(完整版)高等數(shù)學(xué)-微分方程證明題

1、、證明題（共52小題，）1、驗證x C1C2t21 3-13是方程tx32、證明:由參數(shù)方程3xy0的通解。3、證明:(x_22C2)yCi4、證明:2 1x2 %3e 235、證明：方程y ky6、驗證:c 2 22x y7、驗證:8、驗證x9、驗證x23t1 t3 4t32(1 t3)2t2的通解。所確定的函數(shù)C（C3C2為任意常數(shù)）是方程sin反x是初值問題2d2y d x2x0 0,dydx dkxkq(x)的通解是y e C ky4 C （ C為任意常數(shù)）是方程xe 一x dx C是微分方程x2(sin 2t sin 3t)是初值問題i (y)22C1x 2c2 y C30dxxyy

2、yy（x,C）是方程2 一 一、一 ”y 0的通解。的解。01q(u)eku du ,其中(x3 xy2)d x (x2yy xex的通解。d 4x dt210sin3tC為任意常數(shù)。3、y ）d y 0的通解。dt的解。（C1,C2,C3為任意常數(shù)）是微分方程3y （y ）20的解，并指出是否是通解。-310、驗證y e2d_y1 t2 -是初值問題 7T 2ty t的解。2yt1 211、驗證2_ 2 、一y C ( C為任意常數(shù))是方程y 的通解。y12、驗證x .2ex 0 e dt Cex ( C為任意常數(shù))是方程 y yv2x的通解。13、驗證_105 (1002是初始值問題jTt

3、)2xx2x100 t的解。t 01014、驗證方程0的通解是一族曲線 y C1cosx C2 sin x (C1,C1為任意常數(shù))。15、驗證It22 dtC 0 (C為任意常數(shù))所確定的函數(shù)是方程1 2y y 一 -y e20的通解。16、驗證AcosmxBsinmx (A, B 為常數(shù))、仙 d2 y 2是萬程2m ydx20的解。17、驗證1x2e 2dy是初值問題 dx(X0)的解。18、驗證ln yC 是方程 yd x (y x) d y0的通解，并確定積分常數(shù)C ,使積分曲線經(jīng)過點2、(0,e )。19、驗證3x2C是方程(3x220、limn(1x)2x2!2x3!21、6xy

4、2) dx (6x2y 4y3)d y 0 的通解。nx(n1)!試證明y是初始值問題y的解。0驗證：當(dāng)C 0時，曲線族12C為方程y J1y 在(0,)上的解；而當(dāng)C 0時,x , x該曲線族是上述方程在 (，0)上的解。22、證明： 若 Ui(x, y) 0和 U2(x, y)是全微分方程M(x,y)d x N(x,y)d y 0的兩個解，則它們只差個常數(shù)。23、設(shè)y1 (x), y2(x)是方程y p(x) y q(x)的兩個互異的解，求證：對于該方程中的任何一個解y(x)，恒等C為常數(shù)。式 y(x)y1(x)C永遠成立，其中y2(x) yi(x)x a(t) dt24、證明：y z(x

5、)e 0為方程y a(x)y b(x)的解的充分必要條件是，z(x)可微且滿足方程b(x)e25、設(shè) yi(x), y2(x)是方程 y26、驗證：U Cekt 20 0p(x)y q(x)的兩個解，且y2 (k為常數(shù))是方程dU k(Uyiz,試證明:20)的解。Ceq (x)yi(x)：°a(t)dtx0o27、試導(dǎo)出方程 M (x, y)d xN(x, y)d y 0有形如u(x, y)的積分因子的充要條件。d V22、28、試導(dǎo)出萬程 M (x, y) N (x, y) 0有f(x y)形式的積分因子的條件，并求解： dxa x2 y2 Cx (b. x2 y2 Cy)y 0

