第二節(jié)簡單的線性規(guī)劃

1、第二節(jié)簡單的線性規(guī)劃高考試題考點(diǎn)一 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 1.(2012年福建卷,文10)若直線y=2x上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為()(A)-1(B)1 (C)(D)2解析:由題意知,先把確定的兩條邊界直線劃出,再畫出直線y=2x,由確定的區(qū)域如圖所示,由圖可知,若直線y=2x上存在點(diǎn)滿足約束條件,實(shí)數(shù)m的最大值應(yīng)為1.故選B.2.(2009年安徽卷,文3)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()(A)(B)(C) (D)解析:不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域,如圖所示,故得A(1,1),B(0,4),C（0,）,SABC=××1

2、=.故選C.答案:C3.(2010年北京卷,文11)若點(diǎn)P(m,3)到直線4x-3y+1=0的距離為4,且點(diǎn)P在不等式2x+y<3表示的平面區(qū)域內(nèi),則m=. 解析:點(diǎn)P到直線4x-3y+1=0的距離d=4,解得m=7或m=-3,又點(diǎn)P在2x+y<3表示的平面區(qū)域內(nèi),故m=-3.答案:-3考點(diǎn)二 線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題 1.(2013年福建卷,文6)若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值和最小值分別為()(A)4和3(B)4和2(C)3和2(D)2和0解析:畫出可行域(如圖中陰影部分),由圖象可知,當(dāng)y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)B(2,0)時,zmax=4;當(dāng)y=

3、-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)時,zmin=2.故選B.答案:B2.(2013年陜西卷,文7)若點(diǎn)(x,y)位于曲線y=|x|與y=2所圍成的封閉區(qū)域,則2x-y的最小值是()(A)-6(B)-2(C)0 (D)2解析:作出y=|x|=和y=2圍成的封閉區(qū)域如圖陰影部分所示,作直線y=2x,向上平移到交點(diǎn)A(-2,2)時,2x-y取得最小值-6,故選A.答案:A3.(2013年新課標(biāo)全國卷,文3)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x-3y的最小值是()(A)-7(B)-6(C)-5(D)-3解析:由約束條件作出可行域如圖中陰影區(qū)域.將z=2x-3y化為y=x-,作出直線y=x并平移使之經(jīng)過可行域,易知

4、直線經(jīng)過點(diǎn)C(3,4)時,z取得最小值,故zmin=2×3-3×4=-6.故選B.答案:B4.(2013年四川卷,文8)若變量x,y滿足約束條件且z=5y-x的最大值為a,最小值為b,則a-b的值是()(A)48(B)30(C)24(D)16解析:作出可行域如圖所示,可得A(8,0)、B(4,4),平移直線5y-x=0,經(jīng)過點(diǎn)A時z最小,經(jīng)過點(diǎn)B時,z最大,故b=zmin=-8,a=zmax=16,a-b=24.故選C.答案:C5.(2013年天津卷,文2)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為()(A)-7(B)-4(C)1(D)2解析:如圖陰影部分為不

5、等式組表示的區(qū)域,平移直線y-2x=0,當(dāng)直線過B(5,3)時即x=5,y=3時,z=y-2x最小,zmin=3-2×5=-7.故選A.答案:A6.(2012年山東卷,文6)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是()(A) (B)(C)-1,6 (D)解析:畫出表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,直線z=3x-y經(jīng)過點(diǎn)A,B時分別取到最大值和最小值.由得即A(2,0),zmax=3×2-0=6.由得即B.zmin=×3-3=-,-z6.答案:A7.(2012年天津卷,文2)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y的最小值為()(A)-5(B

6、)-4(C)-2(D)3解析:畫出可行域如圖陰影部分所示,作出與3x-2y=0平行的直線z=3x-2y可知,當(dāng)直線z=3x-2y過(0,2)點(diǎn)時z取最小值-4.故選B.答案:B8.(2012年新課標(biāo)全國卷,文5)已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1),B(1,3),頂點(diǎn)C在第一象限,若點(diǎn)(x,y)在ABC內(nèi)部,則z=-x+y的取值范圍是()(A)(1-,2) (B)(0,2)(C)( -1,2)(D)(0,1+)解析:由ABC是等邊三角形易知C(1+,2).由圖當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過區(qū)域內(nèi)點(diǎn)C時,z取最小值,zmin=-(1+)+2=1-,過區(qū)域內(nèi)點(diǎn)B時,z取到最大值,zmax=-1+3=2,z的取值范

