第二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽第二試試題與解答

1、“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽 決賽第二試試題與解答有 50 名學(xué)生參加聯(lián)歡會。第一個到會的女生同全部男生握過手，第二個到會的女生只差 1 個男生沒握過手，三個到會的女生只差2 個男生沒握手，如此等等，最后一個到會的女生同 7 個男生握過手，問這50 名同學(xué)中有多少男生？解法 從題目中已經(jīng)知道參加聯(lián)歡會的男生和女生共有50 名。因此，如果知道男生人數(shù)與女生人數(shù)的差，那么這50 名同學(xué)中有多少男生就可以知道了。為了使題目中的條件更容易分析，我們不妨將女生的順序反過來，從后往前看。也就是說：最后一個到會的女生同7 個男生握過手；倒數(shù)第二個到會的女生同8 個男生握過手；倒數(shù)第三個到會的女生同9 個男生

2、握過手；如此等等，第一個到會（即倒數(shù)最后一個）的女生同全男生握過手，由此立刻可知，男生的人數(shù)比女生的人數(shù)多6 個人， 再通過簡單的計算就可得到：男生的人數(shù)為28 人。答：這對50 名同學(xué)中有28 名男生。分析與討論這道題實際上也就是大家常說的年齡問題。分子小于6 而分母小于60 的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個？解法在解這道題時，首先要弄清“不可約真分?jǐn)?shù)”的意思。當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子與分母互質(zhì)時，這個分?jǐn)?shù)稱為不可約分?jǐn)?shù)；當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子小于分母時，這個分?jǐn)?shù)就稱為真分?jǐn)?shù)。弄清了這些概念以后，剩下的問題就是用什么方法將符合題目條件的分?jǐn)?shù)準(zhǔn)確地找出來。也就是說，“數(shù) ”的時候既不能重復(fù)又不能遺漏。由于分子的取值范圍是從1

3、 到 5，明顯地小于分母的取值范圍，因此自然會想到對分子分別為 1 ， 2， 3， 4， 5 的情形逐一考慮。當(dāng)分子為1 時，分母可從2到 59，共有58 個真分?jǐn)?shù)，它們當(dāng)然都是不可約分?jǐn)?shù)。由于2， 3， 5 都是質(zhì)數(shù)，因此當(dāng)分子分別為2， 3， 5 時，分母必須而且只須適合下列二個條件就可以了.1）分母大于分子且小于60.2）分母不是分子的倍數(shù)。經(jīng)過簡單的計算（請同學(xué)們仔細(xì)算一算）。可以知道：當(dāng)分子為2 時，適合條件的分母有29 個當(dāng)分子為3 時，適合條件的分母有38 個、當(dāng)分子為5 時，適合條件的分母有44 個最后來看分子為4 的情形。因為 4 不是質(zhì)數(shù)，所以不能照搬上面的算法。也就是說，

4、不能只將 4 的倍數(shù)去掉，應(yīng)該去掉偶數(shù)。這樣一來，分母就只有從5 到 59 的奇數(shù)了，一共有28 個?？傊?，符合要求的分?jǐn)?shù)共有58+29 + 38+44 + 28= 197 （個）答：分子小于6 而分母小于60 的不可約真分?jǐn)?shù)共有197 個。分析與討論這道題并不難，但容易算錯。有不少同學(xué)的方法是對的，但算不清楚。例如：有的同學(xué)忘了“真分?jǐn)?shù) ”的條件，不管分子是幾，分母都從1 算起。還有不少同學(xué)在討論分子為 4 的情形時，分母只去掉了4 的倍數(shù)，而忘掉了2 的倍數(shù)與4 也不互質(zhì)。另外，還有少數(shù)同學(xué)直接討論分母，當(dāng)然就亂成一團(tuán)了。計算能力是數(shù)學(xué)的一項基本功，同學(xué)們應(yīng)該從小就扎扎實實地打好基礎(chǔ)。千萬

5、不能“眼高手低 ”。己知五個數(shù)依次是13， 12，15，25， 20 它們每相鄰的兩個數(shù)相乘得四個數(shù)，這四個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)相乘得三個數(shù)，這三個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)相乘得兩個數(shù)，這兩個數(shù)相乘得0 （參看圖61） ?一個數(shù)。請問最后這個數(shù)從個位起向左數(shù)、可以連續(xù)地數(shù)到幾個0.可以用這樣的辦法：把解法對一般的幾個整數(shù)的乘積，如果要確定它后面有幾個 每個乘數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，把分解中 2的重數(shù)加起來，5的重數(shù)也加起來，看哪一個小，哪一個就是乘積尾部0的個數(shù)。這是因為 10 = 2X5,所以乘積尾部有個 0,質(zhì)因數(shù)2和5的重數(shù)就 至少是幾。我們可以分別計算質(zhì)因數(shù) 2和5的重數(shù)。為此我們畫兩個圖（圖 62、圖63

