高等數(shù)學(xué)教案Word版(同濟(jì))第三章19.

1、第十九講I授課題目：§3.4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性口教學(xué)目的與要求：掌握確定函數(shù)增減性、凹凸性及拐點(diǎn)的方法.m教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：用函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性證明不等式IV講授內(nèi)容：一、函數(shù)單調(diào)性的判定法第一章第一節(jié)中已經(jīng)介紹了函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的概念.下面利用導(dǎo)數(shù)來對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究.如果函數(shù)y- f（V在L+匕上單調(diào)增加（單調(diào)減少，那末它的圖形是一條沿X軸正向上升（下降的曲 線.這時，如圖i.曲線上各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的，即了=r/（彳）00）.由 此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系.（b函數(shù)圖形下降時切線斜率非正反過來，能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？

2、下面我們利用拉格朗日中值定理來進(jìn)行討論.設(shè)函數(shù)H'L上連續(xù)，在（亂匕內(nèi)可導(dǎo)，在,閨上任取兩點(diǎn)4（ 4 < %）應(yīng)用拉格朗日中值定理，得到f（±）-（4匹）.（i由于在（1式中，N 71> ",因此，如果在（色卜內(nèi)導(dǎo)數(shù)川保持正號，即川> °,那末也有久”1） .于是即'（百）< （享表明函數(shù)y- "在%以上單調(diào)增加.同理，如果在（山b內(nèi)導(dǎo)數(shù)門”保持負(fù)號，即< o,那 末，K）4 °,于是“'J- Rx） <",即> "L）,表明函數(shù)y '（”在限同上單調(diào)

3、減歸納以上討論，即得函數(shù)單調(diào)性的判定法定王11設(shè)函數(shù)y在%,同上連續(xù).在（孔方內(nèi)可導(dǎo).（i如果在（&b內(nèi)（*>°,那末函數(shù)y-'川在上單調(diào)增加；（2如果在（九b內(nèi)"”，。，那末函數(shù)y-'（ "在闈上單調(diào)減少.如果把這個判定法中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間，那末結(jié)論也成立.例1判定函數(shù)y-1金3在0,2開上的單調(diào)性.解因?yàn)樵冢?2內(nèi)y = 1 - ss x > o,所以由判定法可知，函數(shù)/-1在°,二丁上單調(diào)增加.例2.討論函數(shù)y二c v 1的單調(diào)性.解 y : c L函數(shù)y二e 1的定義域?yàn)椋ㄒ?%十了）.因

4、為在（-）內(nèi)y< °,所以函數(shù)，二c ' 1在（工，o上單調(diào)減少.因?yàn)樵冢≦#工內(nèi)所以函數(shù)，二。' 在 1）,枚）上單調(diào)增加.例3討論函數(shù)y的單調(diào)性.解這函數(shù)的定義域?yàn)椋?1也.y = 2_當(dāng)x, 0時，這函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為'當(dāng)x=0時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在.在（一6°內(nèi)，y,因此函數(shù)十丁在（。1上單 調(diào)減少.在（&現(xiàn)內(nèi)，八（）,因此函數(shù)y二也在。吃）上單調(diào)增加.函數(shù)的圖形如圖 2所示.圖2我們注意到,在例2中，x=0是函數(shù)y- / A 1的單調(diào)減少區(qū)間（t，川與單調(diào)增 加區(qū)間10，+工）的分界點(diǎn)，而在該點(diǎn)處/ = °,在例3中，a=0

5、是函數(shù)y -卜的 單調(diào)減少區(qū)間與單調(diào)增加區(qū)間|0>R）的分界點(diǎn)，而在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在.從例2中看出，有些函數(shù)在它的定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但是當(dāng)我們用導(dǎo)數(shù)等于 零的點(diǎn)來劃分函數(shù)的定義區(qū)間以后，就可以使函數(shù)在各個部分區(qū)間上單調(diào).這個結(jié)論對于在定義區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都是成立的.從例3中可看出，如果函數(shù)在某些點(diǎn)處不可導(dǎo)，則劃分函數(shù)的定義區(qū)間的分點(diǎn)，還應(yīng)包括這些導(dǎo)數(shù)不存 在的點(diǎn).綜合上述兩種情形，我們有如下結(jié)論：如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那末只要用方程力二°的根及 門.不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù) 2、的定義區(qū)間，就能保證H.VI在各個部分區(qū)間內(nèi)保

6、持固定符號,因而函數(shù) 八寸在每個部分區(qū)間上單調(diào).例4確定函數(shù)fh。- 3的單調(diào)區(qū)間.解這函數(shù)的定義域?yàn)?求這函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。山二6-18/12=6"1心2） .解方程片.寸二0,即解6（x- l）（x- 2） = 0,得出它在函數(shù)定義域（"工內(nèi)的兩個根%二、&二2這兩個根把（f+工） 分成三個部分區(qū)間（y5、及.在區(qū)間（氣內(nèi)，1 <0、h2<0 ,所以.因此，函數(shù)在（內(nèi)J內(nèi) 單調(diào)增加.在區(qū)間UZ內(nèi)，X- > 0,人- 2 < 0,所以fhk 0.因此，函數(shù)A a）在 1，2上單調(diào)減少.在區(qū)間）內(nèi),戶> 0、>2>0,所以戶出&g

