規(guī)律性問題教師版

1、 講義是樂譜，學生是聽眾，老師是指揮家，每一節(jié)課都是一篇樂章，老師您辛苦了！   學而思講義編寫組 第十四講 規(guī)律性問題 編寫說明 規(guī)律性問題和周期性問題緊密相連，我們在暑假的第二講將對周期性問題進行學習，加之這是考試前的最后一講，所以題量將稍稍減少. 教師可在此多多調(diào)動孩子們的積極性，讓他們自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并解答問題.您如果有時間，也可以對于本班比較薄弱的環(huán)節(jié)進行強化，幫助孩子們更加深刻的理解原由，鞏固相應(yīng)階段應(yīng)該掌握的內(nèi)容，在期末考試中取得一個比較滿意的成績.同時預(yù)祝各位老師的教學效果更上一層樓！身體健康！幸福快樂！ 內(nèi)容概括無論是在奧數(shù)的學習中，還是在日常生活中，我們都

2、會發(fā)現(xiàn)很多很多規(guī)律，它可以幫助我們更好的認識問題.特別是在奧數(shù)學習中，一些數(shù)列、數(shù)陣的排列，圖形周長、面積的變化、龐大數(shù)字的計算等等都有一定的規(guī)律.只有經(jīng)過觀察、思考和試算，發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)、圖形與圖形相互之間的關(guān)系，才能得到題目的答案. 同學們，通過學習，希望你在平時多積累，多歸納，善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)一些規(guī)律，因為學會發(fā)現(xiàn)往往比學會幾道題目重要得多. 例題精講 【例1】 （清華附中培訓試題）右圖的圖案表示一個花圃的設(shè)計方案，漢字表示每盆花的顏色，請問第7行第5盆花的顏色？第20行第5盆花的顏色？ （從左往右計數(shù)）分析：從上往下，從左至右，排列周期是：紅、藍、白、黃 ；第7行第5盆花的顏色：1+2+3+

3、4+5+6+5=26（盆），26÷4=62，所以是藍色；第20行第5盆花的顏色：1+2+19+5=195，195÷4=483，所以是白色的.【前鋪】流水線上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，再1個白，然后又依次是5紅、4黃、3綠、2黑、1白如此繼續(xù)涂下去，到第1993個小球該涂什么顏色？在前1993個小球中，涂黑色的小球有多少個？分析:根據(jù)題意，小木球涂色的次序是：“5紅、4黃、3綠、2黑、1白”，也就是每涂過“5紅、4黃、3綠、2黑、1白”循環(huán)一次.這里，給小木球涂色的周期是：54321=15.1993÷15=13213，第1993

4、個小球出現(xiàn)在上面所列一個周期中第13個，所以第1993個小球是涂黑色。每個周期黑球共有2個，則一共有2×1321=265（個）.【例2】 （小學數(shù)學奧林匹克決賽）有-列數(shù)1，1989，1988，1，1987，從第三個數(shù)起，每-個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差.那么第1989個數(shù)是 .分析：數(shù)列1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，中每隔3個數(shù)有-個1，去掉1以后，每個數(shù)比前一個少1. 1989÷3=663，所以第1989個數(shù)是1989663×2+1664 .【鞏固】（迎春杯決賽）如果按-定規(guī)律排出的加法算式是：3+4，5+9，

5、7+14，9+19，11+24，.那么，把各個算式中前后兩個加數(shù)分別排到第10個就是 和 ；第80個算式就是 .分析：講解此題之前教師可根據(jù)本班情況對等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)進行適當回憶鞏固.各算式中前面的加數(shù)依次排成-個首項是3、公差為2的等差數(shù)列；各算式中后面的加數(shù)依次排成-個首項是4、公差是5的等差數(shù)列.因此，第10個算式的前-個加數(shù)是3+2×(10-1)=21，后-個加數(shù)是4+5×(101)=49；類似地，第80個算式是161+399.【例3】 （迎春杯決賽）已知-串有規(guī)律的數(shù)：那么，在這串數(shù)中，從左往右數(shù)，第10個數(shù)是 .分析：每個分數(shù)的分子等于前-個分數(shù)的分母加分子；

