(華杯)16屆初一總決賽試題答案講解版課件

1、第十六屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽總決賽初一組一試試題解答一、填空題（共3題，每題10分）-64 - 594,31-.47 842.正方形 ABCD 的面積等于 625 平方厘米.如圖，DE 與 CF 相交于 G.已知S.ADE二S.CDG=125 平方厘米. BFG 的面積是_ 平方厘米.答： BFG 的面積是 50 平方厘米.解：由于正方形 ABCD 的面積等于 625 平方厘米.所以，邊長(zhǎng)AB=25厘米.由于SADE=125 平方厘米，所以 AE=10 厘米.11連接 CE 則sCDE二625 = 312（平方厘米）22而已知SCDG=125 （平方厘米），貝卩匹二SCDG竺DES吐DE3

2、12.522由SADGSADE125 = 50(平方厘米)551 1但SADGS.CBG二 625，而S.BFGS.CBG二625，比較可得SBFG=SADG二50（平方厘米）計(jì)算解:(-2)3(_1)4_|1_23|-(-|)3212一 22( ) 1 一 32(-5)-8 1-22-1 46827一 8-59447A_八FBAE2二,連接AG(-2)3(-1)42122(一 4)1一33.用長(zhǎng)度分別為1,2,，50的木條去擺三角形，每個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度 分別為a,b,c,a：b . c，問(wèn)(a,b,c)最多有多少種不同的取法？答案：9500.解：利用三條邊可以構(gòu)成三角形的條件：任意的兩

3、個(gè)邊的和大于第三邊.邊長(zhǎng)為 1 的木條不能與其它長(zhǎng)度的木條構(gòu)成三角形.三角形的最小邊長(zhǎng)為 2 時(shí)，邊長(zhǎng)為 2 的木條只能與差值為 1 的兩個(gè)木條構(gòu)成 三角形，故有 47 對(duì).三角形的最小邊長(zhǎng)為 3 時(shí)，邊長(zhǎng)為 3 的木條只能與差值為 1，2 的兩個(gè)木條 構(gòu)成三角形，故有 46+45 對(duì).三角形的最小邊長(zhǎng)為 4 時(shí)，邊長(zhǎng)為 3 的木條只能與差值為 1，2, 3 的兩個(gè)木 條構(gòu)成三角形，故有 45+44+43 對(duì).三角形的最小邊長(zhǎng)為k(k乞25)時(shí)，邊長(zhǎng)k為的木條只能與差值為 1, 2, 3，.，k -1的兩個(gè)木條構(gòu)成三角形，故有(49 -k) (49 -k -1) |l (49 - 2k - 2

4、)對(duì).三角形的最小邊長(zhǎng)為k(k 25)時(shí)，邊長(zhǎng)k為的木條只能與差值為 1，2, 3，.，k -1的兩個(gè)木條構(gòu)成三角形，故有(49-k) (49-k-1) T 對(duì).故總數(shù)為(474611 )(45H441 )(1“34|2|kT) k-(2l|1121(321)1-47 24 4523 HI (2k-1) k川53 3 21=2 242232丨1| 1 -(24 231) =9500.二、解答題(共3題，每題10分，寫(xiě)出解答過(guò)程)4.用S(n)表示自然數(shù) n 的數(shù)字和，如S(1) =1,S(123) =6,S(1234) =10等等，求自然數(shù) n,使得n S(n) =2011.答:1991.解

5、1：n +S(n) =2 0 1,1二1900 c n：2011則可設(shè)n =190010 x y或n =200010 x y，其中0乞x9,0空y乞9，且x, y為整數(shù).若n =190010 x y，則190010 x y 19 x y = 2011，即11x 2y =101x =9二丿n =19 9 1若n =2000 10 x y，則200010 x y 2 x y = 2011，即11x 2y = 9沒(méi)有符合條件的整數(shù)解.因此，n =1991.解 2：因?yàn)閚三S(n)(mod9),要使n S(n)二2011，只須n S(n)三2011(mod9),即2n =2011 =4(mod9) =

