傅里葉級數(shù)課程及習題講解

1、第 1 5 章傅里葉級數(shù)§傅里葉級數(shù)一 根本內(nèi)容、傅里葉級數(shù)一 ,一 f(x) ax在幕級數(shù)討論中一,可視為刈經(jīng)函數(shù)系線性表出而得.不妨稱1,x,x2,L ,xn,L為基,那么不同的基就有不同的級數(shù).今用三角函 數(shù)系作為基,就得到傅里葉級數(shù).1三角函數(shù)系函數(shù)列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L,cosnx,sin nx,L 稱為三角函數(shù)系.其有下面 兩個重要性質(zhì).(1)周期性 每一個函數(shù)都是以2為周期的周期函數(shù)；(2)正交性 任意兩個不同函數(shù)的積在,上的積分等于 零,任意一個函數(shù)的平方在上的積分不等于零.對于一個在,可積的函數(shù)系Un(x)： xb,n 1,2,L,定義

2、兩個函數(shù)的內(nèi)積b為(Un(x),Um(x)aUn(x) Um(x)d xl 0 m nUn(x),Um(x)如果,.0 m n,那么稱函數(shù)系un(x):x a,b,n 1,2,L為正交系.由于 1,sinnx1 sin nxd x1 cosnx dx 0；sin mx, sin nxcosmx, cosnxsin mx, cosnx1, 112dx0,1,2,L ；m nsin mx sin nxdx0 m n .m n cosmx cosnxd x0 m nsin mx cosnxd x 0；2所以三角函數(shù)系在,上具有正交性,故稱為 正交系.利用三角函數(shù)系構(gòu)成的級數(shù)稱為三角級數(shù),其中a0,a

3、1,b1,L,an,bn,L為常數(shù)2以2為周期的傅里葉級數(shù)定義1設函數(shù)f在,上可積,1 .1.ak f(x),coskxf (x)coskxdxk1.1bk f (x),sin kx - f (x)sin kxdx ' k ,稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù),而三角級數(shù)a0an cosnx bnsin nx1 .f(X)按定義1所得系數(shù)而獲得的傅里葉級數(shù)并稱為f(x)的傅里葉級數(shù),記作f(x)2這里之所以不用等號,是由于函數(shù) 不知其是否收斂于f(x).二、傅里葉級數(shù)收斂定理定理1假設以2為周期的函數(shù)用在,】上按段光滑,那么a.- . f(x 0) f(x 0)ancosnx bnsin n

4、x 2 n 12其中an, bn為f(x)的傅里葉系數(shù).定義2如果f(x) Ca, b,那么稱f(x)在a,b上光滑.假設x a,b), f(x 0), f (x 0)存在;x (a,b, f(x 0), f (x 0)存在,且至多存在有限個點的左、右極限不相等,那么稱f (x)在a, b上按段光滑.幾何解釋如圖.按段光滑函數(shù)圖象是由有限條 光滑曲線段組成,它至多有有限個 第一類間斷點與角點.上按推論 如果f(x)是以2為周期的性續(xù)函數(shù),且在； 段光滑,那么x R,f (x) 包an cosnx bn sin nx有2 n 1定義3設口刈在(,上有定義,函數(shù)稱f(x)為的周期延拓.二習題解答1

5、在指定區(qū)間內(nèi)把以下函數(shù)展開為傅里葉級數(shù) f(x) x, (i) x , (ii) 0x2.解：(i)、f(x)=x, x (,)作周期延拓的圖象如下.其按段光滑,故可展開為傅里葉級數(shù).由系數(shù)公式得11, Ca0 一 f (x)d x - xdx 01 an-當n 1時,xcosnxdx nxsinnxl nxd(sin nx)sin nxdx 0cosnxdx ( 1)n 11x cosnx nf(x)所以(ii)、 f (x) = x.n 1 sin nx1)n , ,為所求.,x°,2作周期延拓的圖象如下.1時,1.2xsin nx |n1°2sin nxdx 

6、6;所以解：1xcosnx nf(x)f (x) =2|0(i)、 f (x) =(i)2x ,cosnxd xsin nxn<<x<兀(°,2 )為所求.(ii) ° < x< 2式.,作周期延拓的圖象如下.其按段光滑,故可展開為傅里葉級數(shù). 由系數(shù)公式得1xsin nx |1°12a°一0f (x)d x 一0xdx 2a°1,f (x)d x其按段光滑,故可展開為傅里葉級數(shù). 由系數(shù)公式得當n 1時,-2-xcosnx| n22 ncosnxdxn£ n ,-xsinnx| nsin nxdx所以解