6、）:圖62;因子2的重數(shù)圖比；因子5的重數(shù)圖中的數(shù)字是這樣填的：以2的重數(shù)為例，第一行第一個數(shù)13不含因數(shù)2,在這個位置填0,第二個數(shù)12含2重因數(shù)2 （12=2X 2X3,在這個位置填 2,等等。下面各行各數(shù)都是肩上兩數(shù)的和（因為乘積的因數(shù)2的重數(shù)等于各乘數(shù)的因數(shù) 2的重數(shù)的和）。這樣我們就把圖61中每個圈中數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中的2的重數(shù)和5的重數(shù)分別標(biāo)在圖62和圖63中了。特別地，最下面一個數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中2的重數(shù)是10, 5的重數(shù)是15,所以它尾部應(yīng)該有10個0。答：可以連續(xù)地數(shù)到 10個0。分析與討論因為數(shù)字不太多，圖 62和圖63的圈是逐個填上的。如果第一行的數(shù)再多 幾個的話；最好還是先

7、找找各圈中數(shù)的規(guī)律。我們先看第二行。第二行第一個數(shù)是第一行第一、二個數(shù)的和，第二個數(shù)是第一行第二、三個數(shù)的和，等等。再看第三行。第三行第一個 數(shù)是第二行第一、二個數(shù)的和，也就等于第一行第一個數(shù)加上第二個數(shù)的2倍再加第三個數(shù)。類似地，第三行第一個數(shù)等于第一行第一個數(shù)加第二個數(shù)的3倍加第三個數(shù)的3倍加第四個數(shù)。最后，最下面一個數(shù)等于第一行的數(shù)分別乘以1, 4, 6, 4, 1再加起來，如0X1+ 2X 在 0X 計 0X4+ 2X1=10,0X1+ 0X 在 1X計 2X4+ 1X1= 15?？傊?，在一般情況下，每個圈中的數(shù)可以這樣得到：在第一行找出與這個圈有直線相連的兩個圈、將這兩個圈之間的圈

8、（包括這兩個圈） 中的數(shù)分別乘以一個整數(shù)再加起來，所乘的整數(shù)見圖64:四64圖中的乘數(shù)排列成一個三角形， 這就是著名的 揚輝角”，其中的每個數(shù)部稱為 組合數(shù)”。 將來同學(xué)們在學(xué)習(xí)排列組合時，會知道楊輝三角有很多有趣的性質(zhì)。參看華羅庚：從楊輝三角談起。用1分、2分和5分的硬幣湊成一元錢、共有多少種不同的湊法？【解法】為了找到簡捷的解法，我們先將問題作一番分析。首先注意.要確定二種湊法是否相同，只要看二種湊法中所用的二分硬幣的個數(shù)和五分硬幣的個數(shù)是否分別相等就可以 了。其次，用一分，二分和五分硬幣湊成一元錢與用二分和五分硬幣湊成不超過一元錢的湊 法是一樣的。最后，不難看出，二分硬幣最多用50個，五

9、分硬幣最多用 20個。經(jīng)過上面的分析，我們看到問題的提法可以改為：有二分硬幣50個，五分硬幣20個。問：湊成不超過元錢的個同湊法有多少種？這個問題的解法有很多，這坐我們將給出二種不同的解法?！窘夥?這是一種直接的解法。基本想法是按1五分硬幣的個救將所有湊法分類。假定五分硬幣有20個，則沒有二分硬幣，因此只有一種湊法。假定五分硬幣有19個，幣值為5X19=9汾，因此要使總幣值不超過 1元=100分，所取二分硬幣的幣值不能超過5分。很明顯，二分硬幣的個數(shù)可以為0個，1個，或2個，這樣就有三種不同的湊法。如此繼續(xù)下去，可以看出不同的湊法共有1 + 3 + 6+8+ 11+ 13+ + 48+51=

