九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第22章 第10課時(shí) 二次函數(shù)與一元二次方程導(dǎo)學(xué)案2 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

1、二次函數(shù)與一元二次方程（2）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解圖像法確定一元二次方程近似解的方法；2了解圖像法解一元二次不等式的方法；3體驗(yàn)函數(shù)y=ax2與y=bx+c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程ax2=bx+c的解的探索過程，掌握用函數(shù)y=ax2和y=bx+c圖像交點(diǎn)的方法求方程ax2=bx+c的解二、知識(shí)回顧二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式（b2-4ac）有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根b2-4a

2、c0有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0沒有交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac0三、新知講解1利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根的一般步驟：（1）畫出函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象；（2）確定拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，看交點(diǎn)在哪兩個(gè)數(shù)之間；（3）列表，根據(jù)題目實(shí)際情況在兩個(gè)數(shù)之間合理等分，并用計(jì)算器估算每個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y當(dāng)x由x1取到x2，對(duì)應(yīng)的y值出現(xiàn)y10，y20（或 y10，y20）且符合題目近似值要求時(shí)，x1或x2可以看做方程的近似根2二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)a（x1

3、，0），b（x2，0）（x1x2），則當(dāng)a0時(shí)，不等式ax2+bx+c0的解集是xx1或xx2，不等式ax2+bx+c0的解集是x1xx2四.典例探究掃一掃，有驚喜哦！1圖象法求一元二次方程的近似根【例1】利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程5x2+4x2=0的近似根總結(jié)：利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根的一般步驟：（1）畫出函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象；（2）確定拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，看交點(diǎn)在哪兩個(gè)數(shù)之間；（3）列表，根據(jù)題目實(shí)際情況在兩個(gè)數(shù)之間合理等分，并用計(jì)算器估算每個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y當(dāng)x由x1取到x2，對(duì)應(yīng)的y值出現(xiàn)y10，y20（或 y10，y20）且符合題目近

4、似值要求時(shí)，x1或x2可以看做方程的近似根練1 利用函數(shù)y=x2x3的圖象，借助計(jì)算器探索方程x2x3=0介于3與2之間的根（精確到0.1）2圖像法解一元二次不等式【例2】（2010淮北模擬）閱讀材料，解答問題例：用圖象法解一元二次不等式：x22x30解：設(shè)y=x22x3，則y是x的二次函數(shù)a=10，拋物線開口向上又當(dāng)y=0時(shí)，x22x3=0，解得x1=1，x2=3由此得拋物線y=x22x3的大致圖象如圖所示觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x1或x3時(shí)，y0x22x30的解集是：x1或x3（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：x22x30的解集是_；（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x210總結(jié)

5、：設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)a（x1，0），b（x2，0）（x1x2），則當(dāng)a0時(shí)，不等式ax2+bx+c0的解集是xx1或xx2，不等式ax2+bx+c0的解集是x1xx2練2 畫出函數(shù)y=2x2+8x6的圖象，根據(jù)圖象回答：（1）方程2x2+8x6=0的解是什么？（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y0？（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y0？3用一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像交點(diǎn)的方法求一元二次方程的解【例3】已知二次函數(shù)y=2x22和一次函數(shù)y=5x+1（1）你能用圖象法求出方程2x22=5x+1的解嗎？試試看；（2）請(qǐng)通過解方程的方法驗(yàn)證（1）問的解總結(jié)：1. 畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，觀察

6、兩圖象交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求相應(yīng)一元二次方程的解2. 反過來，令二次函數(shù)和一次函數(shù)的值相等，列出關(guān)于x的一元二次方程，該一元二次方程的解即為二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).練3 利用函數(shù)圖象求出一元二次方程x2+2=4x的近似根，或在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2+2和一次函數(shù)y=4x的圖象，根據(jù)兩個(gè)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)找出一元二次方程x2+2=4x的近似根，請(qǐng)?jiān)囈辉囄?、課后小測(cè)一、選擇題1根據(jù)拋物線y=x2+3x1與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出下列方程中哪個(gè)方程的近似解（ ）ax21=3x bx2+3x+1=0 c3x2+x1=0 dx23x+1=02（2014秋安次區(qū)校級(jí)期中）已知：二次函數(shù)

7、y=x22x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x22x+m=0的解為（ ）a1 b3 c2 d03（2015瀘州）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），且其對(duì)稱軸為x=1，則使函數(shù)值y0成立的x的取值范圍是（ ）ax4或x2 b4x2 cx4或x2 d4x24（2015成都模擬）已知二次函數(shù)y=x22x1的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，求使得y2成立的x的取值范圍是（ ）ax1或x3 b2x2 cx2 d1x35（2014尤溪縣質(zhì)檢）直線y1=x+1與拋物線y2=x2+3的圖象如圖，當(dāng)y1y2時(shí)，x的取值范圍為（ ）ax2 bx1 c2x1 dx2或x1