7、：2f(x) V(ii)、f (x)= x其按段光滑,故可展開為 由系數(shù)公式得1 2a°j04當n 1時,(x)d x21n sinnxI)2-n,為所求.°,2作周期延拓的圖象如下. ft里葉級數(shù).2 xrOcosnxd42 n ,2xcosnx| 0sin nxd x所以f(x)cosnxsin nxn2, x (°,2 )為所求.f(x) ax x °bx ° x(a b,a °,b °)解：函數(shù)f(x) , x ()作周期延拓的圖象如下.其按段光滑,故可展開為傅里葉級數(shù).由系數(shù)公式得11°a° 一

8、 f (x)d x - axdx當n 1時,(b a) 2(b a) f (x) 所以4(a b)n 12設,是以21 c 2 一、,1an f (x)cos nxdx 一c1 c 21bn - f (x)sin nxdx 一 c1. . (b a) bxdx 02,1 cos(2n 1)x 1(2n 1)2(1)n 1sin nx n , x (,)為所求.l函數(shù),證實對任何實數(shù) c,有f (x)cos nxdx,n °,1,2,Lf (x)sin nxd x, n 1,2,L證：由于f(x), sin nx , cosnx都是以2為周期的可積函數(shù),所以令tc+21 c 2,anf

9、 (x)cosnxdx從而 c同理可得f (x)cos nxdx3把函數(shù)111f(x)1c+2f (t)cosntdtf (x)cosnxdx1 c 21bn f (x)sin nxdx - f (x)sin nxdx c .一 x °41° x4展開成傅里葉級數(shù),并由它推出(1)1解：函數(shù)f(x) , x111, L11 13 17;1 11 1 L7 11 13 17.(,)作周期延拓的圖象如下.其按段光滑,故可展開為傅里葉級數(shù).由系數(shù)公式得1a0一 f (x)d x1 01dx dx 040 4當n 1時,10,1, ccosnxdx cosnxdx 040 41,1

10、f (x)sin(2n故 n 1 2n 1n 2k 1n 2k1)x, x (,0) U (0,)為所求.1113 5 71 111L(2)由 43 5 7 得1111 L12 3 9 15 2111111_ d _ I于是 34 125 7 11 13 17;311111x 1 L取 3 ,那么 425711131731 11111L所以至 57111317.4設函數(shù)川滿足條件f(x ) 什么特性.解：由于“刈滿足條件f(x )f(x),問此函數(shù)在f(x)內(nèi)的傅里葉級數(shù)具有所以f(x 2 ) f(x ) f(x),即f(x)是以2為周期的函數(shù).于是由系數(shù)公式得11一o f (t )d t o

11、 f (x)d x 0當n 1時,f (x)cosnxdx2k 12kf (x)sin nxdx2k 1n 2k又 1,cosnxcosnxd x0內(nèi)的傅里葉級數(shù)的特性是a2k0故當f(x ) f(x)時,函數(shù)f(x)在 b2k 0.5設函數(shù)f(x)滿足條件：f(x )f(x),問此函數(shù)在,內(nèi)的傅里葉級數(shù)具有什么特性.解：由于f(x)滿足條件f(x ) f(x),所以f(x 2 ) f(x ) f(x),即f(x)是以2為周期的函數(shù).于是由系數(shù)公式得1 ,1,2,一 ° f (t)d t 一 ° f (x)d x 一 ° f (x)d x當n 1時,2 一、,一

12、0 f (x)cos nxdx n 2k0n 2k 12一 0 f(x)sin nxdx n 2k0n 2k 1故當f(x ) f(x)時,函數(shù)f(x)在 ,內(nèi)的傅里葉級數(shù)的特性是32k 1 .,b2k10.6試證函數(shù)系cosnx,n 0,12,L和sinnx, n 1,2,L都是0,上的正交函數(shù)系,但 他們合起來的卻不是°,上的正交函數(shù)系.證：就函數(shù)系(1, cosx, cos2x, sin nx,sin nx , cosnx, L ),1,1 dx由于n, . ：0,(cos2 nx 1)d x 一 2 ,cosnx,cos nx cos2 nxd x,-0m,n時,cos(mn

