利用導數(shù)研究不等式證明問題

1、賈老師數(shù)學第四節(jié) 利用導數(shù)研究不等式證明問題考點一作差法構(gòu)造函數(shù)證明不等式典例(2018廣西柳州畢業(yè)班摸底)已知函數(shù)f(x) = ax+ xln x在x= e_2(e為自然對數(shù)的底數(shù))處取得極小 值.(1) 求實數(shù)a的值；(2) 當 x>1 時，求證：f(x)>3(x 1).解(1)因為 f(x)= ax+ xln x,所以 f' (x)= a + In x+ 1,因為函數(shù)f(x)在x= e_2處取得極小值，所以 f' (e 2) = 0,即卩 a+ In e 2+ 1 = 0,所以 a= 1，所以 f' (x)= In x+ 2.當 f' (x)&

2、gt;0 時，x>e2;當 f' (x)<0 時，0<x<e2,所以f(x)在(0, e 2)上單調(diào)遞減，在(e 2,+ m)上單調(diào)遞增，所以f(x)在 x= e2處取得極小值，符合題意，所以a = 1.(2)證明：由(1)知 a= 1，所以 f(x)= x+ xln x.令 g(x)= f(x) 3(x 1),即 g(x)= xln x 2x + 3(x>0).g' (x)= In x 1,由 g ' (x)= 0，得 x= e.由 g ' (x)>0，得 x>e ;由 g ' (x)<0，得 0<

3、x<e.所以g(x)在(0, e)上單調(diào)遞減，在(e,+a)上單調(diào)遞增，所以g(x)在(1,+ a)上的最小值為 g(e)= 3 e>0.于是在(1,+ a)上，都有 g(x)> g(e)>0，所以 f(x)>3(x 1).解題技法(1) 欲證函數(shù)不等式 f(x)>g(x)(x>a)，只 需證明 f(x) g(x)>0(x>a)，設(shè) h(x) = f(x) g(x),即證h(x)>0(x>a).若h(a) = 0, h(x)>h(a)(x>a).接下來往往用導數(shù)證得函數(shù)h(x)是增函數(shù)即可.(2) 欲證函數(shù)不等式f(

4、x)>g(x)(x I, I是區(qū)間)，只需證明f(x) g(x)>0(x I).設(shè) h(x) = f(x) g(x)(x I)，即證 h(x)>0(x I),也即證 h(x)min>0(x I)(若 h(x)min 不存在，則須求函數(shù)h(x)的下確界)，而這用導數(shù)往往容易解決.對點訓練(2019 廣州模擬)已知函數(shù)f(x) = ex ax(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在點(0,1)處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;(2)證明：當 x>0 時，x<ex.解：由 f(x)= ex- ax，得 f' (x) = ex-a.因為

5、f' (0) = 1 a= 1，所以 a = 2,所以 f(x)= ex 2x，f' (x)= ex 2.令 f' (x)= 0，得 x= In 2 ,當 x<ln 2 時，f' (x)<0 , f(x)在(g. In 2)上單調(diào)遞減； 當 x>ln 2 時，f' (x)>0 , f(x)在(In 2 , + g)上單調(diào)遞增.所以當x= In 2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln 2)=eln x 2ln 2 = 2 2ln 2 , f(x)無極大值.證明：令 g(x)= ex x2,則 g' (x) = ex 2

6、x.由得 g' (x) = f(x) >f(ln 2)>0 ,故g(x)在R上單調(diào)遞增.所以當 x>0 時，g(x)>g(0) = 1>0,即 x2<ex.考點二拆分法構(gòu)造函數(shù)證明不等式典例(2018鄭州質(zhì)量預(yù)測)設(shè)函數(shù)f(x)= ax2 (x+ 1)ln x,曲線y= f(x)在點(1, f(1)處切線的斜率為0.(1) 求a的值；1(2) 求證：當 O<xw 2 時，f(x)>2x.1解(1)f' (x) = 2ax ln x 1 一，x由題意，可得f' (1) = 2a 2 = 0,所以a = 1.(2)證明：由(1

7、)得 f(x)= x2 (x+ 1)ln x,1要證當 O<xw 2 時，f(x)>?x,只需證當 0<xW 2 時，x"“必一ln x令 g ' (x)= 1 x= 0, 得 x= 1,易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2上單調(diào)遞增，故當 0VXW 2 時，g(x)min = g(1) = 1.因為 h' (x) = 一2,當 0<x<2 時，h' (x)>0，所以 h(x)在(0,2上單調(diào)遞增，故當 0<xW2 時，h(x)max，即 x ln x>ln+三x2x2'令 g(x)= x ln