8、二、填空題6（2015大連模擬）如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)a（1，0）和b（3，2），不等式x2+bx+cx+m 的解集為_7（2010奉化市模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根分別是_8（2014錦州一模）已知二次函數(shù)y=（xm）2+b的圖象如圖，則關(guān)于x的一元二次方程（xm）2+b=0的解為_9（2014武漢模擬）直線y=mx+n和拋物線y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的位置如圖所示，那么不等式mx+nax2+bx+c0的解集是_三、解答題10（2014佛山）利用二次函數(shù)的圖象估計(jì)一

9、元二次方程x22x1=0的近似根（精確到0.1）11（2011杭州模擬）小明在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，針對(duì)“求一元二次方程的解”整理了以下幾種方法，請(qǐng)你將有關(guān)內(nèi)容補(bǔ)充完整：例題：求一元二次方程x2x1=0的兩個(gè)解（1）解法一：選擇合適的一種方法（公式法、配方法、分解因式法）（2）解法二：利用二次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求解如圖，把方程x2x1=0的解看成是二次函數(shù)y=的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即x1，x2就是方程的解（3）解法三：利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解把方程x2x1=0的解看成是二次函數(shù)y=的圖象與一個(gè)一次函數(shù)y=的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，用x1，x2在x軸上標(biāo)出方程的解12（2014

10、東西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知拋物線y1=2x2+2與直線y2=2x+2交于a、b兩點(diǎn)（1）求a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若y1y2，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍13一元二次方程x2+7x+9=1的根與二次函數(shù)y=x2+7x+9的圖象有什么關(guān)系？試把方程的根在圖象上表示出來典例探究答案：【例1】【解析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的方程的解解：方程5x2+4x2=0根是函數(shù)y=5x2+4x2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作出二次函數(shù)y=5x2+4x2的圖象，如圖所示，由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)在2和1之間，另一個(gè)在0和1之間先求2和1之間的根，當(dāng)x=1.1時(shí)，y=0.35；當(dāng)x=1.

11、2時(shí)，y=0.4；因此，x=1.15是方程的一個(gè)近似根，同理，x=0.35是方程的另一個(gè)近似根故一元二次方程5x2+4x2=0的近似根為x=1.15或0.35點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)的一元二次方程的解練1【解析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的方程的解解：方程x2x3=0的根是函數(shù)y=x2x3與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作出二次函數(shù)y=x2x3的圖象，如圖所示，由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)在3與2之間，另一個(gè)在2和3之間求3與2之間的根，當(dāng)x=2.2時(shí)，y=0.14；當(dāng)x=2.3時(shí)，y=0.105；因此，x=2.3

12、是方程介于3與2之間的一個(gè)近似根點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，解答此題的關(guān)鍵是求出對(duì)稱軸，然后由圖象解答，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法【例2】【解析】（1）由x22x3=0得x1=1，x2=3，拋物線y=x22x3開口向上，y0時(shí)，圖象在x軸的上方，此時(shí)x1或x3；（2）仿照（1）的方法，畫出函數(shù)y=x21的圖象，找出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象的開口方向及函數(shù)值的符號(hào)，確定x的范圍解：（1）x1或x3；（2）設(shè)y=x21，則y是x的二次函數(shù)，a=10，拋物線開口向上又當(dāng)y=0時(shí)，x21=0，解得x1=1，x2=1由此得拋物線y=x21的大致圖象如圖所示觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x

13、1或x1時(shí)，y0x210的解集是：x1或x1點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的閱讀理解能力，知識(shí)的遷移能力及二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是求出圖象與x軸的交點(diǎn)，然后由圖象找出當(dāng)y0時(shí)，自變量x的范圍練2【解析】利用描點(diǎn)連線的方法畫出函數(shù)y=2x2+8x6的圖象再根據(jù)圖象判斷函數(shù)的增減性解：函數(shù)y=2x2+8x6的圖象如圖由圖象可知：（1）方程2x2+8x6=0的解x1=1，x2=3（2）當(dāng)1x3時(shí)，y0（3）當(dāng)x1或x3時(shí)，y0點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)圖象的畫法及解讀【例3】【解析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是相應(yīng)方程的解，可得答案；（2）根據(jù)因式分解，可得方程的解解：（1）如圖在平面直角坐標(biāo)

14、系內(nèi)畫出y=2x22和函數(shù)y=5x+1的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，32x22=5x+1的解是x1=，x2=3；（2）化簡(jiǎn)得2x25x3=0，因式分解，得（2x+1）（x3）=0解得x1=，x2=3點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解練3【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出函數(shù)y=x2+2和y=4x的圖象，然后找出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得解解：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2+2和y=4x的圖象，如圖所示：由圖可知，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0.6，2.4），（3.4，13.6），所以一元二次方程x2+2=4x的近似根為x10.6，x23.4點(diǎn)評(píng)：本題考查