13、)xdx 0cos(mn)xdx所以1, cosx, cos2x,cosnx, L在0,上是正交系.就函數(shù)系sin由于n ,x, sin 2x, L , sin nx, L,0(1cos2 nx)d x c2sin nxd x0又 m, n, m1-0 cos(mn時,n)xdxcos(mn)xdx 0所以sin x, sin2x, L , sinnx, L 在0,上是正交系但1,sinx, cosx, sin2x, cos2x,L , sin nx, cosnx, L 不是 0,上的正交系一 1,sinx sin xd x 1 0實因：''0.7求以下函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式x

14、f(x) ,0x221時,2xsin nx|2n 112nsin nxdx所以解:2nf(x)x .一 cosnx|12n2cosnxdx0n,f(x)sinnx.1 cosx,f(x),1 cosx,(0,2 )為所求.x 作周期延拓的圖象如下.其按段光滑,故可展開為傅里葉級數(shù).f (x)1 cosx2sin2-|公嗚由于所以由系數(shù)公式得.2sin-2sindx 二2sin xdx02當n 1時,2 2.x sincosnxdx024 22(4n2 1)x_.sin sin nxd x2.2. x ,sin-sin nxd x02f(x) 所以12cosnx n 1 4n 1時,f (0)

15、f (0)2f(f(x)故2.2 4 .21n 1 4n2-cosnx 1 解：f (x) ax2 bx c, (i) 0,x2 , (ii)(ii)(i)由系數(shù)公式得12 /2 卜0 (ax bx1時,4a-2n ,4 ac)d2aS-2b2c2f(x) axbx2aS-4acosnx n4 a 2bsinnx, x (0,2 ) 為所求.由系數(shù)公式得1,f (x)d x(ax2bxc)d2 2a32c1時,(1)n(1)n4a-2n ,12b2 axbx1)n4a2-cosnx n1)n2bsinnx, x (,)n為所求.(4) f(x)chx,解：由系數(shù)公式得a01,1f(x)dchx

16、dxZsh當n 1時,(1)n 2sh2- nan ( 所以12 n1)n2sh(n2 1)shxsin nx|1-ch xsinnxdxnibn nf (x) chx 故2sh(1)n 1-cosnx 1,)為所求.(5) f(x)shx,解：由系數(shù)公式得1a0f (x)d xshxdxan當n 1時,shxcosnxdx(1)n13 sh nbnbn 所以1)1 2nshx(n21)f (x) 故shx1)2nsh(n2 1)sin nxf (x)8求函數(shù)1 (3x 122 2),)為所求.12的傅里葉級數(shù)展開式并應用它推出f (x) ax2解：由bx4acosnx1 n4 a 2b .s

17、innx, x (0,2 n1cosnx n 1 n(0,2 )2f (0 0) f(2而故由收斂定理得0)f (0 0) f (220)Jcos0 n9設f(x)為上光滑函數(shù),f( )f()"為"幻的傅里葉系數(shù),A ,bn為f(x)的導函數(shù)f (x)的傅里葉系數(shù).證實a00, annbn, bnnan (n 1,2,L )證：由于“刈為 由系數(shù)公式得1上光滑函數(shù),所以f (附為上的連續(xù)函數(shù),故可積.a0(x)d x1f( ) f( )0當n 1時,anf (x)cos nxdx故結(jié)論成立.103sup n an證:那么1n .f (x)cos nx|f (x)sin nx

18、d x nbnao證實：假設三角級數(shù)2,n3bn、幾 U0(x)設Uo (X)所以(an cosnx bnsin nx)n1中的系數(shù)烝,6滿足關(guān)系M ,M為常數(shù),a0那么上述三角級數(shù)收斂,且其和函數(shù)具有連續(xù)的導函數(shù).2 Un(x) an cosnx bn sin nx n 1,2,L ? ? (X)在R上連續(xù),0, Un(x)R, |Un(x)2Mn2收斂,(X)s(x) 故設ao2s(x)且nan sin nxn an sin nx2Mn2 .nbn cos nx(an cosnx1nan cosnx nbn§15. 2nbncosnx亦在R上連續(xù). n bn cosnxnansi

