(用)含絕對(duì)值不等式的解法

1、2.4含絕對(duì)值不等式含絕對(duì)值不等式復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧：顧：.00bcaccbabcaccbacbcaba ，那么，那么，如果如果；，那么，那么，如果如果；，那么，那么如果如果2. 絕對(duì)值的意義：絕對(duì)值的意義： .0000時(shí)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)，當(dāng)xxxxxx1. 不等式的性質(zhì)：不等式的性質(zhì)：？的解的幾何意義是什么的解的幾何意義是什么2. 1 x20 2？的解的幾何意義是什么的解的幾何意義是什么2. 1 x的的解解集集意意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對(duì)對(duì)值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx20 2？的解的幾何意義是什么的解的幾何意義是什么2. 1 x的的解解集集意

2、意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對(duì)對(duì)值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx 22020 2？的解的幾何意義是什么的解的幾何意義是什么2. 1 x的的解解集集意意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對(duì)對(duì)值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx.22的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合小于小于數(shù)軸上到原點(diǎn)距離數(shù)軸上到原點(diǎn)距離的幾何意義：的幾何意義： x 22020 2？的解的幾何意義是什么的解的幾何意義是什么2. 1 x0 2的的解解集集意意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對(duì)對(duì)值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx2.22的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合小于小于數(shù)軸上到原點(diǎn)距離數(shù)軸上到原點(diǎn)距離的幾何

3、意義：的幾何意義： x 22020 2？的解的幾何意義是什么的解的幾何意義是什么2. 1 x0 2的的解解集集意意義義求求出出能能否否利利用用絕絕對(duì)對(duì)值值的的幾幾何何2 2) 2 )1 . 2 xx2.22的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合大于大于數(shù)軸上到原點(diǎn)距離數(shù)軸上到原點(diǎn)距離的幾何意義：的幾何意義： x.22的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合小于小于數(shù)軸上到原點(diǎn)距離數(shù)軸上到原點(diǎn)距離的幾何意義：的幾何意義： x 22020 2？的解的幾何意義是什么的解的幾何意義是什么2. 1 x.| )0( | )0( axaxxaaxaxaxaax 或或的的解解集集為為：，的的解解集集為為：一一般般地地， 問：?jiǎn)枺簽槭裁匆由蠟槭裁?/p>

4、要加上a0這個(gè)條件呢？這個(gè)條件呢？如果如果a0呢？呢？a=0呢？呢？題型一題型一._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaax結(jié)結(jié) 論：論：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaax結(jié)結(jié) 論：論：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaaxR結(jié)結(jié) 論：論：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的

5、解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaaxR結(jié)結(jié) 論：論：._)0( _)0( _)0( _)0( 的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為；的解集為的解集為 aaxaaxaaxaaxR0 xx結(jié)結(jié) 論：論：湖南長郡衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校湖南長郡衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校2009年下學(xué)期制作06例題分析例題分析 例1(1)220 x (2) 42x 的的解解法法與與 )0( ccbaxcbax題型二題型二的的解解法法與與 )0( ccbaxcbax38 (2) 2121 )1( xx解解下下列列不不等等式式：題型二題型二例例2類形類形去掉絕對(duì)去掉絕對(duì)值符號(hào)后值符號(hào)后解的含

6、義區(qū)別解的含義區(qū)別|ax+b|c cax+b cx|ax+bcax+bcx|ax+bc.43221 (2) 2134 (1) xx；解下列不等式：【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.不等式不等式2x-32x-32 2的解集的解集是是_. .2.2.不等式不等式x x2+3x-8+3x-81010的解集的解集是是_. .【解析】【解析】1.1.由由2x-32x-32 2得得2x-32x-32 2或或2x-32x-3-2,-2,解得解得x x 或或 x x ,故故原不等式的解集是原不等式的解集是xxx x 或或x x . 答案：答案：xxx x 或或x x 2.2.原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于-10-