6、3_429、驗證 y 5y 3xC 0(1)是微分方程y12x33y2 5(2)的解。230、證明：y2 2Cx C2是微分方程y dy 2xdy y 0(1)的解。 d x dx31、證明：y1sn x是微分方程y 2 y yxxsinx -32、驗證y 是微分萬程xy y cosxx0 (1)的解。(1)的解。33、試驗證y 1 cos4x是微分方程y16y 16的一條過點(0,2)且在該點切線平行x軸的積分曲線。x34、試驗證y e sinx是微分方程y 2y 2y 0的一條在原點處與直線y x相切的積分曲線。11.35、試驗證y sh<2x 一是做分方程y 2y 1的一條過點(0

7、,一)，且在該點處的切線與直線 221x軸間的長度，試證此曲y -(1 42x)垂直的積分曲線。36、如果上半平面的一條向上凸曲線上任一點處的曲率半徑等于該點處法線在曲線與線是半圓周。37、證明函數(shù)組：1,sin2t,cos2t,et在任何區(qū)間a,b上線性相關(guān)。.2238、驗證：1,sin t,cos t在任何區(qū)間上線性相關(guān)。39、設(shè)x(t)和y(t)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，證明如果在區(qū)間a,b上有 期 常數(shù)，則 x(t)和y(t)y(t)在a,b上線性無關(guān)。40、證明：函數(shù)1,t,t2, ,tn 1在任何區(qū)間a,b上線性無關(guān)。41、已知Xi(t),X2(t)是微分方程x ai(t)xa2(

8、t)x0的兩個解，試證明：xCXi(t)C2X2(t)(C1C2為任意常數(shù))也是方程的解。42、設(shè)xi(t), x2(t)分別為非齊次方程x p(t)x q(t)x f(t) (1)的兩個特解，證明：x(t) x(t) x2(t)是方程(1)對應(yīng)的齊次方程：x p(t)x q(t)x 0(2)的解。.2. 243、驗證：e ,e 是微分方程x1c 1x 4t2x 0的兩個線性無關(guān)特解，并求此方程的通解。 t44、設(shè)x1(t)是非齊次線性方程(1)(2)x (t) a1(t)x (t) a2(t)x(t)f1(t)的解。x2(t)是方程x (t) a1(t)x(t)a2(t)x(t)f2(t)的

9、解。試證明xx(t)x2(t)是方程x (t) a1(t)x (t)a2(t)x(t)f1 (t)f2(t)的解。45、驗證函數(shù)組：1,et,e2t, e3t在任何區(qū)間上線性無關(guān)。46、設(shè)x(t),x2(t)在a,b上線性無關(guān)，證明：y1x1(t)x2(t),y2x(t)xz(t)在a,b也是線性無關(guān)。47、證明：et,tet,t2et在任何區(qū)間上線性無關(guān)。248、設(shè) x1 (t)(t1)20t101t2,x2 (t)02(t 1)2試證明：Xi (t), X2(t)在0,2上線性無關(guān)。49、證明：如果函數(shù)組 Xi(t),X2(t), ,Xn(t)在a,b上有1到n 1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且線性相關(guān)，

10、則在 a,b上W(xi，X2，%)XiX2(t)Xi(t)X2(t)X1(n 1)(t) X2(n 1)(t)Xn(t)Xn(t)Xn(n 1)(t)50、若已知微分方程X p1(t)Xp2(t)X 0的一個非零特解為xX1(t),證明此方程的通解為X CiXi C2Xi(t)-e Pl(t)dt dtXi (t)5i、驗證y eX coskX, y2eX sin kX都是微分方程y 2y (i k2)y 0的解，并求此方程的通解， 其中k為非零實常數(shù)。52、證明：若有方程 f (x) f (i x),則必有f (x) f (x)0,并求解此方程。等數(shù)學(xué)一、證明題(共52小題，)i、 2 _x