19、nnx在r上一致收斂.bn sin nx),那么sin nx)在R上連續(xù).以2l為周期的函數(shù)的展開一根本內(nèi)容、以21為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)x設f(x)是以2l為周期的函數(shù),作替換F(t)是以2為周期的函數(shù),且f依)在(L D上可積F(t)在(,)上可積.于是其中anan cos nt bn sin ntn 11F (t)cosntdt, bnF (t)sin ntdtF(t)從而f(x):今an cosf(x)n x ,bl.,.n xsin nt sin-p ,cosntn x cosl ,.n x sinl其中anbn1l1lf (x)sin n-xdx ll上式就是以2l為周期的函數(shù)f

20、(x)的傅里葉系數(shù).在按段光滑的條件下,亦有f(x 0) f (x 0) a022其只含余弦項,故稱為余弦級數(shù).同理,設f(x)是以2l為周期的奇函數(shù),n x n x cos bn sinllf (x)cosnx 奇,f (x)sin nx偶于是bn1 l1lln x1f (x)cosdxn xf (x)sin dxln x0 f (x)sin dxn xan sinn 1l其只含正弦項,OO+ y1求以下周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式4cosx dxao24 222a0t f(x):從而 2故稱為 正弦級乳X G、由此可知,函數(shù)*要展開為余弦級數(shù)必須作偶延拓.的 f(x) x (0,l) 偶延拓

21、f( x) x ( l,0)函數(shù)f(x),x (0,l)要展 開為正弦級數(shù)必須作奇延拓. 奇延拓%f(x) x (0,l)' f( x) x ( l,0)習題解答2 cosxdx0當n 1時,(1)n 2( 1)n1 24( I) 2(2n 1)(2n 1)(4n1)2 5_bn 一 cosx sin nxd x 02f(x) cosx 故24n 11(1) 2cos2 nxx (,)為所求.n 14n 1(2) f(x) x IM (周期 1);1 1x ,一解：函數(shù)f(x) x x,2 2延拓后的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù).1,l因 2,所以由系數(shù)公

22、式得112 xdx01a.2 21 x x dx 2 0 x x dx2當n 1時,xsin2n n1 x|.0s1n2n xdx 01c一 xcos2n1x|. cos2n xdx 一 n 0nf (x) 故x一 一sin2n xn 1n,*()為所求.4 f(x) sin x(周期);4 x -,一解：函數(shù)f(x) sin X,2 2延拓后的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又 f(x)是偶函數(shù),故其展開式為 余弦級數(shù).,l因 2 ,所以由系數(shù)公式得cos2x2cos4x dx 8當n 1時,1 n 120 n 1,n 21 n 28bncosx sin nxd

23、x4311一 f (x)sin x- cos2x-cos4x故828,x(,)為所求.(4) f(x) sgn(cosx)(周期 2 ).解：函數(shù)f(x) sgn(cosx), x (,)延拓后的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又 f(x)是偶函數(shù),故其展開式為余弦級數(shù).因l,所以由系數(shù)公式得1 ,、,2,、,a0 sgn(cosx)d x - o sgn(cosx)d x當n 1時,ano sgn(cosx)cosnxdx2knbn- n1)2ksgn(cosx)sin nxdxf (x) 故4 sgn(cosx)一(1)1n cos(2n2n 11)xf(x)2

24、求函數(shù)解：函數(shù)f(x),123的傅里葉級數(shù)并討論其收斂性.x (0,3)延拓后的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又 余弦級數(shù).f(x)是偶函數(shù),故其展開式為32 ,所以由系數(shù)公式得2 37 0 f(x)d x31xdx02dx132©x)d x當n 1時, 32n5 cos-3bnf (x)sin nxdxf(x)121 n1 cos n2n32n x cos3,)為所求.將函數(shù)f(x)2、在0,上展開成余弦級數(shù).一 f (x)解：函數(shù)x © 作偶延拓后的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又f(x)是偶函數(shù),故其展開式為

25、余弦級數(shù).1 2-x2由系數(shù)公式得2x dx0 2當n 1時,n 2k 1n 2k4n0bn0f (x)故1 (2n 1)2cos(2n 1)x, x 0,f (x) 將函數(shù)xcos-2在0,上展開成正弦級數(shù).f (x)解：函數(shù)xC0S2, x 0,作偶延拓后的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又 正弦級數(shù).f(x)是奇函數(shù),故其展開式為由系數(shù)公式得an0, n 0,1,2L8n(4n2 1)f (x)故在0,上x 8 ncos- 2sinnx2 n 14n 1為所求.f(x)5把函數(shù)1x0x2x 3 2 x 4a01 4-2(x 3)dx 0當n 1時,anf (x