6、每個分數(shù)的分母等于分子加前-個分數(shù)的分母，所以第6、7、8、9、10個分數(shù)依次為：【鞏固】（華羅庚金杯賽）一列數(shù)：0、1、1、2、4、7、13、A、從左至右具有一定的排列規(guī)律，那么A可以是四個數(shù)22、23、24、25中的一個數(shù)，這個數(shù)是？分析：從第四個數(shù)開始，每個數(shù)都等于前面三個數(shù)之和，所以A=4+7+13=24 .【例4】 （從小愛數(shù)學邀請賽）在一串分數(shù)：（1）是第幾個分數(shù)？（2）第400個分數(shù)是幾分之幾？分析：（1）分母為1、2、3、4、5的分數(shù)分別有1個、3個、5個、7個、9個、.1+3+5+7+9+11+13+15+17+7=88，88+2×(10-7)=94，所以是第88、

7、94個分數(shù).（2）1+3+(2×201)=400 ，所以，第400個分數(shù)是.【例5】 （迎春杯決賽）真分數(shù)化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點后第一位數(shù)字開始連續(xù)若干個數(shù)字之和是1992.那么a=_.分析：因此，真分數(shù)化為小數(shù)后，從小數(shù)點第一位開始每連續(xù)六個數(shù)字之和都是：1+4+2+8+5+7=27，又因為1992=27×73+21，并且8+5+7+1=21，所以=，即a=6 .【例6】 一串數(shù)按下面規(guī)律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，問從左面第一個數(shù)起，數(shù)（sh）100個數(shù)，這100個數(shù)的和是多少？分析：（法1）：觀察題中這一串數(shù)，容易想到把它們?nèi)齻€三個地分組如

8、下：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），可以發(fā)現(xiàn)這串數(shù)的排列有這樣的規(guī)律：第1、2、3、組中第一個數(shù)依次為1，2，3，每一組數(shù)都是由3個連續(xù)自然數(shù)組成，它們的和等于中間一個數(shù)的3倍。100÷3=331，也就是說，第100個數(shù)在第34組中，并且是34.求前100個數(shù)的和，就是求前33組數(shù)的和與34的和是多少。所以和為：2×33×34×334×334=1816 .（法2）：解法中利用分組的思想，（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），部分學生會選擇每組第一個數(shù)相加得：1+2+3+33=561, 那

9、么總和即為561×3336634=1816.可先講此法，再提出中位數(shù)（中間數(shù)字）或者平均數(shù)的方式講解原解.【例7】 （迎春杯初賽試題改編）按規(guī)律排列的-串數(shù)：2、5、9、14、20、27、，這串數(shù)的第2007個數(shù)是多少？分析：講解此題之前，教師不妨幫助學生回憶下面一道題目，注意運用下題中解決問題的畫圖分析法.【前鋪】你還記得怎樣找出下列數(shù)列的規(guī)律么？請你根據(jù)規(guī)律填數(shù)。（1）2、3、5、8、12、（ ）、23 （2）0、2、6、12、20、（）、42分析：（1）學生一定要掌握這種畫圖找數(shù)字規(guī)律的方法.（2）法一：法二 ：原數(shù)列可以這樣看：0×1、1×2、2×

10、;3、3×4、4×5、（5×6）、6×7，其實，有許多數(shù)列的規(guī)律不止一種，只要你用心做，總能找到一種規(guī)律的.原題解答：我想有了上題的鋪墊，學生們都恍然大悟，但是要一項一項的寫到第2007個數(shù)就太恐怖了，那么我們有沒有一個好的辦法解決這個問題呢？我們一起來看看：第一項=2 ；第二項=5=2+3；第三項=9=2+3+4；第四項=14=2+3+4+5；第五項=20=2+3+4+5+6；第2007項=2+3+2008=1005×2007=2017035 .一定要幫助學生體會思路，掌握研究問題的方法.【例8】 有一個正六邊形點陣，如右圖，它的中心是一個點