8、 x, h(x)=血+£=h(2)=1+ In 22<1即 h(x)max< g(x) min.x 21 故當 0<xw 2 時，h(x)<g(x),即當 0<xw 2 時，f(x)>x.解題技法對于一些不等式可轉(zhuǎn)化為f(x)> g(x)的形式，證明f(x)min > g(x)max即可，在轉(zhuǎn)化中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用導數(shù)進行最值分析為拆分標準.對點訓練 (2018福建高三期末)已知函數(shù)f(x)= eln x ax(a R).(1)討論f(x)的單調(diào)性；當解：f'e(x)= x a(x>0),a= e 時，

9、求證：xf(x) ex+ 2exw 0.若若a>0，令f'(x)=°，得x=a，aw 0，則 f' (x)>0, f(x)在 (0, + a)上單調(diào)遞增;則當0<x<e時，f' (x)>0 ;當 x>e時，f' (x)<0, aa故f(x)在o,I上單調(diào)遞增，在a，+-上單調(diào)遞減.證明：因為x>0,所以只需證f(x) w號2e,當a = e時，由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1 ,+)上單調(diào)遞減，所以f(x)max= f(l) = e.exx一 1 eX記 g(x)= 2e(x>0)

10、，則 g' (x) =x,當0<x<1時，g' (x)<0, g(x)單調(diào)遞減；當x>1時，g' (x)>0, g(x)單調(diào)遞增,所以 g(x)min = g(1) = e.ex綜上，當 x>0 時，f(x) w g(x)，即 f(x) w 2e, 即卩 xf(x) ex+ 2exw 0. x考點三 換元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式典例已知函數(shù)f(x)= In x ax(x>0), a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個零點xi, x2(ximX2).求證：xix2>e2證明 不妨設(shè)X1>X2>0 ,因為 In X1 ax1=

11、 0, In X2 ax2= 0,In X1 In x2所以 In X1 + In x2= a(X1 + x2), In X1 In x2= a(X1 x2),所以=a,X1 X2欲證 xix2>e2，即證 In xi + In x2>2.因為 In xi + in x2= a(xi + X2),2所以即證a> ,X1+ X2所以原問題等價于證明In X1 In X22X1 X2 >X1 + X2即 In gJPL,X2X1 + X2X12 c 1令c = X2(c>1)，則不等式變?yōu)?In c> c+ 1 .令 h(c)= In c1, c>1,c+

12、 1所以h (c) =1=c-1 ：>0, cc+ 1 2 c c+ 1 2'所以h(c)在(1,+)上單調(diào)遞增,所以h(c)>h(1) = In 1 0= 0,即In2 c 1 c >0(c>1),因此原不等式Xix2>e2得證.1對點訓練已知函數(shù)f(x)= In x尹x2 + X, a R.(1)當a= 0 時,求函數(shù)f(x)的圖象在(1, f(1)處的切線方程;若a= 2 ,V5 1 正實數(shù) X1 , X2 滿足 f(X1) + f(X2) + X1X2= 0,求證：X1 + X2> 解：當a= 0 時,1 f(x)= In x+ X，貝y f

13、(1) = 1，所以切點為(1,1)，又因為 f' (x) = J+ 1,x所以切線斜率k= f' (1) = 2,故切線方程為y 1= 2(x 1),即卩 2x y 1 = 0.證明：當 a= 2 時，f(x) = In x+ x2+ x(x>0).由 f(X1)+ f(x2) + X1X2= 0,得 In X1+ x2+ X1 + In X2 + x2+ x2 + X1X2 = 0, 從而(X1 + X2)2+ (X1 + X2)= X1X2 In( X1X2),令 t = X1X2(t>0)，令(Xt)= t In t ,1 t 1 得 K (t)= 1 1

14、=,易知(Kt)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1, + 8)上單調(diào)遞增，所以強) > 怕)=1 ,所以(X1 + X2)2+(X1+ X2)1,材 5 1 ,、 因為 X1>0 , X2>0，所以 X1 + X2> 成立課時跟蹤檢測 1 設(shè)函數(shù) f(x) = In x x+ 1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；x 1 求證：當 x (1,+ )時，1<1".1解：(1)f' (x)= 1(x>0) x由 f' (x)>0,解得 0<x<1 ; 由 f' (x)<0，解得 x>1. f(x)在(