7、圍是(1-,2).答案:A9.(2012年遼寧卷,文9)設(shè)變量x,y滿足則2x+3y的最大值為()(A)20(B)35(C)45(D)55解析:由已知得可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分,設(shè)z=2x+3y,則y=-x+,作直線l0:y=-x,平行移動直線l0,當(dāng)過點(diǎn)B時,直線y=-x+在y軸上的截距最大,此時z最大.由得即點(diǎn)B坐標(biāo)為(5,15),z最大為55.答案:D10.(2011年安徽卷,文6)設(shè)變量x,y滿足則x+2y的最大值和最小值分別為()(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1解析:不等式組表示的可行域如圖所示,設(shè)z=x+2y,則y=-x+,當(dāng)直線y=-x+分別過C(0,1

8、)及A(0,-1)時得zmax=2,zmin=-2.故選B.答案:B11.(2013年新課標(biāo)全國卷,文14)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為. 解析:作出可行域如圖中陰影部分所示,將目標(biāo)函數(shù)z=2x-y整理為y=2x-z,將y=2x向下平移至過點(diǎn)(3,3)時,z取得最大值,為zmax=2×3-3=3.答案:312.(2013年北京卷,文12)設(shè)D為不等式組表示的平面區(qū)域,區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值為. 解析:作出不等式組表示的區(qū)域D如圖陰影部分所示.設(shè)已知點(diǎn)(1,0)為點(diǎn)A,與平面區(qū)域D上的點(diǎn)的最短距離為點(diǎn)A(1,0)到直線y=2x的

9、距離, d=.答案:13.(2013年浙江卷,文15)設(shè)z=kx+y,其中實(shí)數(shù)x,y滿足若z的最大值為12,則實(shí)數(shù)k=. 解析:作出可行域如圖中陰影所示,由圖可知,當(dāng)0-k<時,直線y=-kx+z經(jīng)過點(diǎn)M(4,4)時z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);當(dāng)-k時,直線y=-kx+z經(jīng)過點(diǎn)N(2,3)時z最大,所以2k+3=12,解得k=(舍去);當(dāng)-k<0時,直線y=-kx+z經(jīng)過點(diǎn)M(4,4)時z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合.綜上可知,k=2.答案:214.(2013年山東卷,文14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點(diǎn),則

10、的最小值是. 解析:如圖陰影部分即不等式組表示的區(qū)域,若M為區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn),|OM|最小值,即O到直線x+y-2=0的距離d,由d=.所以|OM|的最小值是.答案:15.(2013年廣東卷,文13)已知變量x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值是. 解析:作出可行域如圖所示,故目標(biāo)函數(shù)在直線x-y+3=0與x=1的交點(diǎn)(1,4)處取得最大值,所以zmax=1+4=5.答案:516.(2013年安徽卷,文12)若非負(fù)變量x、y滿足約束條件則x+y的最大值為. 解析:畫出可行域是如圖所示的四邊形OABC的邊界及內(nèi)部,令z=x+y,易知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)C(4,0

11、)時,直線在y軸上截距最大,目標(biāo)函數(shù)z取得最大值,即zmax=4.答案:4考點(diǎn)三 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 1.(2011年四川卷,文10)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人,有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需送往A地至少72噸的貨物,派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次.派用的每輛甲型卡車需配2名工人,運(yùn)送一次可得利潤450元;派用的每輛乙型卡車需配1名工人,運(yùn)送一次可得利潤350元.該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù),可得最大利潤z等于()(A)4650元(B)4700元(C)4900元(D)5000元解析:設(shè)該公司當(dāng)天派用甲型卡車x輛,乙型卡車y輛(x

12、,yN),每天的利潤為z元,由題意得利潤z=450x+350y,可行域如圖所示.解得A(7,5).當(dāng)直線z=350y+450x過A(7,5)時z取最大值,zmax=450×7+350×5=4900(元).故選C.答案:C2.(2010年四川卷,文8)某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品,由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品,每千克A產(chǎn)品獲利40元.乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙車間耗費(fèi)工時的總和不得超過480小時,甲、乙兩車間每