7、10 x x2+3x-8+3x-810,10,即即 原不等式的解集是原不等式的解集是(-6,-2)(-1,3)(-6,-2)(-1,3) 答案：答案：(-6,-2)(-1,3(-6,-2)(-1,3)52521212125222x3x810 x3x8 10，x1x26x3或 ， ，【變式【變式1 1】若把題若把題1 1中不等式的左邊改為中不等式的左邊改為 22呢？呢？【解析【解析】原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于 答案：答案：32x30 x21572x3x.244， 573xxx442 且12x3【變式【變式2 2】解不等式解不等式22x-2x-24.4.【解析】解析】原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于

8、 -2x0-2x0或或4x6.4x6.原不等式的解集為原不等式的解集為xx-2x0-2x0或或4x6.4x6.x22x24x22x224x24 或x0 x42x6 或【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.解不等式解不等式|x+1|+|x-1|3|x+1|+|x-1|3；【解析】【解析】1.1.方法一方法一: :如圖如圖, ,設(shè)數(shù)軸上與設(shè)數(shù)軸上與-1,1-1,1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,A,B,（1 1）A,BA,B兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為2,2,因此區(qū)間因此區(qū)間-1,1-1,1上的數(shù)都不是不上的數(shù)都不是不等式的解等式的解. .（2 2）設(shè)在）設(shè)在A A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A A1

9、1到到A,BA,B兩點(diǎn)的距離和為兩點(diǎn)的距離和為3,A3,A1 1對(duì)應(yīng)數(shù)軸對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的上的x.x.所以所以-1-x+1-x=3,-1-x+1-x=3,得得x=x=- .（3 3）同理設(shè)）同理設(shè)B B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B B1 1到到A,BA,B兩點(diǎn)的距離和為兩點(diǎn)的距離和為3 3，B B1 1對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)軸上的x,x,所以所以x-1+x-(-1)=3x-1+x-(-1)=3.所以所以x x= .3232從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)A A1 1，B B1 1之間的點(diǎn)到之間的點(diǎn)到A A，B B的距離之和都小于的距離之和都小于3 3；點(diǎn)點(diǎn)A A1 1的左邊或點(diǎn)的左邊或點(diǎn)B B1 1的

10、右邊的任何點(diǎn)到的右邊的任何點(diǎn)到A A，B B的距離之和都大于的距離之和都大于3 3，所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是(-,- (-,- ,+).,+).3232【方法二】【方法二】（1 1）當(dāng)當(dāng)x-1x-1時(shí)時(shí), ,原不等式可以化為原不等式可以化為-(x+1)-(x-1)3,-(x+1)-(x-1)3, 解得解得xx- .（2 2）當(dāng)）當(dāng)-1-1x x1 1時(shí)時(shí), ,原不等式可以化為原不等式可以化為x+1-(x-1)3,x+1-(x-1)3,即即23.23.不成不成立立, ,無解無解. .（3 3）當(dāng)）當(dāng)x1x1時(shí)時(shí), ,原不等式可以化原不等式可以化為為x+1+x-13.x+1+x-1

11、3.所以所以x x .綜上綜上, ,可知原不等式的解集為可知原不等式的解集為x|xx|x- 或或x x 32323232方法三方法三: :將原不等式轉(zhuǎn)化為將原不等式轉(zhuǎn)化為|x+1|+|x-1|-30.|x+1|+|x-1|-30.構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)y=|x+1|+|x-1|-3,y=|x+1|+|x-1|-3,即即 -2x-3-2x-3， x-1,x-1,y= -1y= -1， -1x1,-1x1, 2x-3 2x-3， x1.x1.作出函數(shù)的圖象作出函數(shù)的圖象( (如圖如圖).). 函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)是- , ,- , ,從圖象可知當(dāng)從圖象可知當(dāng)x- x- 或或x x 時(shí)時(shí),y0.,y0.

