初二數(shù)學壓軸幾何證明題含答案

1、1.四邊形ABC比正方形， BEF是等腰直角三角形，/ BEF=90 , BE=EF連接DF, G為DF的中點，連接 EG CG EC(1)如圖1,若點E在CB邊的延長線上，直接寫出 EG與GC的位置關(guān)系及的值；(2)將圖1中的 BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，請問(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；將圖1中的 BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a (0 VaV 90 ),若BE=1, AB=,當E, F, D三 點共線時，求 DF的長及tan/ABF的值.解：(1) EGL CG C = =V2,圖 1理由是：過G作GHL EC于H, / FEB=Z DC

2、B=90 , .EF/ GH/ DC .G為DF中點, .H為EC中點,1 1EG=GC GH=Z (EF+DC = Z ( EB+BC ,即 GH=EH=HC / EGC=90 ,即 EGC等腰直角三角形，EC丁麓,3C圖2解：結(jié)論還成立，理由是：如圖2,延長EG到H,使EG=GH連接CH EC,過E作BC的垂線EM延長CD 在 EFGD HDGUF三匚DzFGE=zDGH,EG = HC. .EF HDG(SAS , . DH=EF=BE / FEG4 DHG .EF/ DH / 1 = Z 2=90 - /3=/4,，/EBC=180 - Z 4=180 -/1 = /HDC在 EBCA

3、 HDC中EE 三 DHEEC = zHDC,BC = CD.EB(C HDC.CE=CH / BCE4 DCH / ECHh DCH+ ECD= BCE吆 ECD叱 BCD=90 , . ECH是等腰直角三角形， .G為EH的中點，ECEG GC CC =2,即(1)中的結(jié)論仍然成立；. AB=/2 ,正方形 ABCDBD=2,IBE | 1 |cos / DBE= BD = 2 ,/ DBE=60 , / ABE土 DBE-Z ABD=15 ,，/ABF=45 -15 =30 ,V3tan / ABF= 3,DE=/3 BENZS,DF=DE-EF=/-1 .解析：(1)過G作GHL EC

4、于H,推出EF/ GH/ DC求出H為EC中點，根據(jù)梯形的中位線求出 EG=GC| 1 | =GH=2 (EF+DC = 2 ( EB+BC ,推出GH=EH=BC根據(jù)直角三角形的判定推出EGB等腰直角三角形即可；(2)延長EG到H,使EG=GH連接 CH EC,過E作BC的垂線EM 延長 CD證 EFCGA HDG 推出 DH=EF=BE / FEGh DHG 求出/ EBC4 HDC 證出 EB黃 HDC 推出 CE=CH ZBCE=Z DCH求出 ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；EE 1(3)連接BD,求出cos/DBE=ED =2,推出/ DBE=60 ,求出/ ABF=30 ,

5、解直角三角 形求出即可.2.已知正方形 ABC麗等腰直角三角形 BEF, BE=EF / BEF=90 ,按圖1放置，使點E在B( 上，取DF的中點G連接EG CG延長EG交DC于H,試說明：DH=BE(2)將圖1中4 BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45 ,連接DF,取DF中點G(如圖2),莎莎同學發(fā)現(xiàn)： EG=C(M EGLCG在設(shè)法證明時他發(fā)現(xiàn)：若連接 BD則D, E, B三點共線.你能寫出結(jié)論 “EG=CG! EGL CG的完整理由嗎？請寫出來.將圖1中4 BEF繞B點轉(zhuǎn)動任意角度a (0 a 90 ),再連接DF,取DF的中點G(如圖 3),第2問中的結(jié)論是否成立？若成立，試說明你的結(jié)論；若不

6、成立，也請說明理由. .EF/ DH ./ EFG=/ GDH而/ EGF=/ DGH GF=GD .GEM GHD .EF=DH而 BE=EF .DH=BE，0F C(2)連接DB如圖, A. BEF為等腰直角三角形, / EBF=45 ,而四邊形ABC陰正方形，/ DBC=45 , .D, E, B三點共線.而/ BEF=90 , . FED為直角三角形，而G為DF的中點，EG=GD=GC/ EGC=2 EDC=90 , EG=CG! EG! CG;(3)第2問中的結(jié)論成立.理由如下：連接AG BD相交于點0,取BF的中點M連接OG EM MG如圖,3C,G為DF的中點，0為BD的中點，M

7、為BF的中點， .OG/ BF, GM/ 0B, 四邊形0GM的平行四邊形，.-0G=BM GM=0B而 EM=BM 0C=0BEM=0G MG=0C . / D0G=GMF而/ D0C=EMF=9O , ./ EMG=G0C .ME降 0GCEG=CG / EGM= 0CG又. / MGF=BDF, /FGC4GDC+GCD/ EGC= EGM+ MGF+ FGC= BDF+/ GDC+ GCD+ 0CG=45 +45 =90 , EG=CG1 EG! CG解析：(1)由/ BEF=90 ,彳#到 EF/ DH 而 GF=GD 易證得 GEM GHD 彳導 EF=DH 而 BE=EF 即可得

8、到結(jié)論.(2)連接DB,如圖2,由 BEF為等腰直角三角形，得/ EBF=45 ,而四邊形 ABCM正方 形，得/ DBC=45 ,彳#到D, E, B三點共線，而 G為DF的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的 中線等于斜邊的一半得到 EG=GD=GC于是/ EGC=2 EDC=90 ,即得到結(jié)論.(3)連接AG BD相交于點0,取BF的中點 M連接OG EM MG由G為DF的中點，O為 BD的中點，M為BF的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得 OG/ BF, GM/ 0B得到0G=BMGM=0B 而 EM=BM 0C=0B 得至U EM=0G MG=0。又/ D0G= GMF 而/ D0C= EMF=