26、)cos在(0, 4)上展開成余弦級數(shù).解：函數(shù)x), x (0,4)延拓后的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又 f(x)是偶函數(shù),故其展開式為 余弦級數(shù).因l 4,所以由系數(shù)公式得2 41 2-0 f (x)d x - 0 (1 x)d x1 x 0 x 281(2n 1) xf (x)22 cos-L-所以x 3 2 x 4 n1(2n 1)2為所求.26把函數(shù)f(x) x 1在(QD上展開成余弦級數(shù),并推出6 1 二 二 L2232解：函數(shù)f(x), x1)延拓為以2為周期的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又f(x)是偶函數(shù),故其展

27、開式為余弦級數(shù).因1=,所以由系數(shù)公式得223.當n 1時,12 o(x2.1) cosn xd x302 0 f (x)d x 2 0(x 1) dx422n .bn0.2141(x 1) 2cosnx, x 0,1所以3n1n14112.12二二令 x 0 得 3 n 1n ,即 n 1 n 67求以下函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式(1) f (x) arcsin(sin x).解：函數(shù)f(x) 3rcsin(sinx)是以2為周期的函數(shù)如以下圖.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又f(x)是奇函數(shù),故其展開式為正弦級數(shù).由系數(shù)公式得an 0, n 0,1,2,L, 、 4f (x)

28、arcsin(sinx)一(2) f (x) arcsin(cosx)(1)nsin(2n 1)x1(2n 1)2, x R解：函數(shù)f(x) 3rcsin(cosx)是以2為周期的函數(shù)如以下圖.y由于f(x)按段光滑,吵口開為傅里葉沙,又余弦級數(shù)./、/、,由系數(shù)么O2 xa0 - 0 arcsin(cosx)d x 0f(x)是偶函數(shù),故其展開式為當n 1時,0n 2k4-n 2k 1nbn0, n 1,2,Lf (x) arcsin(cosx)41-2 cos(2n 1)xm(2n 1)x R0,-8試問如何把定義在2上的可積函數(shù)f(x)延拓到區(qū)間內(nèi),使他們的傅里葉級數(shù)為如下的形式a2 n

29、 1cos(2n 1)x(1) n1；解：(1)先把f(x)延拓至H0,b2nlsin(2n 1)x(2) n1上,方法如下：f (x)0 x 2f(x)余弦級數(shù):, 由系數(shù)公式得廠f( x), x再把f(x)延拓到0,2 上,方法如下：f'(x)f (x)f(2 x)其圖象如下.由于f(x)按段光滑,所以可展開為傅里葉級數(shù),又 f(x)是偶函數(shù),故其展開式為 余弦級數(shù).由系數(shù)公式得2a.2 f(x)dx 00 ,1 2rbn f (x)sin nxd x1時,0f (x)cos nx d x n 2k0n 2kf (x)a2n 1 cos(2n 1)x x0,所以n12(2)先把f(

30、x)延拓到I0,上,方法如下.f (x)0 x -2f(x)2f( x) - x_ 2 ;再把f (x)延拓到0,2 上,方法如下.?(x)f (x)0 xf (2 x) x 2其圖象如下.n y y f (x)f(x)是偶函數(shù),故其展開式為由于f(x)按段w,渝3認為覆里葉級數(shù),又2a0 0 f (x)d x 01 2 一r tan f (x)cos nxdx 0當n 1時,n 0-o2 f (x)sin nxdx n 2k 10n 2kf (x)b2nlsin(2n 1)x x 0,所以n12 .§15. 3收斂定理的證實一 根本內(nèi)容一、貝塞爾(Besse.不等式定理1設

31、3;(刈在【,】上可積,那么a02212 , an bn- f (x)d x2 n 1其中an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù).推論1設£(刈在,上可積,那么推論2lim f (x)cos nxd xn設打刈在,上可積,那么0 limnf (x)sin nxd xlimf(x)sin nxdx 0n 0201limf (x)sin nxd x 0n2定理2設以2為周期的函數(shù)用在】上可積,那么1t-dtsin n 一f(x t) t22sin2此稱為f(x)的傅里葉級數(shù)的局部和的積分表達式.二、收斂性定理的證實定理3 (收斂性定理)設以2為周期的函數(shù)£(刈在 ,上按段光滑,那么f