10、（1+48） + （ 3+46） + （ 6+43） + + （ 23+26） +51=49X 10+51=541 （種）答：共有541種湊法。【解法2這是一種比較巧妙的簡便算法。將50個二分硬幣和 20個五分硬幣分成甲、乙二組。因為這些硬幣的總幣值為50X 2+20 X 5=20吩）。所以甲、乙二組的幣值無非是下面三種情形；（1）甲組的錢比一元少，乙組的錢比1元多。（2）甲組的錢比一元多，乙組的錢比1元少。（3）甲、乙兩組的錢相等，都是一元錢。這里有兩點要特別注意：第一，情形（1）與情形（2）是對稱的，只不過甲和乙交換了 位置。第二，（1）的所有可能性加上（3）的所有可能性就是我們的問題的答

11、案。那么（1）, （3）的個數(shù)各有多少呢？先計算一下上面的分組總共有多少不同的方法。因為二分硬幣有50個，所以有51種分法。類似地，五分硬幣有 20個，所以有21種分法。這樣總共就有 21X51種不同的分法。再來看甲，乙兩組的錢都是一元這種情形的分法有多少種？很明顯，這時五分硬幣必須有偶數(shù)個（為什么？），所以五分硬幣的數(shù)可以為 0個，2個，20個，共有十一種分 法。根據(jù)情形（1）和情形（2）的對稱性，容易知道（1）的個數(shù)為（21X5111） +2=530（1）的個數(shù)加上（3）的個數(shù)是530+11=541 （種）這就是答案?！痉治雠c討論】 這是一道思考與計算相結(jié)合的題。用解法1來做的同學(xué)比較多。

12、但大部份同學(xué)都沒有算對，也許是數(shù)”不清楚吧。學(xué)會 數(shù)”數(shù)是數(shù)學(xué)原基本的功夫，可不能馬虎。提高你的 數(shù)”數(shù)能力，不妨換個方法試試。解法2避免了較多的計算， 但不容易想到。建議同學(xué)們仔細(xì)想清楚， 或許能從中得到一 點啟示。有的同學(xué)在答卷上寫了一個方程式X+2Y-5Z=100.X、Y、Z分別為一分，二分和五分硬幣的個數(shù)。這個方程式當(dāng)然是對的，但怎樣解？ 答卷上找不到下文。解法二實際上是上述方程的一種解法。有兩個班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第二班學(xué)生上車并直接開往少年宮。學(xué)生步行速

13、度為每小時4公里，載學(xué)生時車速每小時40公里，空車每小時 50公里。問：要使兩班學(xué)生同時到達(dá)少年宮，第一班學(xué)生步行了全程 的幾分之幾？（學(xué)生上下車時間不計）【解法】首先注意，由于兩個班的同學(xué)都是一段路步行一段路乘車，而乘車的速度比步行快，中間又沒有停留，因此要同時到達(dá)少年宮，兩個班的同學(xué)步行的路程一定要一樣長。A E Dti B圖G5我們畫一個圖（見圖書 65）來分析。圖中 A是學(xué)校，B是少年宮，C是第一班學(xué)生下 車的地點，D是第二班學(xué)生上車的地點。由上所述AD和CB 一樣長。設(shè)第一班同學(xué)下車時，第二班同學(xué)走到 E處。由于載學(xué)生時車速為每小時40公里，而步行的速度為每小時 4公里，是車速的1/

14、10,因而AE是AC的1/10。在第一班學(xué)生下車后， 汽車從C處迎著第二班學(xué)生 開，車速是每小時 50公里，而第二班學(xué)生從 E處以每小時4公里的速度向前走，汽車和第 二班學(xué)生在D點相遇。這是普通的行程問題，不難算出4 ,19ED是EC的，由于EC是AC的1 一 一， 5410 10一 一 一 491可見ED是AC的 一 一 一。54 10 15, 111這樣AD就是AC的10 15 61最后，由于AD=CB , A D就是A B的一71答：第一班學(xué)生步行了全程的1。7【分析與討論】這道題比普通行程問題略為復(fù)雜一些，有不少同學(xué)做出來了，而且方法也很多。有興趣的同學(xué)可以想想其它的解法，如列方程的方

15、法，并比較一下各種解法的不同。下面是兩個1989位整數(shù)相乘：111 11 111 111989個 11989個1問：乘積的各位數(shù)字之和是多少？【解】首先注意1989是9的倍數(shù)。由9的倍數(shù)的判定法則，我們知道111 11也是9 的倍數(shù)。1989個 1事實上，1989=221X 9, 111111111=12345679< 9。所以 111 11=1234567901234 2345679 91989個 1221 個 12345679被 220個 0斷開另一方面，111 11 9= 999 99=10198911989個 11980個 9因此111 11 111 111989個 11989個 1=123456790