11、 2c2t t , x 2C2 2t(4 分)代入方程的左端得 22t(2C2 2t) (2C2t t ) t(8 分)i c又因x Ci C2t 2t3含有兩個任意常數(shù)，故3X為方程的通解。(i0分)2、, ,、土d y對參數(shù)方程求導(dǎo)得d上d x3t2i t3(8分)把它代入方程得恒等式，且y y(x,C)含有一任意常數(shù)C ,故參數(shù)方程所確定的函數(shù)y y(x,C)為通解。(i0分)方法二_2_2_2_2dx 3(i 2t )dy 9t (i 2t )d y 3tdt (i t3)2 , dt (i t3)3 , dx i t3(6分)代入原方程:_27t3左式二 3 3(1 t )27t63

12、-(1 t)3t3t2(1 t3) (1 t3)(8分)且所給函數(shù)中含有任意常數(shù)C,故它是微分方程x33 3xy0的通解。（10 分）3、對已知隱函數(shù)兩邊關(guān)于 x求導(dǎo)二次得x C2 yy 0(4分)21 (y) yy 0(8分)且隱函數(shù)含有兩個任意常數(shù),故它為方程的通解。(10 分)4、3e32'six22xix2(1分)-3 sin x23cosx2(3分)代入方程得(8分)此外y(0)y (0)1 -x2sin x是初始值問題的解。2（10 分）5、kxkek ° q(u)eku du ke kxq(x)kx e(5分)kykq(x)(4分)所以 y ky kq(x)(8

13、分)故y e kx C k o q（u）eku d u是方程的通解。（10分）6、對已知隱函數(shù)兩邊微分得.3 ,. 2 ,. 2 ,.34x d x 4xy d x 4x y d y 4y d y 0（5 分）y3）d y 0即（x3 xy2）d x （x2y故已知隱函數(shù)為方程的通解。7、x xey e d x Cxxx exxy x e - d x C xex即 xy y xex所以y是方程的通解。8、因 xt0 2（sin 2t sin3t）t0 0（8分）（10 分）（3分）xexx dx C xe y（7 分） x（10 分）dxdt2（2cos2t 3cos3t）t 0d2 x dt

14、24x2（ 4sin2t 9sin3t） 4故x 2(sin2t sin3t)是初值問題的解。2（4 分）2（sin 2t sin3t） 10sin3t（8分）（10 分）（2分）（4分）（6分）9、對已知隱函數(shù)方程兩邊關(guān)于 x求導(dǎo)得:x yy C1c2 y0上式再對x求導(dǎo)得21 （y） yy C2y 0（1）（1）式關(guān)于x求導(dǎo)得3y y yy C2 y 0（2）由(1), (2)消去C2得y 1 (y )2 3y (y)20故知已知函數(shù)是微分方程的解,10、且是通解。yt idy dt 將y,S dt3 1 t2 e23 i t2e22t)3ti t2e代入原方程,i t23te3 1 t2

15、2t -e2故y為初始問題的解。11、對已知隱函數(shù)方程兩邊關(guān)于（10 分）（2分）（6分）（10 分）x求導(dǎo)得整理得:yd x（y x）dy 02x 2yy 0(8分)此外，x2 y2 C2含有任意常數(shù) C,故它是方程的通解。（10分）12、x 22x tx x 八 x(4分)y e e dt e e Ce0y ex x（6分）即 y y ex x2（8 分）x .2此外，y ex0e dt Cex含有一任意常數(shù) C ,所以它是方程的通解。（10 分）d x dt_ 5_10( 2)3(100 t)_ 52 1012(100 t) 100 t(4分)(6分)2x100 t105（10 分）所以

16、x一10一-是初始值問題的解。（100 t）213、由于 y C1cosx C2sin xy Cicosx Czsinx（8 分）故在（）上有y y 0（10 分）14、對隱函數(shù)兩邊關(guān)于 x求導(dǎo)得1 22ydy,e 2 1 0（7 分）d x（10 分）dyAmsinmxBmcosmxd2 y dx22m Acosmx Bsinmx（8分）44rdy 2故2 m y 0d x17、1 1 2當(dāng) x 0, -yxe 2 xyd x（10 分）72x故y e 2為初始值問題的解。（7分）（9分）（10 分）18、隱函數(shù)兩邊求微分得ydx xd y 1 .工21-d y 0y y故知-yln yC是

