山東卷理科第18題解法研究

1、山東卷理科第18題解法研究岳言忠數(shù)列an的前n項和Sn=3n2+8n，bn是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1，求數(shù)列bn的通項公式；令cn=an+1n+1bn+2n，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解bn=3n+1.cn=3n+1·2n+1.分析1如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差d0，數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比q1，我們稱數(shù)列an·bn為“等差乘等比型數(shù)列.其前n項和Sn可用下面的方法求解：令Sn=a1·b1+a2·b2+an·bn，那么qSn=a1·b2+a2·b3+an·bn+1所以1-qSn=a1·b1+d&#

2、183;b2+d·b3+d·bn-an·bn+1=a1·b1+d·b21-qn-11-q-an·bn+1所以Sn=a1·b1-an·bn+11-q+d·b21-qn-11-q2.解法1錯位相減法Tn=6·22+9·23+12·24+3n+1·2n+12Tn=6·23+9·24+12·25+3n+1·2n+2-得-Tn=6·22+3·23+3·24+3·2n+1-3n+1·2n+

3、2=6·22+3·231-2n-11-2-3n+1·2n+2=-3n·2n+2.所以Tn=3n·2n+2.分析2當(dāng)q1時，等比數(shù)列an的通項an=a1·qn-1可變形為an=a1·qn-1×1-q1-q=a11-q·qn-1-qn.于是前n項和Sn=a11-q1-q+q-q2+q2-q3+qn-1-qn=a11-q·1-qn.它的本質(zhì)是將數(shù)列中的每一項都化為兩項之差，并且前一項的減數(shù)恰好與后一項被減數(shù)相同，求和時中間項相抵消.這種數(shù)列求和的方法叫裂項求和法.一般地，假設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為

4、d，數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比q1，那么數(shù)列an·bn的前n項和Sn可用裂項求和法求解.an·bn=anbn+1-bnq-1=1q-1an+1-dbn+1-anbn=1q-1an+1bn+1-anbn-d·bn+1q-1.于是數(shù)列an·bn轉(zhuǎn)化為一個可以裂項求和的數(shù)列1q-1an+1bn+1-anbn與一個等比數(shù)列d·bn+1q-1的差，所以數(shù)列an·bn的前n項和為Sn=a1·b1-an+1·bn+11-q+d·b21-qn1-q2.解法2裂項求和法cn=3n+1·2n+1=3n+1·

5、2n+2-2n+1=3n+1·2n+2-n+1·2n+1=3n+1·2n+2-n·2n+1-3·2n+1.所以Tn=3n+1·2n+2-4-3·221-2n1-2=3n+1·2n+2-12-3·22·2n-1=3n·2n+2.分析3將原數(shù)列的項分拆，然后重新組合成新數(shù)列進行求和.如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差d0，數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比q1，那么數(shù)列an·bn的前n項和Sn=a1·b1+a2·b2+a3·b3+an·bn=a1·

6、;b1+a1+d·b2+a1+2d·b3+a1+n-1d·bn=a1·b1+a1·b2+d·b2+a1·b3+d·b3+d·b3+a1·bn+d·bn+d·bn+d·bn=a1·b1+b2+b3+bn+d·b2+b3+bn+d·b3+b4+bn+d·bn=a1·b11-qn1-q+d·b21-qn-11-q+d·b31-qn-21-q+d·bn1-q1-q=a1·b1-b1qn

7、1-q+d·b2-b2qn-11-q+d·b3-b3qn-21-q+d·bn-bnq1-q=a1·b11-q-a1·b1qn1-q+d1-qb2+b3+bn-n-1d·b1qn1-q=a1·b1-an·bn+11-q+d·b21-qn-11-q2.對本例而言，cn=3n+1·2n+1=2n+1+2n+1+2n+1，可以考慮用分項重組法求和.解法3分項重組法由Tn=6·22+9·23+3n+1·2n+1可得：Tn3=2·22+3·23+n+1

8、83;2n+1=22+22+23+23+23+2n+1+2n+1+2n+1=2·22+23+2n+1+23+2n+1+2n+1=2·221-2n1-2+231-2n-11-2+2n+1-2n+21-2=2·2n+2-22+2n+2-23+2n+2-2n+1=n+12n+2-22+23+2n+1-22=n+12n+2-221-2n1-2-22=n·2n+2.所以Tn=3n·2n+2.分析4設(shè)數(shù)列an·bn的前n項和為Sn，可構(gòu)造關(guān)于Sn的方程，通過解方程求解【1】.如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差d0，數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比q1，那么數(shù)列

9、an·bn的前n項和Sn=a1·b1+a2·b2+a3·b3+an·bn=a1·b1+qa2·b1+a3·b2+an·bn-1=a1·b1+qa1+d·b1+a2+d·b2+an-1+d·bn-1=a1·b1+qa1·b1+a2·b2+a3·b3+an-1·bn-1+qd·b1+b2+b3+bn-1=a1·b1+qSn-an·bn+qd·b11-qn-11-q.所以1-qSn=

10、a1·b1-qan·bn+qd·b11-qn-11-q，所以Sn=a1·b1-an·bn+11-q+d·b21-qn-11-q2.解法4方程法由Tn=6·22+9·23+12·24+3n+1·2n+1可得：Tn3=2·22+3·23+4·24+n+1·2n+1=2·22+2·3·22+4·23+n+1·2n=2·22+2·2·22+3·23+n·2n+2&#

11、183;22+23+2n=2·22+2·Tn3-n+1·2n+1+22·1-2n1-2.可解得Tn=3n·2n+2.分析5由an·bn=a1+n+1d·b1qn-1=b1dnqn-1+b1a1-dqn-1，可聯(lián)想求導(dǎo)公式xn=nxn-1，從而用導(dǎo)數(shù)法求和【2】.解法5導(dǎo)數(shù)法當(dāng)x1時，x2+x3+xn+1=x21-xn1-x那么兩邊同時求導(dǎo)得：2x+3x2+4x3+n+1xn=2x-x2-n+2xn+1+n+1xn+21-x2，兩邊同時乘以x得：2x2+3x3+4x4+n+1xn+1=2x2-x3-n+2xn+2+n+1xn+31-x2，令x=2得：2·22+3·23+4·24+n+1·2n+1=n·2n+2，可得Tn=3n·2n+2.近年來在各地或是全國高考的試卷中頻繁出現(xiàn)“等差乘等比型數(shù)列的求和問題，老師在平時的講解中也一再強調(diào)該類題型用“錯位相減法來解決，