11、，算作第一層；第二層每邊兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊三個點，這個六邊形點陣共100層。問這個點陣共有多少個點？ 分析 ：首先要搞清從第二層起各層點數(shù)的規(guī)律，第二層6個點；第三層12個點；第四層18個點；第100層的點數(shù)是：6×99， 這個點陣的點數(shù)為：1+612186×9916×(123+99)29701(個)?！纠?】 把自然數(shù)依次排成以下數(shù)陣：1，2，4，7，3，5，8，6，9，10，如果規(guī)定橫為行，縱為列.（如8排在第2行第3列）求：（1）第10行第5列排的是哪個數(shù)？（2）第5行第10列排的是哪個數(shù)？分析：這個問題可以從兩個方面找規(guī)律.（1）第一

12、行是：1，2，4，7，11，；它們相鄰兩個數(shù)之差是1，2，3，4，5，.第二行是：3，5，8，12，；它們相鄰兩數(shù)之差是2，3，4，5 ，列也有類似的規(guī)律.這樣，第10行第一列的數(shù)應(yīng)是：12341055 . 又因為第10行中，相鄰兩數(shù)的差依次是：10，11，12，13，.所以，第10行第5列的數(shù)是：5510111213101.第5行第10列的數(shù)是：（12345）（5678910111213）96 .以上是先考慮行，再考慮列，也可以先考慮列，再考慮行.解答規(guī)律性問題，關(guān)鍵是找出規(guī)律；要找規(guī)律，就要靠細致的觀察和認真的比較、分析.有時還必須先考慮幾個簡單的問題，作一些簡單的試算，才能找到規(guī)律.當然

13、，找到規(guī)律后最好再多舉幾個例子驗證一下，因為從少數(shù)幾個例子中得出的結(jié)論，有時不太可靠.做完一道題后，最好再想一想，根據(jù)這道題隱藏的規(guī)律，能否提出一個新問題？【例10】 在下面的一串數(shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字.那么在這串數(shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”？ 135761939237134分析：無休止地將這串數(shù)寫下去，顯然不是聰明的做法.按照找一周期的方法，因為這個周期很長，所以也不是好方法.那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串數(shù)依次寫出來，得到：奇奇奇奇

14、偶奇奇奇奇偶奇，可以看出，這串數(shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”.【例11】 如右圖，每個小正方形的邊長都是1厘米，圖中的1、2、3、4分別表示折線的第1、2、3、4段。求折線中第1994、2007段的長度。分析：觀察圖中的折線，發(fā)現(xiàn)兩條規(guī)律：（1）第2段、第4段、第6段的長度依次為1厘米、2厘米、3厘米.也就是說，偶數(shù)段的長度（厘米數(shù)）是這段序號的一半；（2）第1段比第2段、第3段比第4段、第5段比第6段的長度都長1厘米.1994÷2=997（厘米），2008÷2=1004，第2007段的長度：1004+1

15、=1005（厘米）.【例12】 （迎春杯決賽）自然數(shù)按從小到大的順序排成螺旋形.在2處拐第-個彎，在3處拐第二個彎，在5處拐第三個彎問拐第二十個彎的地方是哪-個數(shù)? 分析：這是一個十分經(jīng)典的題目，法1是參考書上的解答，其解答固然巧妙，幫助孩子拓寬眼界，但卻沒什么頭緒去找到這樣一個辦法，法2將給大家介紹一個“通用”的思路，它能幫助你解決更多的問題.（法1）：過1畫-條橫線，拐彎，畫豎線；再拐彎，畫橫線；.到第二十個拐彎處，共有11條豎線，10條橫線.其中的數(shù)共11×10+1=111，即拐第二十個彎的地方是111.（法2）：先把拐角處數(shù)字找出來，觀察規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)（利用畫圖法分析差值，發(fā)