17、方程通解。(5分)x此外上yln y x 0y e2所以過點（0,e2）的積分曲線為-In y 2。y(io 分)19、對隱函數(shù)兩邊微分得-222,. 33x d x 6xy d x 6x y d y 4y d y 0(4 分)整理得_2_2_23_(3x 6xy )dx (6x y 4y )d y 0(8 分)且隱函數(shù)含有任意常數(shù)，故為方程的通解。（10分）20、y（x） （x 1） ex（4 分）y 1 ex x y（8 分）y（0） 0故y為初始值問題的解。（10分）21、將y Cx2 代入方程左端得：d） Cx 2 2Cdx代入方程的右端得2_ 2 2_ 2 2y 1 yC2x2 1

18、C2x2 1x x 2Cx 2Cx(6分)當(dāng)Cx 0時，兩端恒等；當(dāng) Cx 0時，兩端不恒等；所以當(dāng) C 0時，函數(shù)為方程在（0, 的解；而當(dāng)C 0時，則為（，0）上的解。（10分）22、）上證：由題設(shè) du1 M(x,y)dx N(x, y)dydu2M(x,y)dx N (x, y)d y則 d(u1 u2)0(4分)(8分)uU2 Cu1u2 c(10 分)23、證：因y(x), y1(x), y2(x)都是微分方程的解即y (x)p(x)y(x)q(x)(1)yi(x)p(x)yi(x)q(x)y2(x)p(x)y2(x)q(x)(3)yi(x)0yi(x)0(i)(3):y (x)(

19、2)： y2(x)yi(x)yi(x)P(x)y(x)P(x) y2(x)y(x)y2(x)yi(x)yi(x)C e p(x)d xC2ep(x)dxy(x)yi(x)(10 分)(y2 yi)p(x) 0,即它是齊次方程 y p(x)(4分)故原方程的通解為y(x) yi C(y2 yi)(8 分)y2(x) yi(x)另證:y2(x) yi(x)適合(y2yi)0的解即 y(x) yi(x) y2(x) yi(x)(i0 分)24、x證明：(i)如果y z(x)ex0adt是方程的解，則有y a(x) b(x)：°a(t)dt：°a(t)dt：°a(t)d

20、tz (x)e z(x)e a(x) a(x)z(x)e b(x)整理得： xz b(x)e x0a(5 分)(2)如果 z b(x)e ；°adt ,則xna(t)d t b(x)e x0 (z(x)exX0a(t)dtb(x)ex°a(t)dtxx°a(t)dt求導(dǎo)得：y a(x)y b(x)x(10 分)說明y z(x)ex0a是方程的解。25、證明：因為y2 y1z是方程的解，故有(yipyi)z z yi q(x)又因為y1是方程的解，所以y1p(x)y1q(x),上式化為(6分)d z/瓦 q(x)(1 z)所以：d zq(x) d xy1ln( 11

21、 z所以z Ce3 dxy1126、這是一個變量可分離微分方程:kt0(1)dUdtkCe、 q(x)z) d x C1y1(10 分)(2分)q(x)z zy q(x)由U Cekt 20 0解得_ ktCe (U 20)(7 分)將代入式(1)得dU k(U 20)(10 分)dt27、一般，u(x, y)是積分因子的充要條件是若 u(x, y) u(x y),記 z x y,則 u(x y) u(z)(4分)uduzd uud uxd zxd zyd z因子因而有(Nduu(z)故得u(x28、(i) 一 y記z x2df(z)f(z)故若(2)Cexp(8分)M N , d zy)為積