9、90 ,彳導/ EMG= / G0C 則 ME3 0GC 得到 EG=CG / EGM= 0CG 而/ MGF= BDF / FGC= GDC+ GCD 所以有/ EGC= EGM+MGF+FGCN BDF吆 GDC+GCD+0CG=45 +45 =90 .3.已知正方形 ABC麗等腰RtABEF, BE=EF / BEF=90 ,按圖放置，使點 F在BC上, 取DF的中點G連接EG CG (1)探索EG CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；(2)將圖中4 BEF繞B點順時針旋轉(zhuǎn)45 ,再連接DF,取DF中點G(如圖)，問中的 結(jié)論是否仍然成立.證明你的結(jié)論； 將圖中 BEF繞B點轉(zhuǎn)動任意角度(旋

10、轉(zhuǎn)角在0到90之間)，再連接DF,取DF的中 點G(如圖)，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立，證明你的結(jié)論.解：（1） EG=C（S. EGL CG證明如下：如圖，連接BD. ,正方形 ABCDF口等腰Rt BEF / EBF=Z DBC=45 . B、E、D三點共線. . /DEF=90 , G為 DF的中點，/ DCB=90 , EG=DG=GF=C G/ EGF=2 EDG / CGF=2 CDG / EGF-+Z CGF=2/ EDC=90 ,即/ EGC=90 ,EG CG(2)仍然成立，證明如下：如圖，延長 EG交CD于點H. BEX EF,EF/ CD / 1 = /2.又/ 3=/

11、4, FG=DG.FE DHG.EF=DH EG=GH. BEF為等腰直角三角形， .BE=EF BE=DH,. CD=BC CE=CH. ECH為等腰直角三角形.又 EG=GHEG=CG! EGLCG(3)仍然成立.證明如下：如圖，延長 CG至H,使GH=CG連接HF交BC于M連接EH EC. GF=GD / HGFW CGD HG=CG .HFg CDG.HF=CD / GHFW GCD.HF/ CD止方形ABCD.HF=BC HF BC. BEF是等腰直角三角形， .BE=EF / EBC4 HFE . BEC FEH .HE=EC / BEC4 FEH/ BEF=Z HEC=90 ,

12、. ECH為等腰直角三角形.又 CG=GHEG=CG! EG! CGD解析：(1)首先證明B、E、D三點共線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證明 EG=DG=GF=CG#到/ EGF=2 EDG / CGF=2 CDG 從而證得/ EGC=90 ;(2)首先證明4 FEe ADHG然后證明 ECH為等腰直角三角形.可以證得：EG=CGt EGCG(3)首先證明： BE% FEFH即可證得： ECH等腰直角三角形，從而得到：EG=CG且 EGL CG已知，正方形 ABCD中，4BEF為等腰直角三角形，且 BF為底，取DF的中點G,連接EG、CG.圖1圖2圖彳(1)如圖1 ,若4B

13、EF的底邊BF在BC上，猜想EG和CG的數(shù)量關(guān)系為 (2)如圖2,若4BEF的直角邊BE在BC上，則(1)中的結(jié)論是否還成立？請說明理由；(3)如圖3,若4BEF的直角邊BE在/ DBC內(nèi)，則(1)中的結(jié)論是否還成立？說明理解：(1 ) GC=EG ,( 1分)理由如下： BEF為等腰直角三角形，1DF 的中點，EG=DF ,y/ BCD=90 ，又 G為斜邊DF的中點，CG= 1GC=EG ;-2交CD于M,/ DEF=90。，又 G 為斜邊 ABCD為正方形，DF ,(2)成立.如圖，延長EG / BEF= /FEC= / BCD=90EF / CD,D/ EFG= / MDG,又 / E

14、GF= / DGM, DG=FG , GEF0 GMD,EG=MG ,即G為EM的中點.CG為直角 ECM的斜邊上的中線，1 CG=GE= EM ;(3)成立.取BF的中點H,連接EH, GH,取,CO=BD的中點O,連接OG, OC.BDD5H FDG=GF ,GH/ BD,且GH= BDOG / BF ,且EH=2OG= BF BEFBFCO=GH .為等腰直角三角形. CB=CD , / DCB=90e EH=OG .四邊形OBHG為平行四邊形，/ BOG= / BHG. / BOC= / BHE=90/ GOC=Z EHG. GO8 EHG .EG=GC .此題考查了正方形的性質(zhì)，以及

15、全等三角形的判定與性質(zhì).要求學生掌握直角三角形斜邊上的中線等I于斜邊的一半，以及三角形的中位線與第三邊平行且等于第三邊的一半.掌握這些性質(zhì)，熟練運用全I等知識是解本題的關(guān)鍵.II解析：(1) EG=CG,理由為：根據(jù)三角形 BEF為等腰直角三角形，得到/ DEF為直角，又G為I IDF中點，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半， 得到EG為DF的一半，同理在直角 !I三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代換得證；I(2)成立.理由為：延長EG交CD于M,如圖所示，根據(jù)“ASA”得到三角形EFG與三角形GDM全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EG與MG相等，即G為EM中點，根據(jù)直角三角形斜邊上I的中線等于斜邊的一半得到 EG與CG相等都等于斜邊EM的一半，得證； III(3)成立.理由為：取BF的中點H,連接EH, GH,取BD的中點O,連接OG, OC ,如圖所示，I因為直角三角形DCB中，O為斜邊BD的中點，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半