12、即即|x+1|+|x-1|-30.|x+1|+|x-1|-30.所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為(-,- (-,- ,+).,+).323232323232【典例訓(xùn)練】【典例訓(xùn)練】1.1.不等式不等式2x-32x-33x+13x+1的解集是的解集是_._.2.2.解關(guān)于解關(guān)于x x的不等式的不等式logloga aaxax2 2logloga ax x+2.+2. ( (一一) )形如形如|f(x)|a(aR)|f(x)|a(aR)型不等式型不等式 解法：等價(jià)轉(zhuǎn)化法，解法：等價(jià)轉(zhuǎn)化法， 當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)，時(shí)，|f(x)|a|f(x)|a-af(x)a. -af(x)a |f(x)|af(

13、x)af(x)a或或f(x)-a.f(x)-a. 當(dāng)當(dāng)a=0時(shí)，時(shí)，|f(x)|af(x)0. 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，|f(x)|af(x)有意義有意義.常見題型解法歸類常見題型解法歸類湖南長郡衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校湖南長郡衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校2009年下學(xué)期制作06 ( (二二)|x-a|+|x-b|c)|x-a|+|x-b|c和和|x-a|+|x-b|c|x-a|+|x-b|c 型不等式的解法型不等式的解法(1)(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解. .(2)(2)以絕對(duì)值的零點(diǎn)為分界點(diǎn)以絕對(duì)值的零點(diǎn)為分界點(diǎn), ,將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間, ,利用利用“零零 點(diǎn)分段討論點(diǎn)

14、分段討論”求解求解. .(3)(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解. .( (三三) )形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)型不等式型不等式 解法解法: :等價(jià)轉(zhuǎn)化法，即等價(jià)轉(zhuǎn)化法，即 |f(x)|g(x)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x),-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x)f(x)-g(x) ( (其中其中g(shù)(x)g(x)可正也可負(fù)可正也可負(fù)).). 若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復(fù)雜若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復(fù)雜. .( (四四) )形如形如a|f

15、(x)|a0)a|f(x)|a0)型不等式型不等式 解法：等價(jià)轉(zhuǎn)化法，即解法：等價(jià)轉(zhuǎn)化法，即 a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b(0ab)af(x)baf(x)b或或-bf(x)-a.-bf(x)-a.( (五五) )形如形如|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)型不等式型不等式 解法：絕對(duì)值的定義，即解法：絕對(duì)值的定義，即 |f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)f(x)0.f(x)0.【熟能生巧】【熟能生巧】1.1.解不等式解不等式|x|+|x-3|5.|x|+|x-3|5. .方法一方法一幾何意義：是數(shù)軸上到幾何意義：是數(shù)軸上到0 0和和3 3兩點(diǎn)的距離之和

16、不超過兩點(diǎn)的距離之和不超過5 5的的x x的范圍的范圍, ,結(jié)合數(shù)軸易得出結(jié)合數(shù)軸易得出-1x4,-1x4,所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為-1,4-1,4.方法二方法二: :原不等式原不等式|x|x|+|x-3|5+|x-3|5可等價(jià)轉(zhuǎn)化為可等價(jià)轉(zhuǎn)化為 或或 或或解解不不等式組得等式組得-1x4.1x4.所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為x|-1x4.x|-1x4.x3xx35，x0 x3x5 ，0 x3x3x5 ，【思考】【思考】求解此類不等式的關(guān)鍵是什么？求解此類不等式的關(guān)鍵是什么？提示：提示：關(guān)鍵是理解絕對(duì)值的幾關(guān)鍵是理解絕對(duì)值的幾何何意義意義. .【變式訓(xùn)練】變式訓(xùn)練】

17、解不等式：解不等式：3x-53x-5- -x+2x+24.4.【解析】（【解析】（1 1）當(dāng)當(dāng)x-2x-2時(shí)，不等式可化為時(shí)，不等式可化為5-3x+x+25-3x+x+24,4,解得解得x x , ,與與x-2x-2矛盾；矛盾；（2 2）當(dāng)）當(dāng)-2-2x x 時(shí)，不等式可化為時(shí)，不等式可化為5-3x-x-25-3x-x-24,4,解得解得x x- - , ,故故- - x x 為不等式的解集；為不等式的解集；3253141453（3）當(dāng)）當(dāng) xx時(shí)，不等式可化為時(shí)，不等式可化為3x-5-x-23x-5-x-24,4,解得解得x x ,故故 xx 也為也為不不等式的解集等式的解集. .綜上，原不