22、分因子的充要條件為f(x2y2,N M (x y)2y )M(x,y)一x-22f(x y )N(x,y)(10 分)-2(yM(x,y)xN (x,y)(2分)上式變?yōu)?(yM(x,y) yxN(x,y)(4分)-2(yM(x, y) xN(x,y)可以求得方程的積分因子為：f (x21、土，、土11乘方程兩邊得全微分方程22x ya Cx dxx2求得通解為：y2b Cy(6分)y2)29、dyax by C x2 y2(x2x2222y)時，方程有形式 f (x y)的積分y2(io 分)對函數(shù)y3 5y 3x4 C 0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得3yy 5y 12x30（6分）12x33y故由y3

23、5y3x4 C 0確定的函數(shù)y y（x）是方程的解。（10分）30、證法一:由y22Cx C2 得：yyC代回原式2yy xyy22xy y 0y22Cx C2是微分方程yy 22xy y 0的解。證法二：將y22CxC2兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得2ydi dx2C（2分）從而解得dyyd7xdx（6分）當(dāng)y 0時,則有y* dx22x dx（9分）此外，y 0顯然滿足方程（1）,故22Cx C2是方程（31、1）的解。（10 分）證法一:cosxsinx2xy cosx（3分）再對x求導(dǎo):xy2ysin x（6分）_2即y -yy0（8分）(10 分), sinx 日故y 是y2-y y 0的解 x(

24、10 分)證法二：y1xcosx sinx2 xyi2、.八(2 x )sin x 2xcosx(3分)將y-代入方程的左端得xxx故y1snx是方程的解。 x(10 分)32xcosx sinx1一 cosx xsin x（5分）y2x2 xsinx xy cosx xcosx y故ysinx、工人適合xy ycosx（10 分）3x33、xcosx sin x 202、.八(2 x ) sin x 2x cosxsin x因為16 cos4x代入微分方程有16y 16cos4x 16(1cos4x)16又因為故曲線34、因為2ycos4x是所給微分方程的解y(0) 1 cos01 cos4

25、x過點(4分)2,y4sin4x, y (0) 0（0,2）,且在該點有水平切線，所以結(jié)論成立。（10 分）xxe (cosx sinx), y 2e cosx ,代入微分萬程得x2y 2e cosxxx2e (cosx sin x) 2e sinx 0x .sinx是所給微分方程的解。(4分)x(cosx sin x) x 01又因為 y(0) e 0sin0 0,y (0) e直線y x的斜率為1,故曲線y exsin x過原點且與直線 y x相切，結(jié)論成立。35、.1. 一因為y sh2x，于是y2sh J2x ,代入微分方程左端得21y 2y 2sh 2x 2（sh、2x -）1故y

26、sh <2x -是所給微分方程的解。（4分）211又因為：y（0） sh0 - -,y （0）< 2 ch 2x x 02，-1 、，shj2x 過點21211直線y -（1 *2x）的斜率為，且過點（o,）,故曲線2222（0,3且在該點處與直線 y 1（1 V2x）垂直，結(jié)論成立。（10 分）36、設(shè)曲線方程為y y（x）,由已知y 0, y 0,曲線上任一點 M （x, y）處的法線方程為1Y y (X x)法線與x軸的交點為（yy x,0）,由已知得方程2、3/2（1 y ）22.（yy） yy即 yy （1 y2）（4分）令P y ,代入上式求解得y1C； y2（7 分）

27、y分離變量后積分得. C12 y2 x C2即（x C2）2 y2C2,y 0所以曲線為上半圓周。（10分）37、因 1 1 (1) sin21 ( 1)cos21 0et 0,故函數(shù)組:1,sin 2 t,cos2 t,et在任何區(qū)間a,b上線性相關(guān)。(10 分)38、取&1Q 1二 1,則得(5分)221、 ) 1 1 sin t 1 cos t 0故函數(shù)組1,sin2t,cos2t在任何區(qū)間上線性相關(guān)。(10分)39、反證：設(shè)x(t)和y(t)在a,b上線性相關(guān)，則存在不全為零的C1和C2 ,使(4分)(8分)g(x) C2y(t) 0 (t a,b)。不妨設(shè)C10 ,于是有2