7、t;°.因此，函 數(shù)?。┰?2,.何）上單調(diào)增加.函數(shù)/二的圖形如圖3所示.例5討論函數(shù)） -*的單調(diào)性.解這函數(shù)的定義城為（氣產(chǎn)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/ =.顯然，除了點(diǎn)x = °使y - °處，在其余各點(diǎn)處均有0 .因此函數(shù)了二父在區(qū)間（r及10，*力）上都是單調(diào)增加的，從而在整個定義城工I內(nèi)是單調(diào)增加的.在 '=0處曲線有一水平切線.函數(shù)的圖形如圖4所示.注如果v,在某區(qū)間內(nèi)的有限個點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)時，那么 人才在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少的.導(dǎo)數(shù)的符號除了能判別函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性外，還經(jīng)常用來證明不等式.2yx > 3 -例

8、6證明：當(dāng)A'> 1時，- YF（月=2 & - 3 -證明令I(lǐng) 幻，則f 11 = = 7 （ N X - 1）f（用在1m）上連續(xù),在（L楨）內(nèi)（力0因此在L楨）上單調(diào)增加，從而當(dāng) 人1時，丘初.由于曲=0,故At）*）-0,即卜。亦即、曲線的凹凸與拐點(diǎn)在第一目中，我們研究了函數(shù)單調(diào)性的判定法 .函數(shù)的單調(diào)性反映在圖形上，就是 曲線的上升或下降.但是，曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題.例如，圖5中有兩條曲線弧，雖然它們都是上升的，但圖形卻有顯著的不同，ABC是向上凸的曲線弧，而ADB是向上凹的曲線弧，它們的凹凸性不同，下面我們就 來研究曲線的凹凸性及其

9、判定法.圖5我們從幾何上看到，在有的曲線弧上，如果任取兩點(diǎn)，則聯(lián)接這兩點(diǎn)間的弦總位于這 兩點(diǎn)間的弧段的上方（圖6（a,而有的曲線弧，則正好相反（圖6（b,曲線的這種性質(zhì)就是曲 線的凹凸性.因此曲線的凹凸性可以用聯(lián)接曲線弧上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線弧上相應(yīng) 點(diǎn)（即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)的位置關(guān)系來描述.下面給出曲線凹凸性的定義.圖6定義1設(shè)八”在區(qū)間/上連續(xù)，如果對/上任意兩點(diǎn),恒有再+ 為 （$）+"茶）/ - !-那么稱 H寸在/上的圖形是（向上 凹的（或凹??；如果恒有1 A； + 距）A1）+ *毛）i - >-22,那么稱N寸在/上的圖形是（向上凸的（或凸弧.如果函數(shù) ，國在

10、/ 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以利用二階導(dǎo)致的符號來判定 曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的判定定理.我們僅就 /為閉區(qū) 間的情形來敘述定理，當(dāng)/不是閉區(qū)間時，定理類同.定理2設(shè) 心）在仙|上連續(xù)，在（山m內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1若在加內(nèi)門丫"°,則八1在g加上的圖形是凹的；（2若在（或加內(nèi)門He（）,則 f印在血h|上的圖形是凸的.%+粗* = 工證明在情形（1,設(shè) ' 和士為內(nèi)任意兩點(diǎn)，且仁I ,記21 ,并記,A 1匹二A 一 A"力，則'I工/ "，士=A + ”,由拉格朗日中值公式,得r（% + 8向力,力”8mh ,其中

11、6<4<1, 0"/l.兩式相減,即得"/十加+網(wǎng)-力12，（/）=門為+ 8向-門.”加 .對3在區(qū)間% 一 外力一%十冊川上再利用拉格朗日中值公式，得門.% +岫-優(yōu)-8向心二門打（小力）力 .其中七 一 1M ',.冊+4力.按情形（1假設(shè)，門；）> 0 ,故有fx切2/禺>0 ,。（與十分）+«%-價>f（.）+ f X,） / 百 十 一 > ! -2、2亦即,所以在1以可上的圖形是凹的.類似地可證明情形（2.例7判斷曲線N= In X的凹凸性.1 1解因?yàn)? A-,'.，所以在函數(shù) A 111 