18、等式的解集為綜上，原不等式的解集為xx- x x .531125311214112【解析】【解析】1.1.解題流程解題流程. .答案：答案：( ( ，+)+)審題審題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化|2x-3|3x+1|2x-3|0,3x+10,原不等式轉(zhuǎn)化為原不等式轉(zhuǎn)化為-(3x+1)2x-33x+1-(3x+1)2x-3g(x)g(x)的求解方法的求解方法: :()()根據(jù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的意義分類討論，根據(jù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的意義分類討論，即即|a|= |a|= ；a (a0)a (a0)-a (a0)-a (a0)()()根據(jù)公式根據(jù)公式:|x|a:|x|a-axa(aR-ax0)a0)；f(x)f(x)g(x)g(x

19、)-g(x)f(x)g(x)-g(x)f(x)a|x|axaxa或或x-a(aRxg(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x).f(x)0.a0. (1) (1)當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)，求不等式時(shí)，求不等式f(x)3x+2f(x)3x+2的解集；的解集； (2)(2)若不等式若不等式f(x)0f(x)0的解集為的解集為x|x-1x|x-1，求，求a a的值的值. .【解析】【解析】1.1.若若a=1,a=1,則則f(x)=2|x-1|,f(x)=2|x-1|,不滿足題設(shè)條件不滿足題設(shè)條件. .若若a1,a1,則則f(x)f(x)= -2x+a+1-2x+a+1, xaxa

20、 1-a1-a, ax1ax1,a1,則則f(x)f(x)= -2x+a+1,x12x+a+1,x1 a-1a-1, 1xa1x0,a0,所以不等式組的解集為所以不等式組的解集為x|xx|x .由題設(shè)可由題設(shè)可得得 =-1,-1,故故a=2.a=2. xaxa3x0，xaax3x0 ，xaax4，xaax.2 ，a2a2【易錯(cuò)誤區(qū)】【易錯(cuò)誤區(qū)】絕對(duì)值不等式變形不等價(jià)致誤絕對(duì)值不等式變形不等價(jià)致誤 【典例】【典例】不等式不等式x+2x+2- -2x-12x-111的解集是的解集是_._.【解題指導(dǎo)】【解題指導(dǎo)】()()()()()()無解，無解，()()的解集為的解集為0 x0 x ,(),()

21、的解集為的解集為 x2.x2.綜上綜上(),(),()(),(),()取并集取并集，得原不等式的解集為，得原不等式的解集為0 0，2 2. .答案：答案：0 0，2 2 12x2x22x11, 1x2x22x11,1212【解析】原不等式等價(jià)于【解析】原不等式等價(jià)于 ()() x2x22x11,【閱卷人點(diǎn)撥】【閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的常見錯(cuò)誤及解通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的常見錯(cuò)誤及解題啟示總結(jié)如下：題啟示總結(jié)如下：( (此處的此處的見解析過程見解析過程) )【即時(shí)訓(xùn)練【即時(shí)訓(xùn)練】函數(shù)函數(shù)f(x)=f(x)=2x+12x+1- -x-4x-4的最小值是的最小值是_._.【解析】【解析】令令y=y=2x+12x+1- -x-4x-4, ,則則 -x-5,x- ,-x-5,x- ,y y= 3x-3,- 3x-3,- x x4 4, x+5,x4x+5,x4.在一個(gè)坐標(biāo)系中分別畫出以上分段函數(shù)，在一個(gè)坐標(biāo)系中分別畫出以上分段函數(shù)，由圖象可知，當(dāng)由圖象可知，當(dāng)x=- x=- 時(shí)，時(shí)，y=y=2x+12x+1- -x-4x-4取得最小取得最小值值 . .答案答案：92922121211.1.若集合若集合M=xM=xx|2,N=xx|2,N=xx x2 2-3x=0-3x=0，則