13、天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為()(A)甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱(B)甲車間加工原料15箱,乙車間加工原料55箱(C)甲車間加工原料20箱,乙車間加工原料50箱(D)甲車間加工原料40箱,乙車間加工原料30箱解析:設(shè)甲車間加工原料x箱,乙車間加工原料y箱(x,yN),則甲、乙兩車間每天總獲利z=280x+200y.由題意,得可行域如圖所示的陰影部分.由解得P(15,55),當(dāng)直線z=280x+200y過點(diǎn)P時,z取得最大值.故選B.答案:B3.(2013年湖北卷,文9)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為160

14、0元/輛和2400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛,則租金最少為()(A)31200元(B)36000元(C)36800元(D)38400元解析:設(shè)租用A型車x輛,B型車y輛(x,yN),租金為z,則即畫出可行域,則目標(biāo)函數(shù)z=1600x+2400y=800(2x+3y)在點(diǎn)N(5,12)處取得最小值36800,故選C.答案:C4.(2010年廣東卷,文19)某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外,該兒

15、童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物,42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐?解:設(shè)為該兒童預(yù)訂x個單位的午餐,y個單位的晚餐,則x,y滿足 (x,yN*)即(x,yN*).目標(biāo)函數(shù)z=2.5x+4y.畫出可行域,如圖所示,其中A(2,5),B(4,3),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過B點(diǎn)時z最小,此時x=4,y=3.所以為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐,3個單位的晚餐時,滿足營養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少.模擬試題考點(diǎn)一 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1.(2

16、012南陽質(zhì)量評估)點(diǎn)M(a,b)在由不等式組確定的平面區(qū)域內(nèi),則點(diǎn)N(a+b,a-b)所在平面區(qū)域的面積是()(A)1(B)2(C)4(D)8解析:設(shè)a+b=x,a-b=y,則a=,b=,由得則N(x,y)所在平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的三角形,其面積S=×4×2=4.答案:C2.(2012安慶調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是9,則實(shí)數(shù)a的值為. 解析:由題意可知a>-2,不等式組所表示的平面區(qū)域是如圖所示的ABC,且A(-2,2),B(a,a+4),C(a,-a),則SABC=(a+2)(2a+4)=9,解得a=1.答案:1考點(diǎn)二 線性

17、目標(biāo)函數(shù)的最值 1.(2013玉溪一中檢測)若x,y滿足不等式組且y+x的最大值為2,則實(shí)數(shù)m的值為()(A)-2(B)-(C)1 (D)解析:設(shè)z=y+x,當(dāng)y+x取最大值2時,有y+x=2,先作出不等式對應(yīng)的可行域,要使y+x取最大值為2,則直線z=y+x的截距最大,則直線y+x=2與直線2y-x=2的交點(diǎn)A在直線y=mx上,由解得代入直線y=mx得m=,選D.答案:D2.(2013北京市通州區(qū)期末)已知x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為. 解析:作出不等式組對應(yīng)的可行域,由z=x+y得y=-x+z,平移直線y=-x+z,可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)B時,直線y=

18、-x+z的截距最大,此時z最大,由解得即B,代入得z的最大值為.答案:考點(diǎn)三 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 (2012衡陽月考)甲、乙、丙三種食物的維生素A、維生素D的含量及成本如下表:甲乙丙維生素A(單位/千克)607040維生素D(單位/千克)804050成本(元/千克)1194某食物營養(yǎng)研究所想把甲種食物、乙種食物、丙種食物配成10千克的混合食物,并使混合食物中至少含有560單位維生素A和630單位維生素D,則成本最低為()(A)84元(B)85元(C)86元(D)88元解析:設(shè)配成10千克的混合食物分別用甲、乙、丙三種食物x千克、y千克、z千克,混合食物的成本為p元,則z=10-x-y

19、,p=11x+9y+4z=11x+9y+4×(10-x-y)=7x+5y+40,由題意可得即作出可行域(如圖所示),當(dāng)直線p=7x+5y+40經(jīng)過點(diǎn)A時,它在y軸上的截距最小,即p最小,解方程組得x=5,y=2,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,2),所以pmin=7×5+5×2+40=85,故選B.答案:B綜合檢測1.(2013云南師大附中高三月考)如果實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組則x2+y2的最小值是()(A)25(B)5 (C)4 (D)1解析:在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分,x2+y2的最小值即表示陰影部分(包含邊界)中的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值的平方,由圖可知直線x-y+1=0與直線x=1的交點(diǎn)(1,2)到原點(diǎn)最近,故x2+y2的最小值為12+22=5.故選B.答案:B2.(2012長春調(diào)研)已知