16、現(xiàn)此規(guī)律）：拐角1 = 2 = 1+1 ；拐角2 = 3 = 1+1×2 ；拐角3 = 5 = 1+1×2+2 ；拐角4 = 7 = 1+1×2+2×2=1+（1+2）×2 ；拐角5 = 10 = 1+（1+2）×2 +3 ；拐角6 = 13 = 1+（1+2+3）×2 ；拐角7 = 17 = 1+（1+2+3）×2+4 ；拐角8 = 21 = 1+（1+2+3+4）×2 ；拐角9 = 26 = 1+（1+2+3+4）×2+5；依照此規(guī)律，我想同學們一定能寫出第20項=111，但是你能寫出第20

17、07項嗎？聰明的同學會發(fā)現(xiàn)偶數(shù)項的規(guī)律比較明顯，我們可以寫出第2006項=1+（1+2+1003）×2=1007013，所以第2007項=1007013+1004=1008017. 附加題目【附1】（全國奧林匹克競賽）有一個橫2000格、豎1000格的矩形方格紙，現(xiàn)從它的左上角開始向右沿著邊框逐格涂色到右邊框，再從上到下逐格涂色到底邊框，再沿底邊框從右到左逐格涂色到左邊框，再從下到上逐格涂色到前面涂色過的方格，如此一直螺旋式地涂下去直到將所有方格都涂滿那么，最后被涂的那格是從上到下的第幾行，從左到右的第幾列？ 分析：如右圖所示，順時針涂完第1圈后，有兩行兩列被涂了色，下一個要涂色的是

18、第2行第2列的方格涂完第499圈后，有998行998列被涂了色，剩下2行1002列未被涂色最后一圈從500行500列開始，到501行500列結(jié)束【附2】（華杯賽復(fù)賽）將自然數(shù)按如下順次排列：1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 10 12 11 在這樣的排列下，3排在第二行第-列，13排在第三行第三列，問：1993排在第幾行第幾列?分析：奇數(shù)斜行中的數(shù)由下向上遞增，偶數(shù)斜行中的數(shù)由上向下遞增.第n斜行中最大的數(shù)是：=n(n+1)，第62斜行中最大的數(shù)是×62×63=1953.第63斜行中最大的數(shù)是1953+63=2016，所以1993位于第63斜

19、行.第63斜行中數(shù)是由下向上遞增，左邊第一個數(shù)字是1954.因此，1993位于第63斜行由上向下數(shù)第(19931954+1)=40位.即原陣列的第(6340+1)=24行，第40列.【附3】（04數(shù)學科普電視賽）在圓周上一條直徑的兩端填上數(shù)1與2，第一次將兩端兩數(shù)的和1+2=3填在圓弧的中點，如右圖所示；第二次將每段圓弧兩端兩數(shù)的和1+3=4，2+3=5填在這段圓弧的中點；第三次再將每段圓弧兩端兩數(shù)的和1+4=5，3+4=7，3+5=8，5+2=7，填在這段圓弧的中點如此繼續(xù)下去，當?shù)?次填完數(shù)之后，圓周上所有數(shù)的和是多少? 分析：每次新填上的數(shù)之和是這次填之前圓周上所有數(shù)之和的2倍，也就是說

20、，每次填完后所有數(shù)之和是上次填完后所有數(shù)之和的3倍一開始的兩數(shù)之和是1+2=3填完8次后所有數(shù)之和是：（1+2）×3××3（8個3）=19683 .【附4】（小數(shù)報數(shù)學競賽）有50個同學，頭上分別戴有編號為1，2，3，49，50的帽子他們按編號從小到大的順序，順時針方向圍成一圈做游戲：從1號同學開始，按順時針方向“1，2；1，2；”地報數(shù)，接著報“1”的同學全部退出圓圈，報“2”的同學仍留在圓圈上比如，當編號為49的同學(報“1”)退出后，編號為50的同學(報“2”)留下；然后輪到編號為2的同學報“1”，他退出，編號為4的同學報“2”，他留下這樣接看報下去當圓圈上

