第三節(jié)-函數(shù)的極限

1、機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2【數(shù)列極限【數(shù)列極限】axnn 時，時，)(nfxn 整標(biāo)函數(shù)整標(biāo)函數(shù)【函數(shù)的極限【函數(shù)的極限】)(xfy 有有 0 xxx兩大類情形兩大類情形的一般概念。的一般概念。以引出函數(shù)極限以引出函數(shù)極限的特殊性撇開，這樣可的特殊性撇開，這樣可若將若將 n

2、機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量x時, 的極限1. .【引例引例】單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察單擊任意點(diǎn)開始觀察 觀察完畢觀察完畢)(xf機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4【問問題題 1】函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, , 對對應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(x

3、f無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A. . ; )()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的的過過程程表表示示 xXx. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察: :【問題【問題2】 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接無限接近近”. .是在是在 x 的過的過程中實(shí)現(xiàn)的程中實(shí)現(xiàn)的即即x時時, f(x)0.2.【直觀定義【直觀定義】在在x時，函數(shù)值時，函數(shù)值f (x)無限接近于一無限接近于一個確定的常數(shù)個確定的常數(shù)A ,稱稱A為為f (x)當(dāng)當(dāng)x時的極限時的極限.機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

4、 返回返回 結(jié)束結(jié)束 53. .【精確定義【精確定義】如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù)( (不論它多么小不論它多么小) )，總存，總存在著正數(shù)在著正數(shù)X ，使得當(dāng)使得當(dāng)|x| X 時，恒有時，恒有|f (x) -A| 00, , 總存在總存在 00, , 使得當(dāng)使得當(dāng)0| |x- -x0 | | ,恒有恒有| |f (x) - -A| 成立，則稱成立，則稱x x0時函數(shù)時函數(shù)f (x)以常數(shù)以常數(shù) A為極限為極限，記為記為).()()(lim00 xxAxfAxfxx 或或【注意【注意】;)(0是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)即即函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf . ) )( ( .

5、 有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)b00 . xxa 意味著意味著0 xx . 也越小也越小越小，越小，通常通常 （但不是函數(shù)關(guān)系，（但不是函數(shù)關(guān)系，因因不唯一）不唯一）機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 114. .【幾何意義【幾何意義】)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo. , ,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 極限存在極限存在函數(shù)局部有界函數(shù)局部有界(P36定理定理2)這表明這表明: |xx|00)x,x()x,x(x0000 |A)x(f| A)x(fA的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線，為中心線，以以落于落于時時當(dāng)當(dāng) 2)()

6、,(U0oAyxfyxx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12【例【例2】).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 【證【證】Axf )(CC , 成立成立 , 0 任任給給0 .lim0CCxx , 0 任任取取, 00時時當(dāng)當(dāng) xx【例【例3】.lim00 xxxx 證明證明【證【證】,)(0 xxAxf , 0 任任給給, 取取, 0 0時時當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf , 成成立立 .lim00 xxxx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 135. .【單側(cè)極限【單側(cè)極限】【例如【例如】. 1)(lim :0, 10,1)(0

7、2 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx, 0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近 00 ; 0 xxxx或或記作記作, 0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近 00 ; 0 xxxx或或記作記作yox1xy 112 xy 右極限右極限左極限左極限機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14【左極限【左極限】.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)【右極限【右極限】.)(, , 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)000 000 xxxxxxxxx .)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作

8、記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作【注意【注意】機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 15.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx .lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等, ,.)(lim0不存在不存在xfx【例【例6】【證【證】1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x課后習(xí)題第課后習(xí)題第11題（自證）題（自證）【極限存在定理【極限存在定理】機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16三、函數(shù)極限的性質(zhì)三

9、、函數(shù)極限的性質(zhì)1. .【唯一性【唯一性】【定定理理 1 1】 若若)(lim0 xfxx存存在在, ,則則極極限限唯唯一一. . 【注【注】以下僅以以下僅以 形式為代表給出函數(shù)極形式為代表給出函數(shù)極 限的一些定理，其它形式類推之。限的一些定理，其它形式類推之。)(lim0 xfxx【證明【證明】（略）（自證）（略）（自證）機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17【定理【定理2】 )(lim 0，如果如果Axfxx 00 和和則則 M 0 0，時時使得當(dāng)使得當(dāng) xx . )( Mxf 有有【證【證】Axfxx )(lim 0因?yàn)橐驗(yàn)? 1 必必，則取則取時，時，當(dāng)當(dāng) 0