28、-C2 C 常數(shù)y(t)C1矛盾，故x(t)和y(t)在a,b上線性無關(guān)。 (10分)40、證明：假設(shè)函數(shù)1,t,t2, ,tn 1在某區(qū)間a,b上線性相關(guān)，根據(jù)定義存在一組不全為0的數(shù)k1,k2, , kn ,使得對a,b上任何t ,均有.2. n 1_k1 k2t k3tknt0(5 分)但這是不可能的，因為 2n 1k1 k2t k3tknt0為n 1次方程，只有n 1個根，所以它不能恒為零。故函數(shù)組1,t,t2, ,tn 1在任何區(qū)間a,b上線性無關(guān)。(10分)41、x C1x1(t) C2x2(t)xC1x1(t) C2x2(t)xC1x1 (t) C2x2(t)(3 分)代入原方程

29、得x (t) a1(t)x (t) a2(t)x(t)區(qū) ai(t)xi(t) a2(t)xi(t) X2(t) ai(t)X2(t)a2(t)X2(t)(8分)(10 分)所以xC1x1（t） C2x2（t）是原方程的解。42、由題設(shè) x1p(t)x1 q(t)x1 f (t)x2 P(t)x2 q(t)x2f(t)(4)(4分)一（4）得:(x1x2)p(t)(x1x?)q(t)(x1x2)(8分)x1x2是齊次方程2）的解。(10 分)43、因為t2et2e4t2et22et22 t4t e2tet22 t4t e(2分)et2t24t2et22et22 t24t et2(2te t )

30、2 t24t e(4分)一 t2t2故 8 ,e t是方程的解,t2et2e2t2e常數(shù)(7分)其中et2t2t是方程線性無關(guān)的解（構(gòu)成基本解組）,故方程的通解為Ciet2 t2Cze t勒。2為任意常數(shù)。(10 分)44、因為x1（t）,x2（t）分別為方程（1）和方程（2）的解所以x1(t) a1(t)x1(t)a2(t)x1(t) f1(t)(1)x2(t) a1(t)x2(t) a2(t)x2(t)f2(t)(2)( 5分)(1)(2) 得x1(t) x2(t)a1(t) x1(t)x2(t)f1(t) f2(t)即x x1(t) x2(t)是方程(3)的解。45、令 k1 k2et

31、k3e2t k4e3t 0 1234( 1 )兩邊關(guān)于t 求導(dǎo)，并除以et 得t2tk22k3et3k4e2t0(2)兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，并除以e得2k3 6k4et0對(3)重復(fù)上面做法得6k40，即k40以 k40 依次代入(3)(2)(1) ，依次得到k1 k2 k30這說明僅當(dāng)k1k2k3k40時，關(guān)。( 10 分)46、假設(shè)在 a,b 恒有k1 y1k2y20a2(t) x1(t) x2(t)( 10 分)( 1) ( 2 分)( 2) ( 5 分)( 3)( 8 分)t 2t 3t1 )式成立，故函數(shù)組1, e ,e ,e 在任何區(qū)間上線性無2 分)即(k1 k2)x1(t) (k1 k2)x2(t)0x1(t), x2(t) 在 a,b 上線性無關(guān)，上式僅當(dāng)k1k20k1k207 分)時才成立，而上方程組僅有零解：k1k20( 9 分)因此證得：li,、2在a,b上線性無關(guān)。(10分)47、令C1et C2tet C3t 2et0( 2分)即C1 C2t C3t20(1)( 4分)而一元二次方程(1)最多只有兩個實根，因此除非C1C2C30，否則在任何區(qū)間上(1)不成立。故證得函數(shù)組在任何區(qū)間上線性無關(guān)。( 10 分)48、令k1