(完整版)選修2-3隨機(jī)變量及其分布知識(shí)點(diǎn)總結(jié)材料典型例題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔文案大全2-3隨機(jī)變量及其分布HW)T數(shù)字特征11.幣散型隨 機(jī)變雖X-_-Z5J (條件概率)L-W(兩點(diǎn)分布5店殊分布列)-憊幾何分祠-(二項(xiàng)分利十并件相互獨(dú)立性)一価立重復(fù)試劇”、r<正態(tài)分布密度曲絢f正態(tài)分布)一要點(diǎn)歸納一、離散型隨機(jī)變量及其分布列1.隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示在這 個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.像這種 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量通常用字 母X, Y, E, n等表示.(2) 離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量 稱為離散型隨機(jī)變量.(3) 離散型隨機(jī)變

2、量的分布列：一般地，若離散型隨機(jī)變量 X可能取的不同值為Xi,X2，Xi，Xn，X取每一個(gè)值Xi(i = 1，2，n)的概率P(X= X)= pi，以表格的形式表示如下：XX1X2XiXnPP1P2PiPn我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式P(X = Xi) = pi，i = 1，2，n表示X的分布列.(4)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)： Pi>0，i = 1，2，n；n Pi = 1.i = 1(5)常見(jiàn)的分布列：兩點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表的形式，則 稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p = P(X= 1)為成功概率.X01P1

3、- pp兩點(diǎn)分布又稱 0- 1分布，伯努利分布.超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有k)=X件次品，則事件X = k發(fā)生的概率為 P(X =X01mP.On-0CmCn-McN1n -1CmCn - McN0Mm RoN 二 N n1 1MmcMcN-/icNk = 0,1, 2,m,即其中 m= min M , n，且 nW N , M < N, n , M , N N*.如 果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布.2 .二項(xiàng)分布及其應(yīng)用(1)條件概率：一般地，設(shè) A和B是兩個(gè)事件，且 P(A)>0,p / ab)稱P(

4、BA) = P(A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生 的條件概率.P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.條件概率的性質(zhì)： 0W P(BA)< 1； 必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0; 如果 B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BU C|A)= P(B|A) +P(C|A).(3) 事件的相互獨(dú)立性：設(shè) A, B為兩個(gè)事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，則稱事件 A與事件B相互獨(dú)立如果事件 A與B 相互獨(dú)立，那么 A與-,-與B ,-與-也都相互獨(dú)立.(4) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(5) 二項(xiàng)分布：一般地，在 n次獨(dú)

5、立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件 A 發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率為p,那 么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率為P(X= k) = Cpk(1 p)n-k, k= 0, 1, 2,，n.此時(shí)稱隨機(jī) 變量X服從二項(xiàng)分布，記作 XB(n, p)，并稱p為成功概 率.兩點(diǎn)分布是當(dāng)n = 1時(shí)的二項(xiàng)分布，二項(xiàng)分布可以看成 是兩點(diǎn)分布的一般形式.3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)均值、方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為XX1X2XiXnPP1P2PiPn則稱 E(X) = Xi pi + X2P2+ " + Xi pi + + XnPn為隨機(jī)變量 X 的 均值或

6、數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水 平.n稱D(X)=(Xi E(X)2pi為隨機(jī)變量 X的方差，D ( X)為i = 1隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.均值與方差的性質(zhì)：若Y = aX + b,其中a, b是常數(shù)，X 是隨機(jī)變量，則 Y也是隨機(jī)變量，且E(aX + b)= aE(X) +b,D(aX + b)= a2D(X).(3)常見(jiàn)分布的均值和方差公式：兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，貝吐勻值E(X)= p,方差D(X) = p(1 p).二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量 XB(n, p),則均值E(X) = np, 方差 D(X)= np(1 p).4.止態(tài)分布正態(tài)曲線與正倉(cāng)分布;正態(tài)

7、曲線：我怕把函數(shù)”g尸e-271 °工一嚴(yán)）_ 2冥匚（ 8,其中M是樣本均值，疔是樣本標(biāo)準(zhǔn)差的團(tuán)象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，正態(tài)曲線呈鐘形, 即中間高.兩邊低.止態(tài)分布；一般地，如果對(duì)于任何實(shí)敷附 恥rVQ）,隨機(jī) 變量A滿足他VX0） “曲.（助收，則稱B6機(jī)變量A服a從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)問(wèn)亦確定，因此正態(tài)分 布常記作M冷<r）.正態(tài)曲線的特點(diǎn):曲線位于x軸上方，與x軸不相交;曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x= 口對(duì)稱;曲線在x = 口處達(dá)到峰值 曲線與x軸之間的面積為1.和 0對(duì)正態(tài)曲線的影響： 當(dāng)（一定時(shí)，曲線的位置由 砸定，曲線隨著 曲勺變化而沿x 軸

8、平移； 當(dāng)定時(shí)，曲線的形狀由（確定，0越小，曲線越 瘦高” 表示總體的分布越集中； （越大，曲線越矮胖”表示總體的 分布越分散.正態(tài)分布的3（原則：若隨機(jī)變量XN（仏0）,則P（卩（r< Xw 卩+ o） = 0.682 6, P（卩一2 oV X w 卩+ 2 o） 0.954 4, Pg 3oVXw + 30 0.997 4.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N（y, 0）的隨機(jī)變量X只取（卩3 o,葉3 0之間的值，并簡(jiǎn)稱之為3 o原 則.專題一條件概率1 條件概率的求法利用定義，分別求出P(A)和P(AB)，解得P(BA) =P (AB)P( A).(2)借助古典概型公式，先求