6、 n = 2(mod9).已知在n 2011時(shí)S(n)最大為 38,所 以1983乞n乞2011,其中被 9 除余 2 的有 1991，2000，2009.其中只有 1991 滿足1991+20=2011，所以n =1991.5.兩個(gè) 21 位自然數(shù) m 和 n,每個(gè)都由三個(gè) 1、三個(gè) 2、三個(gè) 3、三個(gè) 4、三 個(gè) 5、三個(gè) 6 和三個(gè) 7 組成，使得k =m是自然數(shù)，問(wèn) k 能取哪幾個(gè)自然數(shù)？說(shuō)n明你的理由.答：1.777666555444333222111,解：顯然k1.777666555444333222111假設(shè)存在這樣的 m 和 n，使得數(shù)m是一個(gè)大于 1 的自然數(shù)，則可設(shè)m= k

7、，nn故m =kn.兩邊分別除以 9,用數(shù)被 9 除的性質(zhì)知 m 和 n 被 9 除的余數(shù)均等于3(1 2 3 4 5 6 7)被 9 除的余數(shù)，即 84 被 9 除的余數(shù)，為 3.因此 3 與3k模 9 同余.由, m . 777666555444333222111k7，n 111222333444555666777及 m 和 n 不同(即k =1)推得k =4，即m=4 n.考慮數(shù) n 最低位的數(shù)字 7，當(dāng)把n 乘以 4 時(shí)，這個(gè)數(shù)字 7 的下一位（如果有）最多為 6,因此乘以 4 最多進(jìn)兩位， 這說(shuō)明 m 中對(duì)應(yīng)位的數(shù)字為 8 （下面不進(jìn)位,7X4=28 或 9 （下面進(jìn)一位）或 0 （

8、下 面進(jìn)兩位），這與 m 由三個(gè) 1、三個(gè) 2、三個(gè) 3、三個(gè) 4、三個(gè) 5、三個(gè) 6 和三個(gè) 7 組成相矛盾！即不存在滿足條件的 m 和 n.使得數(shù)m是一個(gè)大于 1 的自然數(shù)n所以，只有k =1.6.使得關(guān)于未知數(shù) x 的方程-x二k無(wú)解的自然數(shù) k 由小到大排成一9L3J行，其前 2011 個(gè) k 的值之和等于多少？解.k0123x1234213J0123設(shè)k =5m r, r = 0,1,2,3;令x = 6m p, p待定.從上表可知，P- =r,r =0,1,2,3,是有解的.因此，k =5m r, r= 0,123,（1）都有解.下面考慮k=5m-1.顯然，罟書(shū)海而對(duì)于0 : q：

9、1,上式對(duì)于任意0 : q a,根據(jù)a1 b題意即，貝U a b=，整理成正整數(shù)方程為 10n（b-a2）=ab.10 a從方程中可知a _ a2：b.因?yàn)?a 與 b 互質(zhì)，所以 b- a2與 ab 也互質(zhì).因?yàn)槿?b-a2與 ab 有公因子 p,那么 p 能整除 a（或能整除 b）,也能整除 b-a2, 從而 p 也能整除 b（或也能整除 a）,這樣，與題意最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（分子與分母互質(zhì)的分 數(shù)）矛盾.因此，互質(zhì)的 a 與 b 的積只能是10n與 1 的乘積或5n與2n的乘積兩種可能.若b =10n, a =1，這時(shí)b _a2=1；若 ab=10n=5 2n， b=5n,a = 2n,這時(shí) b-

10、a=1 得 5n-（2n）2= 1 ,即n5n- 2 i -1.因此，n 只能是 1 時(shí)才成立，即 a=2，b=5.最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為5.2二、解答題（共3題，每題10分，寫(xiě)出解答過(guò)程）4.將正整數(shù) 1, 2, 3, -，8 分別放置于正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)與相 鄰 3個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和稱為該頂點(diǎn)的 眾數(shù)”對(duì)每一種填法，都可以得到最大 眾 數(shù)”的與最小 眾數(shù)”的差，那么這個(gè)差至少等于多少.答：2解：首先考慮這樣的 8 個(gè)眾數(shù)能否全相等，如果能，因?yàn)樗鼈兊暮偷扔?144, 即（1 +2 + 3+_8）漢4 = 36匯4 =144，所以每個(gè)都等于 18，那么最大與最小的眾數(shù)之差就是 0.如果不能全相