21、只剩下一個人時，這位同學帽子上的編號是幾? 分析：從簡單情況入手找規(guī)律，是小于人數(shù)的最大的2n ，所以這位同學帽子上的編號是32 .習題十四1（華羅庚學校五年級入學考試試題）從算式1998÷8991的除數(shù)和被除數(shù)中各劃去兩個數(shù)字,使得新算式的結(jié)果盡可能小,那么該結(jié)果小數(shù)點后第1998位數(shù)字是多少? 分析:被除數(shù)劃去兩個數(shù)字最小是18,除數(shù)劃去兩個數(shù)字最大是99,18÷99=0.1818,1998÷2正好整除,所以小數(shù)點后面1998位是8.2（07年5年級希望杯培訓試題）右面四圖是由四個簡單圖形A、B、C、D(線段與圓)組合(記為*)而成.根據(jù)規(guī)律畫出表示A*D的圖

22、形.分析：比較A*B，B*C，C*D，B*D可知，A表示豎線段，C表示橫線段，B表示大圓，D表示小圓.所以表示A*D的是小圓加一豎線.3將1-100的自然數(shù)按下面的順序排列：問正方形里的9個數(shù)和是90，能否照這樣框出9個數(shù)，使它們的和分別是170、216、630？分析：首先先觀察9個數(shù)的特點.上下兩個數(shù)的平均數(shù)是10，左右兩個數(shù)的平均數(shù)也是10，對角線的平均數(shù)還是10.說明10是這九個數(shù)的平均數(shù)，它們的和就是90.從這里可以看出，用3×3的正方形框出來的9個數(shù)的和一定是9的倍數(shù).170不是9的倍數(shù)，所以不可能和是170。225和630都是9的倍數(shù)，是不是這兩個數(shù)都可以呢？可以發(fā)現(xiàn)，排

23、在最左邊一列和最右邊一列上的數(shù)，不能做這9個數(shù)的平均數(shù)，因為畫不出正方形。216和630÷9分別等于24和70，這兩個數(shù)分別在哪一列呢？8個一循環(huán)，24÷8=3，正好在最右邊一列，所以畫不出來.而70÷8=86，余數(shù)是6，排在第6列，所以能畫出來.4有一個數(shù)列：1，2，3，5，8，13，.（從第3個數(shù)起，每個數(shù)恰好等于它前面相鄰兩個數(shù)的和）求第1993個數(shù)被6除余幾？（這道題需要你耐心解答呦）分析：如果能知道第1993個數(shù)是哪個數(shù)，問題很容易解決?？墒且龅竭@一點不容易。由于我們所研究的是“余數(shù)”，如能構(gòu)造出數(shù)列各項被6除，余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，問題也可以得到解決。根據(jù)

24、“如果一個數(shù)等于幾個數(shù)的和，那么這個數(shù)被a除的余數(shù)，等于各個加數(shù)被a除的余數(shù)的和再被a除的余數(shù)”。得到數(shù)列各項被6除，余數(shù)組成的數(shù)列是：1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5， ，觀察規(guī)律，發(fā)現(xiàn)到第25項以后又重復(fù)出現(xiàn)前24項.呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律.一個周期內(nèi)排有24個數(shù).（余數(shù)數(shù)列的前24項），1993÷24831.第1993個數(shù)是第84個周期的第1個數(shù)，因此被6除是余1.5如右圖，（1）根據(jù)規(guī)律，找出（1）中第14行，從右往左第2個數(shù)；（2）根據(jù)規(guī)律，找出（2）中第14行，從右往左第2個數(shù)。分析：（1）1+14=105，所以從右往左第2個數(shù)是104