32、 (x 0) f (x 0)limccSn(x)0n22定理4如果"刈在,上有有限導數(shù),或有有限的兩個單側(cè)導數(shù),那么f(x 0) f(x 0) a.一 - an cosnx bn sin nx22 n 1定理5如果"刈在,按段單調(diào),那么f (x 0) f (x 0)a0an cosnx bn sin nxn 1習題解答1設f(x)以2為周期且具有二階連續(xù)的導函數(shù),證實 f (x)的傅里葉級數(shù)在 )上一致收斂于f(x).證:由題目設知f(x)與f(x)是以2為周期的函數(shù),且光滑,f(x)a.(an cosnx1bnsin nx)f (x)1a0一a0(an cosnx1bns

33、in nx)1 ,(x)d x - f( ) f (an1時,f (x)cos nxdx1,一 f (x)cos nx|f (x)sin nxd x nbn于是加bnbn 12 anbn,1一 (an2bn2)(由貝塞爾不等式得n12anbn) 收斂,11n收斂,從而2a0an| |bn收斂,(an cosnx1bnsin nx)在(為 ,上可積函數(shù),)上一致收斂.證實：假設f的傅里葉級數(shù)在,上一致收斂于f那么成立貝塞爾(Parseval污式12a0f (x)d x 一 22an1bn2這里即,為f的傅里葉系數(shù). a°mSm an cosnx證：設 2 n1 由于f(x)的傅里葉級數(shù)

34、在 所以0,N °,sin nx上一致收斂于f(x)于是,f(x) 0,f(x)N, x ,2f(x) Smf* 2(x)d22anbn1時,f2(x)dx 年m22anbnn 12a.2an n1b：n_ 2f (x)d x3由于貝塞爾等式對于在 結(jié)果證實以下各式.上滿足收斂定理條件的函數(shù)也成立.請應用這個1)2;(3) 90f(x)解：(1)取f(x)? 1sin(2n2n 1由§ 1習題3得,x (,0) U (0,)1由貝塞爾等式得2d x1611(2n 1)2由§ 1習題1 (1)得2即 8 n 1(2n 1)取 f(x) x,xx2 dx(1)n 12

35、n 1 n由貝塞爾等式得212故 6 n 1n.f(x) 2 ( 1)n1n 1sin nx ,、 wf(x),由§ 1習題1 (2)得 21)x4 dx由貝塞爾等式得41cosx ,、,x (,) n(1)n4 22 n故 90n4 .且他們的傅里葉級數(shù)在上分別一致4證實：假設f,g均為,上可積函數(shù), 收斂于f和g,那么bn n)- f (x)g(x)d x a0-0(an n2 n 1其中an, bn為f的傅里葉系數(shù),n, n為g的傅里葉系數(shù).、 一、f(x)證：由題設知a02(ancosnx1bn sin nx)g(x)(n cosnxn 1n sin nx)1于是一f (x)

36、g(x)dx ； f(x),g(x)；f (x)cos nxdx1 ,f (x)cos nx|f (x)sinnxd x nbn(f (x), - i (-0an cosnx bn sin nx,而22 n 12an cosnx, n cosnx) an n(bn cosnx, n cosnx) bn n1a0 0 f (x)g(x)d x - n bn n)所以2 n15證實假設f及其導函數(shù)f均在,上可積,f(x)dx 0f( ) f(),且成立貝塞爾等式,那么22f (x) dx f(x) dx證：由于 f(x)、f(x)在,上可積,f(x)dx °, f()f(),a0f (x

37、) (an cosnx bn sin nx)設 2 n an一當n 1時,a.f (x)(ancosnx bn sinnx)2 n 1由系數(shù)公式得11a0 f (x)d x - f( ) f( )0于是由貝塞爾等式得|2f (x) dx總練習題151試求三角多項式的傅里葉級數(shù)展開式.n(A coskx Bk sin kx)k 1是以2為周期的光滑函數(shù),所以可展為比Tn(x)告解：由于 2傅里葉級數(shù),由系數(shù)公式得a0(Tn(x),1)(與n(Ak coskx Bk sin kx),1k 1當k 1時,A0n(A coskxk 1Bk sin kx),cos kxA02n(A coskxk 1BkBk sinkx),sin kx ,0故在(2設f 傅里葉系數(shù),、Tn(x) ),A02n(Ak coskx Bk sin kx)k 1的傅里葉級數(shù)就是其本身.為,上可積函數(shù), 試證實,當A0 a0,Ak2a0,ak,