10、 0 xx有有AAxfxfAxf )()(1)(1 A1 AM記記則定理則定理2得證得證2. .【局部有界性【局部有界性】機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 18).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若 3. .【局部保號性【局部保號性】【證【證】 0 的情形的情形僅證僅證 A 0)(lim 0，因?yàn)橐驗(yàn)?Axfxx0 02 必必，則取則取A時，時，當(dāng)當(dāng) 0 0 xx有有022)( 2)( AAAxfAAxf【證完【證完】容易推得下面更強(qiáng)的結(jié)論：容易推得下面更強(qiáng)的結(jié)論：【定理【定理3 】機(jī)動機(jī)動

11、目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 19【定理【定理3* *】 )0( )(lim 0，如果如果 AAxfxx 那么存在那么存在 )( 00，的某去心鄰域的某去心鄰域xUx )( 0，時時當(dāng)當(dāng)xUx . 2)( Axf 就有就有【補(bǔ)證【補(bǔ)證】 )0( )(lim 0，因?yàn)橐驗(yàn)?AAxfxx 02 ，對對 A 時時當(dāng)當(dāng)， 0 0 0 xx有有2)(2 2)(AAxfAAAAxf 即即（1） , 0 時時當(dāng)當(dāng) A由由（1）式得式得232)(2 2 AAAxfAAA AA 注意到注意到 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20).0(0),0)(0)(,),(,

12、 0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當(dāng)當(dāng)且且若若 【推論【推論】【證明【證明】 利用定理利用定理3反證之（反證之（略略）. .2)( Axf 從而從而 0 ，時時當(dāng)當(dāng) A由由（1）式得式得22)(2 23 AAAxfAAA 2)( Axf 亦有亦有【證完【證完】AA 注意到注意到機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 214. .【子列收斂性【子列收斂性】( (函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) ) .)(),(,),(),(,)( ).)( ),( 21000時的子列時的子列當(dāng)當(dāng)為函數(shù)為函數(shù)即即函數(shù)值數(shù)列函數(shù)值數(shù)列則稱相應(yīng)地則

13、稱相應(yīng)地但但有數(shù)列有數(shù)列中中或或可以是可以是設(shè)在過程設(shè)在過程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 【定義【定義】.)(lim , )()(,)(lim00AxfxxxfxfAxfnnnxx 則有則有時的一個子列時的一個子列當(dāng)當(dāng)是是數(shù)列數(shù)列若若【定理【定理4】機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22【分析【分析】Axfnn )(lim 欲證欲證時時當(dāng)當(dāng)尋找尋找即證即證 , 0 , 0 NnN Axfn)(【證【證】.)( , 0 , 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)Axfxx )(lim0,lim00 xxxxnnn 且且又又機(jī)動機(jī)動 目錄目錄

14、 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 23.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)對上述對上述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 【例如【例如】xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn【證完【證完】綜合上述畫線部分即得綜合上述畫線部分即得機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 24函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系（海因定理）（海因定理）函數(shù)極限存在的函數(shù)極限存在的充要條件充要條件是它的任何子列的是它的任何子列的極限都存在極限都存在, ,且相

15、等且相等. .【說明【說明】常用海因定理來判斷函數(shù)在某變化過程常用海因定理來判斷函數(shù)在某變化過程中的中的極限不存在極限不存在【推廣【推廣】方法一：方法一： 找兩子列，求得對應(yīng)的兩函數(shù)值子列找兩子列，求得對應(yīng)的兩函數(shù)值子列極限值不相等極限值不相等. .或找一個子列，對應(yīng)的函數(shù)值子列的或找一個子列，對應(yīng)的函數(shù)值子列的極限值不存在極限值不存在. .方法二：方法二：機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 25xy1sin 【例【例7】（補(bǔ)）】（補(bǔ)）.1sinlim0不存在不存在證明證明xx【證【證】 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,221 nxn又取又取,

16、0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 0 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 26, 1 )22sin(lim1sinlim nxnnn而而二者不相等二者不相等, ,.1sinlim0不存在不存在故故xx【補(bǔ)充練習(xí)【補(bǔ)充練習(xí)】【解【解】驗(yàn)證驗(yàn)證)11(lim0 xxx不存在不存在01 nxn取取和和)( 0211 nnxn0)(nxf但但21)( nxf由海因定理由海因定理故原極限不存在故原極限不存在2sinlim n令令 xxxf11)(機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 27四、小結(jié)【數(shù)列、函數(shù)極限的

17、統(tǒng)一定義【數(shù)列、函數(shù)極限的統(tǒng)一定義】;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻( (見下表見下表) )機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 28過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(xf Axf)(機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束