b a 直線 ) 0 ( > = k kx y 與橢圓相交于 f e, 兩點(diǎn)，求四邊形 aebf 面積的最大值. 16.已知橢圓 12 42 2= +y x，設(shè) o 為原點(diǎn)，若點(diǎn) a 在直線 2 = y 上，點(diǎn) b 在橢圓 c 上，且ob oa ，求線段 ab 長(zhǎng)度的最小值. 17.【2