圓冪定理——老師用

1、切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 切線長概念切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間的線段的長度,“切線 長是切線上一條線段的長,具有數(shù)量的特征,而“切線是一條直線,它不可以度 量長度2. 切線長定理對丁切線長定理,應(yīng)明確1假設(shè)圓的兩條切線相交,那么切線長相等； 2 假設(shè)兩條切線平行,那么圓上兩個切點的連線為直徑； 3經(jīng)過圓外一點引圓的兩條 切線,連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；4經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線,切 線的火角與過切點的兩個半徑的火角互補(bǔ)；5圓外一點與圓心的連線,平分過這點 向圓引的兩條切線所夾的角A3. 弦切角：頂點在圓上

2、,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角.直線AB切丁 P, PG PD為弦,圖中幾個弦切角呢？四個4. 弦切角定理：弦切角等丁其所夾的弧所對的圓周角5. 弄活和圓有關(guān)的角：圓周角,圓心角,弦切角,圓內(nèi)角,圓外角.6. 遇到圓的切線,可聯(lián)想“角弦切角,“線切線的性質(zhì)定理及切線長定理.7. 與圓有關(guān)的比例線段結(jié)論證法00中,AB CD為弦,PAPB=連結(jié) AC、BD,證:交于 P.PC PD APA DPB00中,AB為直徑,Cd AB丁 P.PC= PA PB用相交弦定理.切割線 定理00 中,PT切00 丁 T, PT2= PA PB 割線PB交00 丁 A連結(jié)TA、TB,證: PTEA PATP

3、B PD為頃的兩條割PAPA PCPD過P作PT切頃于T,線,交00 丁 A、用兩次切割線定理圓籍定r, .中,割線PB交00 P'C - P'D = r2 延長P'O交00 丁 M.一.、? 一、O、一.丁 A, CD為弦OP'2延長 OP'交00 丁 N,PAPA OP r2用相交弦定理證；過P r為00的半徑 作切線用切割線定理勾股定理證8.圓籍定理：過一定點P向00作任一直線,交00 丁兩點,那么自定點P到兩交點的 兩條線段之積為常數(shù)|.烈-弟| R為圓半徑,由于.U-薩叫做點對丁頃 的籍, 所以將上述定理統(tǒng)稱為圓籍定理.【典型例題】例1.如圖1

4、,正方形ABCD勺邊長為1,以BC為直徑.在正方形內(nèi)作半圓 .,過A作半 圓切線,切點為F,交CD丁 E,求DE AE的值.解：由切線長定理知：AF= AA 1, EF= CE設(shè)CE為x,在Rt ADE中,由勾股定理 5,35- q,.路 A£=-= 3= 544例2. 00中的兩條弦 AB與CD相交丁 E,假設(shè)AE= 6cn BE2cm CE>7cm那么CLcmD解：由相交弦定理,得AE BECE DE. AE 6cm BE 2cm, CE> 7cm, DE=CD-CE=1-CE .62 = CE(1-CE)即供妃7的十12二0. . CE 3cm或 CE 4cm故應(yīng)填

5、3或4.點撥：相交弦定理是較重要定理,結(jié)果要注意兩種情況的取舍例3.PA是圓的切線,PCE®圓的割線,那么 庭：且* =契 解：Z P= / PZ PA孚 Z B,APA(A PBAAB _ PB.而二瓦,AB2 PB1. W 脂.y. PA是圓的切線,PCB圓的割線,由切割線定理,得 前三物 PC心_ 前 _ FB一 W ,一 L4即逆月"C故應(yīng)填PG點撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形,推出所需結(jié)論.例4.如圖3, P是00外一點,PC切00 丁點C, PAB是的割線,交00 丁 A、B兩 點,如果PA PN 1: 4, PO 12cm.的半徑為10cm那么圓心O到

6、AB的距離是 cmpm圖3解：PC是OO的切線,PAB是OO的割線,且PA PA 1: 4PA 4PA乂 . PO 12cm由切割線定理,得"=曷F . .宓二 36 ,-頊=8伽i) PA4X6= 24 (cm)AA 24-6= 18 (而設(shè)圓心.到AB距離為d cm,由勾股定理,得d =山一-J=而s故應(yīng)填.例5.如圖4, AB為00的直徑,過B點作00的切線BC OC交00 丁點E, AE的延長 線交BC丁點D, (1)求證： 序 =S*宮；(2)假設(shè)AA BO2厘米,求CE CD的 長.B DC圖4點悟：要證 ,即要證 CESzX CBE證實：(1)連結(jié)BEBC&O的

7、切線 n 匕4二 ACBE'OA=QE £A= OEA > n /LCED = £CBE 匕OSA二匕睥CNt；公用角cs=> = => CE2 =CB * CDcd as,= 9CT如二 2 n OB 二 1EC 2如為直徑旦0 em也iOS = 1 Jnee 二估-1.又.國=s* *,.以-1史2力=8=0出厘米.點撥：有切線,并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線,為利用弦切角定理創(chuàng)造條件.例6.如圖5, AB為.0的直徑,弦CD/ A己AE切00 丁 A,交CD的延長線丁 E求證：* =心睫證實：連結(jié)BD. AE切頃于A,. .Z EA孚 Z AB