15、了圖象法求一元二次方程的近似根，主要是利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)求方程的解，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵課后小測(cè)答案：一、選擇題1【解析】根據(jù)拋物線y=x2+3x1與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x2+3x1=0的根來解決此題解：拋物線y=x2+3x1與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x2+3x1=0的根，可以求出方程x2+3x1=0的根，方程x21=3x與方程x2+3x1=0等價(jià)，可以求出方程x21=3x的根故選a點(diǎn)評(píng)：據(jù)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c=0的根2【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象得出拋物線與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可得出結(jié)論解：由圖可知，拋物線的對(duì)稱軸為x=1，拋物

16、線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為3，另一個(gè)交點(diǎn)=2×（1）+3=1，關(guān)于x的一元二次方程x22x+m=0的解為x1=3，x2=1故選a點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，熟知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵3【解析】由拋物線與x軸的交點(diǎn)及對(duì)稱軸求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線開口向下，根據(jù)圖象求出使函數(shù)值y0成立的x的取值范圍即可解：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），且其對(duì)稱軸為x=1，二次函數(shù)的圖象與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（4，0），a0，拋物線開口向下，則使函數(shù)值y0成立的x的取

17、值范圍是4x2故選d點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與不等式（組），求出拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵4【解析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出y=2對(duì)應(yīng)的自變量x的值之間的取值即可解：由圖可知，使得y2成立的x的取值范圍是1x3故選d點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與不等式，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵5【解析】根據(jù)函數(shù)圖象，寫出直線在拋物線上方部分的x的取值范圍即可解：由圖可知，x2或x1時(shí)，y1y2故選d點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵二、填空題6【解析】根據(jù)已知條件和圖象找出直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c的交點(diǎn)，即可求出不等式x2+bx+cx+m 的解集解：直

18、線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)a（1，0）和b（3，2），根據(jù)圖象可知，不等式x2+bx+cx+m 的解集為x1或x3；故答案為：x1或x3點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)與不等式組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象找出直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c的交點(diǎn)，要具備讀圖的能力7【解析】本題是一道估算題，先測(cè)估計(jì)出對(duì)稱軸左側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用對(duì)稱軸x=3，可以算出右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)解：依題意得二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象的對(duì)稱軸為x=3，而對(duì)稱軸左側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，約為1.6，x1=1.6；又對(duì)稱軸為x=3，則=3，x2=2×31.6=4.4點(diǎn)評(píng)：解答

19、本題首先需要估計(jì)圖象估計(jì)出一個(gè)解，再根據(jù)對(duì)稱性計(jì)算出另一個(gè)解，估計(jì)值的精確程度，直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性，必須估計(jì)盡量準(zhǔn)確8【解析】二次函數(shù)y=（xm）2+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，b），由圖象得，m=2，b=2，可得二次函數(shù)的解析式為y=（x2）22再解一元二次方程即可解：由圖象得，m=2，b=2，所以二次函數(shù)的解析式為y=（x2）22關(guān)于x的一元二次方程（x2）22=0（x2）2=2解得：，故答案為：，點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，本題的關(guān)鍵是得出二次函數(shù)的解析式為y=（x2）229【解析】從圖上可知，mx+nax2+bx+c，則有x1或x；根據(jù)ax2+bx+c0，可知1x2；綜上，

20、不等式mx+nax2+bx+c0的解集是1x2解：因?yàn)閙x+nax2+bx+c0，由圖可知，1x2點(diǎn)評(píng)：此題將圖形與不等式相結(jié)合，考查了同學(xué)們對(duì)不等式組的解集的理解和讀圖能力，有一定的難度，讀圖時(shí)要仔細(xì)三、解答題10【解析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的方程的解解：方程x22x1=0根是函數(shù)y=x22x1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作出二次函數(shù)y=x22x1的圖象，如圖所示，由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)在1和0之間，另一個(gè)在2和3之間先求1和0之間的根，當(dāng)x=0.4時(shí)，y=0.04；當(dāng)x=0.5時(shí)，y=0.25；因此，x=0.4（或x=0.5）是方程的一個(gè)近似根，同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一個(gè)近似根點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖象法求一元二次方程的近似值，解答此題的關(guān)鍵是求出對(duì)稱軸，然后由圖象解答，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法11【解析】（1）用配方法解答一元二次方程；（2）二次函數(shù)方程為y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x2x1=0的解，所以，只要求出方程x2x1=0的根，就可以求出二次函數(shù)方程為y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)；（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根據(jù)題意畫