12、9;的定義域也權(quán)）內(nèi)，由曲線凹凸性的判定定理可知，曲，二m t是凸的.例8判斷曲線y-的凹凸性.解因?yàn)槎?r , F -當(dāng)。時，* < ° ,所以曲線在 M內(nèi)為凸??；當(dāng) 0時，了 > o ,所以曲線在田田）內(nèi)為凸弧（參見圖3-8.一般地，設(shè)y二在區(qū)間/上連續(xù),%是/的內(nèi)點(diǎn).如果曲線二小）在經(jīng)過點(diǎn)（工曠“%） 時，曲線的凹凸性改變了 ,那么就稱點(diǎn)（X* /升為這曲線的拐點(diǎn).如何來尋找曲線 六f（v的拐點(diǎn)呢？從上面的定理知道,由口】的符號可可以判定曲線的凹凸性.因此 ,如果在'的左 右兩側(cè)鄰近異號，那么點(diǎn)（芯九看）就是一個拐點(diǎn).所以,要尋找拐點(diǎn)，只要找出符 號發(fā)生變化

13、的分界點(diǎn)即可.如果ft X）在區(qū)間（那b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么在這樣的分界點(diǎn) 處必然有' 一）；除此以外,f（ ”的二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，也有可能是f""的符號發(fā) 生變化的分界點(diǎn)：（1 求，M）；（2令門同二°,解出這方程區(qū)間/內(nèi)的實(shí)根,并求出在區(qū)間/內(nèi)/M）不存在的點(diǎn)；（3對于（2中求出的每一個實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)冊,檢查 門”在冊左右兩側(cè)鄰近的符號，那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時，點(diǎn)（4, "七"是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，點(diǎn)（七" 不是拐點(diǎn).例9求曲線廠* +3（的拐點(diǎn).iy = 12 ,v+ 6 = 12 x+ '解

14、 y = 6 a -fOa -12,I 2 j .1 1 1解方程y二° ,得.2 .當(dāng)2時，八Q ;當(dāng)2時，八0 .因此，點(diǎn)小，叫I 22是這曲線的拐點(diǎn).例10求曲線了二4" . 的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間.解函數(shù)y 3 34 / + 1的定義域?yàn)椋═）.y = 1214 -12 / ,（2、v - 36 彳-24 x - 36 v m -二A 3j .產(chǎn)人 X. = 0, A =解方程 ,得*廣。及/ 3把函數(shù)的定義域汁工分成三個部分區(qū)間：rn 21 （2 ）5。）、3、?。?在（T，0內(nèi)，了力）,因此在區(qū)間（T川上這曲線是凹的.在，3 I內(nèi)，/ L）,因此L 21（212）

15、1°，一,+oO_| ,4o0在區(qū)間13上這曲線是凸的.在J 內(nèi)，）（）,因此在區(qū)間）31上這曲線是凹的.2 II （2 1= 一y s I . 、=0時，F(xiàn)-1，點(diǎn)（0，1）是這曲線的一個拐點(diǎn).3時,.27,點(diǎn)J 27）也是這曲線的拐點(diǎn).例11問曲線/二y是否有拐點(diǎn)？解,.顯然，只有hO是方程了二。的根.但當(dāng)0時，無論4<0或”。都有了>0，因 此點(diǎn)（°，°）不是這曲線的拐點(diǎn).曲線了二J沒有拐點(diǎn),它在（f件工）內(nèi)是凹的.例12求曲線二五的拐點(diǎn).解這函數(shù)在（T產(chǎn)）內(nèi)連續(xù)，當(dāng)0時,當(dāng)x=o時，y, 了都不存在.故二階導(dǎo)數(shù)在m）內(nèi)不連續(xù)且不具有零點(diǎn).但x=

16、o是y 不存在的點(diǎn),它把（y、向）分成兩個部分區(qū)間：5，川和io丹）.在I，內(nèi)，了 > o,這曲線在y，川上是凹的.在（°，就內(nèi)，y < 0,這曲線在）上 是凸的.X = 0時，=° ,點(diǎn)（°）是這曲線的一個拐點(diǎn).例13設(shè)函數(shù)在點(diǎn)冊，的某鄰域內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，且 門/）= on,證明點(diǎn)（為，"4"必為曲線/一""的拐點(diǎn).證明:'門看）消° ,不妨設(shè)/: ".又,（）一 °尸)0根據(jù)連續(xù)函數(shù)及極限的保號性可知，必存在點(diǎn)冊的鄰域（£ r'd）,在其內(nèi)產(chǎn)>0,從

17、而時，門 x）cO；人£（,% 一1一“ 時,所以，% '（4 "是曲線”的拐點(diǎn).注該例可作為判定拐點(diǎn)的第二個方法.注證明不等式有多種方法.歸納起來有以下幾種:（1當(dāng)不等式或不等式變形后的一部分.與微分中值定理的形式較接近時，可以使用微分中 值定理證明。（2將不等式改寫為H 0之（）（或H寸&（）的形式，利用H力的單調(diào)性證明。（3將不等式變形為2 "（或1,其中人是與1無關(guān)的常量，利用H "的 最值來證明。（4有些持殊的不等式，還可使用函數(shù)凹凸性定義證明。V小結(jié)與提問：小結(jié)：一階導(dǎo)數(shù)常用于判定函數(shù)的單調(diào)性，二階導(dǎo)數(shù)常用于判定函數(shù)的凹凸性；二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和不存在點(diǎn)可能為曲線 ，二ft"的拐