4托勒密定理與西姆松定理

1、僅供參考 4 托勒密定理與西姆松定理 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積（兩對(duì) 角線所包矩形的面積）等于兩組對(duì)邊乘積之和（一組對(duì)邊所包矩形的 面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和）. 即：定理：在四邊形 ABCD 中，有：AB CD AD BC 一 AC BD 證：在四邊形 ABCD 內(nèi)取點(diǎn) E,使.BAE CAD, . ABE = . ACD AB BE 貝 y： . ABE 禾 ACD 相似. 二 二 AB CD 二 AC BE AC CD 又；空=竺 且丄 BAC =NEAD 二 ABC 禾口 AAED 相似 AC AD BC ED AD BC = AC ED

2、AC AD .AB CD AD BC = AC （BE ED） AB CD AD BC _ AC BD 且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) E 在 BD 上時(shí)成立，即當(dāng)且僅當(dāng) A B、C、D 四點(diǎn)共圓時(shí)成立； 一、 直接應(yīng)用托勒密定理 -I f尹 例 1、如圖 2,P 是正 ABC 外接圓的劣弧上任一點(diǎn)（不與 B、C 重合）， 求證：PA=P+ PC 分析：此題證法甚多，一般是截長(zhǎng)、補(bǔ)短，構(gòu)造全等三角形，均為繁冗. 若借助托勒密定理論證，則有 PABC 二二 PBAC+ PC-AB, vAB=BC=AC PA=PB+PC 二、 完善圖形借助托勒密定理 例 2、證明“勾股定理”：在 Rt ABC 中，/ B=90

3、， 證明：如圖，作以 Rt ABC 的斜邊 AC 為一對(duì)角線的矩形 是圓內(nèi)接四邊形.由托勒密定理有 AC - BD=AB CE+ AD- BC. 又 v ABCD 是矩形， AB 二二 CD AD=BC AC=BD 把代人，得AC二二AB + BC. 例 3、如圖，在 ABC 中，/ A 的平分線交外接圓于 求證：AD- BC=BD（A+AC）. 證明：連結(jié) CD 依托勒密定理有 AD - BC= AB- CDAC- BD vZ 仁/ 2，二 BD=CD 故 AD - BC=AB BD AC- BD=BD（A+AC）. 三、 構(gòu)造圖形 借助托勒密定理 、, 2 2 2 2 _ 例 4 若 a、

4、b、x、y 是實(shí)數(shù)，且 a + b =1，x + y =1 .求證：ax+ by ABC 的邊 BC 上的中線，直線 CF 交 AD 于 F。 AE_ 2AF 求證：一 1_。 2 .過(guò) ABC 的重心 G 的直線分別交 AB AC 于 E、F, BE CF , 1 交 CB 于 D。求證： 。 3. D E、F 分別在 ABC 的 BC CA AB 邊上， BD AF CE 弋 DC FB EA_ , AD、BE、CF 交成 LMN 求 SALMN。 4 .以 ABC 各邊為底邊向外作相似的等腰 BCE CAF ABG 求證：AE BF、CG 相交于一點(diǎn)。 5. 已知正七邊形 AAAAAAA

5、。求證：r一一 一 。 6. AABC 的 BC 邊上的高 AD 的延長(zhǎng)線交外接圓于 P,作 PE!AB 于 E,延長(zhǎng) ED 交 AC 延長(zhǎng)線于 F。求證： BC- EF=BF- CE+BE CR 7. 正六邊形 ABCDE 的對(duì)角線 AC CE 分別被內(nèi)分點(diǎn) 比為 AM AC=CN CE=k 且 B M N 共線。求 k 8. OABC 內(nèi)一點(diǎn)，分別以 da、db、de表示 0 到 BC CA AB 的距離，以 R、R、R 表示 0 到 A、B、C 的距離。 求證：（1） a Rab d b+c dc; （2） a （3） R 9. AABC 中, H 求證：H G A 9 o M N 分成

6、的 （23-IMO-5） Rac db+bdc； a+R+R 2（d a+db+dc）。 G O 分別為垂心、重心、外心。 O 三點(diǎn)共線，且 HG=2GQ （歐拉線） E、F、 10.OO1和OO2與 ABC 的三邊所在直線都相切， G、H 為切點(diǎn)，EG FH 的延長(zhǎng)線交于 P。求證：PAL BG 11.如圖，在四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 平分/ BAD 在 CD 上取一點(diǎn) E, BE 與 AC 相交于 F,延長(zhǎng) DF 交 BC 于 G 求證：/ GACh EAC AE DC EFj 1. 分析：CEF 截 ABM 二 評(píng)注：也可以添加輔助線證明：過(guò) 作 CF 的平行線。 2. 分析：

7、連結(jié)并延長(zhǎng) AG 交 BC 于 M BE AG MD_（ （梅氏定理） A B、D 之一 則M 為BC的中點(diǎn)。 DEG 截 ABM - CF - （梅氏定理） AG MD- GM DC=（梅氏定理） DGF 截厶ACM亠 BE CF GM (DB+DQ GM-2MD ._=一丄一=m =1 A B J 僅供參考 評(píng)注：梅氏定理 3. 梅氏定理 4. 塞瓦定理 5. 評(píng)注：托勒密定理 6. 評(píng)注：西姆松定理（西姆松線） 7. 評(píng)注：面積法 8. 評(píng)注：面積法 9. 評(píng)注：同一法 10. 評(píng)注：同一法 11. 證明：連結(jié) BD 交 AC 于氣對(duì)厶 BCD 用塞瓦定理，可得 因?yàn)?AH 是/ BAD 的角平分線，由角平分線定理， BH _ AB CG AB 蘭“ 可得 亠，故三一匚 。 過(guò) C 作 AB 的平行線交 AG 的延長(zhǎng)線于 I，過(guò) C 作 AD 的 CG _ CI DE_ AD 平行線交AE的延長(zhǎng)線于J。貝 y T_ZTu , CI