9、事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件 A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù) n(AB),得 P(BA) = n (AB).n (A)2.解決概率問(wèn)題要注意 三個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合 ”(1) 求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)；第二步，判斷事件的運(yùn)算；第三步，運(yùn)用公式.(2) 概率問(wèn)題常常與排列、組合知識(shí)相結(jié)合.【例1】在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依 次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；第1次和第2次都抽到理科題的概率；在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率. 解 設(shè) 第1次抽到理科題”為事件A，第2次抽到理科題”為 事件B，則 第1次和第2次都抽

10、到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取 2道題的事件數(shù)為n(Q) = A5=20.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A)= A；x12.于是P(A) =n (A)n ( Q)12 3 20= 5.(2)因?yàn)樗曰?骼墻=赤法一由2可得，在第1次抽到埋科題的條件下，第2 次抽到厘科題的概牢P 3)P (.4)法二因?yàn)?rt(JB)=6f nC4)=12f”,n (仙)所以訶戸；C4)專題二相互獨(dú)立事件的概率1 .求相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn) 行考查，解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在些基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事 件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解.

11、2.特別注意以下兩公式的使用前提(1) 若A, B互斥，則P(A U B) = P(A) + P(B)，反之不成立.(2) 若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)= P(A)P(B)，反之成立.【例2】甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種零件，甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為丄12,甲丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為29.(1)分別求出甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工的零件是一等品 的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.解 沒(méi)松住分別為甲"厶丙三臺(tái)機(jī)加各自獨(dú)立加

12、工同一種零件是一尊品的事件.依題意得p（爭(zhēng)）-£p（歩一邁,P （.40 =|,p U) 即bP <-4) (1-P )-% (1p (c) > 轄 p <c) =$得r?HC）F創(chuàng)科G+腔=仇解得珂。=扌或HG=#舍）-5旳弓砂=審刊°=彳即甲.乙.丙三臺(tái)機(jī)床各口獨(dú)立加工的零件是一等甜的概率ill分別為亍尹r記d為從甲.乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有 一等品的事件.2尸（）=1 尺心）=1 （1只）-（1 /VJ）p = h 寸X即從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的槪率為I專題三 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1.離散型

13、隨機(jī)變量的分布列在高中階段主要學(xué)習(xí)兩種：超幾 何分布與二項(xiàng)分布，由于這兩種分布列在生活中應(yīng)用較為 廣泛，故在高考中對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的考查相對(duì)較靈活，常與期 望、方差融合在一起，橫向考查.2 對(duì)于分布列的求法，其難點(diǎn)在于每個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)相關(guān)概率的求法，計(jì)算時(shí)可能會(huì)用到等可能事件、互斥事件、 相互獨(dú)立事件的概率公式等.3 均值與方差都是隨機(jī)變量重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值這一概念之上的，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于 它的均值的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn) 生活中特別是風(fēng)險(xiǎn)決策中有著重要意義，因此在當(dāng)前的咼 考中是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.【例3】 某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一

14、測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué) 繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加15次測(cè)試.假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是 3，每次測(cè)試時(shí) 間間隔恰當(dāng).每次測(cè)試通過(guò)與否互相獨(dú)立.(1) 求該學(xué)生考上大學(xué)的概率；(2) 如果考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束，記該生參加測(cè) 試的次數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望.解該?？忌洗髮W(xué)”為事件乩 其對(duì)立事件為 則血円鮒+舒.g)=l-【幺餵陋)5磊.參加測(cè)試次敎K的可熊取值為23, 4. 5, flS 1P(X=2)=f=-,呻_3)_生卜討務(wù)p(m.；.gy捋，P(x=5)= CA ： 2 3+ 3 仁；6故X的分布列為:

15、X2345P1441692727271 c 4,4 廠 1638E（x）二 2X 9+ 3X 27+4X 27+ 5X 26= 38-【例4】(2012棗莊檢測(cè))某單位為了參加上級(jí)組織的普及消防知 識(shí)競(jìng)賽，需要從兩名選手中選出一人參加為此，設(shè)計(jì)了一個(gè) 挑選方案：選手從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取 3題.通過(guò)考 查得知：6道備選題中選手甲有 4道題能夠答對(duì)，2道題答錯(cuò);2選手乙答對(duì)每題的概率都是 3,且各題答對(duì)與否互不影響.設(shè) 選手甲、選手乙答對(duì)的題數(shù)分別為E n(1) 寫(xiě)出曲勺概率分布列(不要求計(jì)算過(guò)程)，并求出E( E ,E(n ；(2) 求D( E，D( n.請(qǐng)你根據(jù)得到的數(shù)據(jù)，建議該單位派哪 個(gè)選手參加競(jìng)賽？解（1）的概率分布列為123P131555131所以 E(8= 1 X _ + 2 X _ + 3 X _ = 2.5552 2 由題意，n B 3, 3， E(n = 3X 3= 2,或者 P( n= 0)= C3 3 3= £；P(n= 1)=良3 1 32 = 9；p(n=2)=C2323=9；P(n= 3)=c3t3=27,12O所以，£(I/)=OX+1X-+2X-+3X -2.1311(2)Z)(i)=(l-2)2X- +(2-2/X-+(3-2)iX-=-!可見(jiàn)E(©=E(>/),因此建議該單位派甲參加競(jìng)賽.專題四正態(tài)