15、0,1)上單調(diào)遞增，在(1 , +)上單調(diào)遞減.x 1證明：要證當x(1 ,+)時，1<_jn_x<x，即證 In x<x 1<xln x.由(1)得f(x)= In x x+ 1在(1,+g)上單調(diào)遞減，當 x (1,+ g)時，f(x)<f(1) = 0,即有 In x<x 1.設(shè) F(x)= xln x x+ 1,貝y f ' (x) = 1 + In x 1 = In x.當 x (1 ,+g)時，F(xiàn)' (x)>0, F(x)單調(diào)遞增. F(x)>F(1) = 0,即有 xIn x>x 1.原不等式成立.a2. (2

16、019武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x) = In x+ ：, a R.(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；rt2a 1(2) 當 a>0 時，求證：f(x) > -.a解：(1)f' (x)= 即證 In a+ -一 1 > 0.a x2= x-xa(x>0). 當aw 0時，f' (x)>0, f(x)在 (0, + g)上單調(diào)遞增. 當a>0時，若x>a，貝U f' (x)>0，函數(shù)f(x)在(a ,+g)上單調(diào)遞增;若0<x<a,則f' (x)<0，函數(shù)f(x)在(0, a)上單調(diào)遞減.綜上所述，當

17、aw 0時，f(x)在(0,+ g)上單調(diào)遞增；當a>0時，f(x)在(0, a)上單調(diào)遞減，在(a,+g)上單調(diào)遞增.(2)證明：由(1)知，當 a>0 時，f(x)min = f(a) = In a+ 1.要證 f(x)> 2a 1，只需證 In a + 1 > 2a 1 aa1iiai令函數(shù) g(a) = In a1(a>0)，貝U g' (a)= 廠,aa a a當 0<a<1 時，g' (a)<0; 當 a>1 時，g' (a)>0,所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1 ,+s)上單調(diào)遞增，所以

18、 g(a)min = g(1) = 0.所以In a+1 10恒成立，a2a_ 1所以f(x)>成立.a3.已知 f(x) = xln x, g(x) = _ x1所以 f(x)min= f 一 =_ -. 設(shè) m(x) = -x_ -(x> 0),1 一 則 m' (x) = rr,當 x (0,1)時，m' (x)>0, m(x)單調(diào)遞增；當 x (1, +)時，m' (x)v 0, m(x)單調(diào)遞減, + ax_ 3.(1) 若對一切x (0,+ ), 2f(x)>g(x)恒成立，求實數(shù) a的取值范圍.1 2 一、(2) 求證：對一切 x

19、(0,+ ), In x>ex_ ex恒成立.解： 由題意知2xln x> _ x2 + ax_ 3對一切x (0, +)恒成立，3貝U aw 2ln x+x+ 一x'3設(shè) h(x)= 2ln x+ x+ -(x> 0),x則 h' (x) =x+ 3 x 1x2當 x (0,1)時，h' (x) v 0, h(x)單調(diào)遞減;當 x (1 ,+s)時，h' (x)>0, h(x)單調(diào)遞增.所以 h(X)min = h(1) = 4,因為對一切x (0, +), 2f(x) >g(x)恒成立，所以a< h(x)min= 4，故實

20、數(shù)a的取值范圍是(, 4.證明：問題等價于證明xln x>含一fa > 0).因為 f(x)= xln x(x>0), f' (x) = ln x+ 1,1當 x 0,-時，f' (x)v 0, f(x)單調(diào)遞減；e1當 x -,+ 時，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增, 、 1所以 m(X)max= m(1) = e, e從而對一切x (0,+ a), f(x) >m(x)恒成立，x 2 即xln x>-xx -恒成立.e e12所以對一切x (0, + a), in x>-x恒成立.e ex4. (2018黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)=加x ex(R).(1)若函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，求入的取值范圍；(2)求證：當 0<x1<x2 時，e1 X2 e1 X1>1 .1解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0 , + a),/ f(x)=加 x ex,(x) = W+ e x=函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)， f' (x) < 0 或 f' (x)> 0 在(0 , + a )上恒成立,當函數(shù)f(X)是單調(diào)遞減函數(shù)時，f' (x)< 0,入+ xe w 0,即卩 h xexw 0,xZW xe x=