11、等，為了求得最小可能值，如果有一個(gè)是19,那么相應(yīng)地得有一個(gè)是 17,（總和須等于 144）所以這個(gè)最小的可能值就不能小于19一17 =2這樣我們只要先證明 8 個(gè)眾數(shù)不能全相等，然后找出一種布法，其最大與最 小眾數(shù)之差等于 2,就可以斷定所求的這個(gè)最小值是 2.設(shè)頂點(diǎn)的編號(hào)為 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,如圖，記在頂點(diǎn) i 的數(shù)為 x，14 8,.這樣，頂點(diǎn) 1 的眾數(shù)為 x2x3X4;頂點(diǎn) 5 的眾數(shù)為 XiX5X6X8.若此二頂點(diǎn)的眾數(shù)相等，貝 U等于 14.問(wèn)這樣的三角形共有多少個(gè)？（三條邊長(zhǎng)分別對(duì)應(yīng)相等的三角形只算 1個(gè)）答：12 個(gè).解：設(shè)三角形三條邊長(zhǎng)分別為a,

12、b,c，由已知等式可得：2 2 2 a -b亠b -c亠a -c14.令a -b =m,b -c = n，貝a -c =m n，其中m,n均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)閙2 n2 mn = 7.由于m,n均為自然數(shù)，判斷易知，（m-n）2mn = 7= 3mn 乞 7.f m二2 f m二1因此，使得等式成立的 m , n 只有兩組：和 f .ln=1In =2（1）當(dāng) m= 2, n= 1 時(shí)，b=c+1,a=c+3 又 a, b, c 為三角形的三邊長(zhǎng)，所以b c a，即c 1 c . c 3，解得c . 2.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò) 28,即捲X2X4X5=捲X5X6X8=X2X4同樣地，頂

13、點(diǎn) 2 的眾數(shù)為 X1X2X3X6，頂點(diǎn) 4 的眾數(shù)為 X1X3X4Xs,若此二頂點(diǎn)的眾數(shù)相等，則X1x2x3x6二捲x3x4x8X2由上面得到的二式相加得2X2X8,即 x2=滄,這是不可能的.這就證明了 8 個(gè)眾數(shù)不能全相等 構(gòu)造一個(gè)擺放方式的圖例（見(jiàn)右圖）， 最大數(shù)和最小數(shù)的差等于 2,故最小差值等于 2.5.已知三角形邊長(zhǎng)都是整數(shù)，周長(zhǎng)不超過(guò)28，三個(gè)邊長(zhǎng)兩兩之差的平方和x6= x4X8a亠b亠c =3c亠4込28,解得c込8.因此 2：c 込8,所以 C 可以取值 3, 4, 5, 6,7, 8, 對(duì)應(yīng)可得到 6 個(gè)符合條件的三角形.(2)當(dāng)m =1,n =2時(shí)，b二c 2,a二c

14、3.a,b,c又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以b c a,即c 2 c . c 3.解得c 1.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò) 28 ,即23a b c 3 c 2 c 28,解得c冬一,因此1：c乞7,所以 c 可以取值 2, 3,34, 5, 6, 7,對(duì)應(yīng)可得到 6 個(gè)符合條件的三角形，且和(1)中得到的三角形不 同.綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)28 的三角形的個(gè)數(shù)為6 6 =12個(gè).6.求最小自然數(shù)k,使得對(duì)于任意正整數(shù)n, k個(gè)奇數(shù)2n+1,2n+3,n+2k-1 中至少有一個(gè)數(shù)，不能被 3, 5, 7, 11 中的任何一個(gè)整除.解試驗(yàn)可知，我們有 6 個(gè)奇數(shù):115,117,119,121,1

15、23,125 它們中每一個(gè)都可 以被 3,5,7,11 中的一個(gè)或幾個(gè)數(shù)整除.所以,k6.對(duì)于任意的正整數(shù) n,當(dāng) k6 時(shí)，取前 7 個(gè)數(shù)：2n+1,2n+3,.2n+13(1)由于 2個(gè)能被 3整除的奇數(shù)之差，不小于 6; 2個(gè)能被 5整除的奇數(shù)之差，不小于 10;2 個(gè)能被 7 整除的奇數(shù)之差，不小于 14; 2 個(gè)能被 11 整除的奇數(shù)之差，不小于 22. 因此，(1)中能被 3 整除的數(shù)最多有 3 個(gè)，且只能是 2n+1, 2n+7, 2n +13.(1)中能被 5 整除的數(shù)最多有 2 個(gè)，且只能是 2n+1,2n+11 或者 2n+3, 2n +13;(1)中能被 7 整除的數(shù)最多有 1 個(gè)；(1)中能被 11 整除的數(shù)最多有 1 個(gè).下面證明(1)中能被 3 或 5 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò) 4