8、D. AA己乂 AB/ CD ACD. AB為OO的直徑. .Z AD手 90°. .Z E=Z AD手 90° AADIAB ADAD DEaKHd. . . CD/ AB c c/- AD=C A4 BC 例7.如圖6, PA PC切OO 丁 A、C, PDB為割線.求證：ADBOCDAB點悟：由結(jié)論ADBOCDAB得無態(tài),顯然要證 PAIAPBAffiAPCAPBC 證實：PA切00 丁 A, . .Z PA4Z PBA乂Z AP孚 Z BPAAPAIA PBA& =竺AB'AF同理可證 PCIA PBCCT PDldpcPA PC分別切OO 丁 A、

9、CP住 PCAS - BC AD BO DC AB例8.如圖7,在直角三角形ABC中,ZA= 90° ,以AB邊為直徑作O O,交斜邊BC丁 點D,過D點作的切線交AC于E.求證：BB 2OE點悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證 0£是/ ABC的中位線.而OX OB只須證AE= CE 證實：連結(jié)0I. A如AB, AB為直徑 AC為00的切線,乂 DE切00 丁 D E住 ED.饑 DE. 0氏 0D 二 Z B=Z ODB在 Rt ABC中,ZO90° -ZB. Z ODE 90°. _m " -二 Z OZ EDC EE> EC AA ECO

10、EMA ABC的中位線BO 2OE例9.如圖8,在正方形ABCg, AN 1,是以點B為圓心,AB長為半徑的圓的一段弧.點E是邊AD上的任意一點點E與點A、D不重合,過E作足匚所在圓的切線, 交邊DCT點F, G為切點.當(dāng)ZDE巳45°時,求證點G為線段EF的中點;解：由Z DE巳45° ,得ZDFE 50° - 2D&F 二 45“. .Z DFJ DEF DE DF乂 . AE> DC AA FC由于AB是圓B的半徑,AEUA己所以AD切圓B丁點A;同理,CD切圓B丁點G乂由于EF切圓B丁點G 所以AE= EG FA FG因此E8FG即點G為線段

11、EF的中點.【模擬試題】做題時間：40分鐘-、選擇題1.：PA PB切CDO 丁點A、B,連結(jié)AB,假設(shè)AA8,弦AB的弦心距3, WJ P住20A.-2. 以下圖形一定有內(nèi)切圓的是A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形3. ：如圖1直線MNOO相切丁 C, AB為直徑,/ CA手40°,那么/ MCA勺度數(shù)B.253C. 5D. 8AQ圖1B. 40°B. 10cm C. 12cmD. 16cm5.在 ABC中,D是BC邊上的點,ad2騰,b> 3cn DA 4cm 如果E是ADC. 60A. 50°D. 554.圓內(nèi)兩弦相交,一弦長8cm且被交點平分,另

12、一弦被交點分為1: 4,那么另一弦長 為A. 8cm的延長線與ABC的外接圓的交點,那么DE長等丁A.B.C.nL 山D."尸6. PT 切OO 丁 T, CT為直徑,D為OC上一點,直線PD交00 丁 B和A, B在線段PD上,假設(shè) C>2, AE>3, BE>4, WJ PB等于A. 20 B. 10C. 5D.二、填空題7. AB CDOO切線,AB/ CD EF是OO的切線,它和AB CC別交丁 E、F,那么/ EOR 08. ：OO和不在OO上的一點P,過P的直線交OO 丁 A、B兩點,假設(shè)PAPB=24, OA5,那么OO的半徑長為 o9. 假設(shè)PA為O

13、O的切線,A為切點,PBCffl線交OO 丁 8 C,假設(shè)BO 20,殉=1.仍,那么PC的長為 o10. 正ABC內(nèi)接丁OO, M N分別為AB AC中點,延長 MNftOO 丁點D,連結(jié)BPC _交AC丁 P,那么用 o三、解做題11.如圖2, ZXABC中,AO2cm 周長為8cm F、K、N是 ABCt內(nèi)切圓的切點, WOO 丁點M 且DE/ AC 求DE的長.圖212.如圖3,P為00的直徑AB延長線上一點,PCW0 丁 C, C8AB丁 D,求 證：CBW/ DCP圖313.如圖4,AD為00的直徑,AB是00的切線,過B的割線BM般AD的延長 線丁 C,且B岷M NC假設(shè)AB,求CD.的半徑.uN圖4【試題答案】-、選擇題1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A、填空題7. 908. 19. 3010.解做題：11. 由切線長定理得 BDE周長為4,由zBDMzBAG得 DE 1cm12. 證實：連結(jié)AG M A如CBDA. CdA己AACIACDB 二 ZA=Z1PC為OO 的切線,Z A=Z 2, 乂