疑難問題幾點解釋

1、1、最小的一位數(shù)是0還是1？九年義務教育六年制小學數(shù)學第八冊教師教學用書第98頁“關于幾位數(shù)”的敘述:“通常在自然數(shù)里，含有幾個數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“30”是含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“405”是含有三個數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)但是要注意:一般不說0是幾位數(shù)。專家的說明:在自然數(shù)的理論中，對“幾位數(shù)”是這樣定義的，“只用一個有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個數(shù)字（其中左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)所以，在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字），這個數(shù)就叫幾位數(shù)。于此，所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常是在非零

2、自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個，即:、。所以不是最小的一位數(shù)。、為什么0也是自然數(shù)?課標教材對“也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對自然數(shù)的傳統(tǒng)理解。2000年教育部主持召開教材改編會議時，已明確提出將0歸為自然數(shù)。這次改版也是與國際慣例接軌。從教學實踐層面來說，將“”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實意義。兩類。有限集合是含有有限個元素的集合，像某班學生的集合。無限集合是含有的元素個數(shù)是非有限的集合，如分數(shù)的集合。由于自然數(shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)，所以用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個數(shù)是很自然的。但在有限集合中，有一個最主要也是最基本的集合，叫空集 ，元素個數(shù)為0。如果不把0作為自然數(shù)，那么空集

3、的元素的個數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“0”作為一個自然數(shù)，那么自然數(shù)就能夠完成刻畫“有限集合元素個數(shù)”的任務了。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個角度，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處。合，所有的“運算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合0,1,2,中的任何兩個自然數(shù)都能夠?qū)嵭屑臃ê统朔ㄟ\算，而運算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時，加法、乘法運算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影響。所以，“0”加盟到自然數(shù)集合實屬理所當然，而不但僅是人為的“規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時也讓我們意識到教學時不但要知道和記住數(shù)學的“定義”和“規(guī)定”，還應該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學涵義。3、什么是

4、有效數(shù)字一無效數(shù)字？有效數(shù)字是對一個數(shù)的近似值的精確水準而提出的。同一個近似數(shù)如果在取舍時，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。一般說，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。這時，從左邊第一個非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。如近似數(shù)0有三個有效數(shù)字:、；也有三個有效數(shù)字:、。而中左邊的三個零，中左邊的一個零，都叫做無效數(shù)字。、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算？“加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實是一種誤解。例如:加法“”，其逆算為“”，“”。故此，加法的逆運算只有減法；減法“”， 其逆算有 “

5、”， “”。故此，減法的逆運算有減法和加法兩種運算。綜上可知，只能說減法是加法的逆運算，而不能說加法與減法互為逆運算。同理，也只能說除法是乘法的逆運算，而不能說乘法與除法互為逆運算。5、為什么不寫“倍”？在學習“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”應用題時，如:“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？”為什么“12÷34”的后面不寫“倍”呢？我們首先應該肯定學生的質(zhì)疑（學生有較強的解題規(guī)范意識）。同時又該對學生說明:在解答應用題時，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱。如:12只的“只”；8克的“克”。一個數(shù)只有帶上單位名稱，才能準確地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等

6、等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個數(shù)量之間的一種關系。例如，上面的計算結(jié)果“4”，表示12里面有4個3，就是12只小雞是3只小鴨的4倍。所以，在算式里不寫“倍”，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆。6、“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別:在第一學段我們學習了“倍的初步理解”，理解了概念“倍”，而在第二學段,我們又學習到“倍數(shù)”這個概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有什么區(qū)別呢？“倍”指的是數(shù)量關系，它建立在乘除法概念的基礎上。例如:男生有10人，女生有30人，由于“10×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10）的3

7、倍，也能夠說，男生人數(shù)（10）的3倍等于女生人數(shù)（30）。勿寧說，“倍”其實表示的是兩個數(shù)的商（這個商能夠是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等各種表現(xiàn)形式）。“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數(shù)。可見，“倍數(shù)”是不能獨立存在的（具有特定的指向性），而且對數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）。同時我們又看到，30也是6的5倍，因為6×530，“6×5”表示6的5倍。所以從這個角度來說，“倍”的涵義應寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。7 、“時”和“小時”有什么不同？怎樣使用“時”和“小時”？首先應該明確的是，小時

8、并非國際時間單位。在1984年國務院發(fā)布的關于我國統(tǒng)一法定計量單位的命令中，把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天（日）、小時、分作為輔助單位。（注：里的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。這樣，在我國范圍內(nèi)使用的法定時間單位就有：天（日）、小時、分、秒。由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易產(chǎn)生混淆，在實際應用時間單位“時”時，現(xiàn)行教材作了如下處理：第一：當列式計算出時間的長短時，在得數(shù)的括號里寫上時間的單位“時”。例如：超市營業(yè)時間：21-9=12（時）。（此處可省略“小”字）第二、在用語言表述時間的長短時，為避免“時間”和“時刻

9、”這兩個概念產(chǎn)生混淆，則在“時”的前面加上一個“小”字。例如：超市營業(yè)時間12小時。第三、在用語言表示時刻時，一律不得出現(xiàn)“小時”字樣。例如：公園每天早上7時30分開園（而非7小時30分）。8、“改寫”和“省略”是一樣的嗎？ “改寫”與“省略”本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：第一、目的不同?！案膶憽钡哪康氖欠奖銓Υ髷?shù)的讀寫，而“省略”則是取數(shù)的近似值。第二、方法不同。 “改寫”是去掉“億”位后面的0，再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。第三、符號不同?！案膶憽敝桓淖償?shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“=”號連接；而“省略”既

10、改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“”連接。9、“路程”就是“距離”嗎？這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的，其實不然。“路程”是指從一個地點到另一個地點所經(jīng)過路線的長度；而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度?！奥烦獭彼?jīng)過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。一般情況下，兩個地點之間的“路程”要大于它們之間的“距離”，只有當兩個地點之間的路線為直線時，路程和距離才相等。10、最大的分數(shù)單位是1/2還是1/1？分數(shù)單位的含義是：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。顯然，在分數(shù)意義中，關鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。因為把單位“1”平均分成的最

11、少份數(shù)是2份，由此得到的分數(shù)單位是1/2，所以1/2是最大的分數(shù)單位。盡管就廣義的分數(shù)來說，1/1也可視作分數(shù)，但它已不是我們通常意義上認識的與整數(shù)對立的那種分數(shù)（在平均分的基礎上所產(chǎn)生），故此，最大的分數(shù)單位應以1/2為宜。11、像 0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數(shù)是不是分數(shù)?分數(shù)的定義明確告訴我們:把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù),叫分數(shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分數(shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。由此可知，分數(shù)的分子和分母都應該是非零自然數(shù)。從這個意義來說，以上這幾個數(shù)徒具分數(shù)的形式，而不具分數(shù)的實質(zhì)，因此都不應該視為分數(shù)。進而，在考查學生對“分數(shù)”涵義的理解時，應著眼

12、于通常意義上的分數(shù)，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對訓練學生的思維并無多大實際意義，而且會令諸如“分數(shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。12、比6多1/2的數(shù)”應該是“6+1/2”還是“6+（1+1/2）”？要弄清這個問題，先得弄清“6”的性質(zhì)。顯然，此處的“6”其實質(zhì)是一個“數(shù)”，而非一個“量”，求“比6多1/2的數(shù)”應屬于“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)，這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分數(shù)。所以，這里的“1/2”是指在6的基礎上“多1/2”這個“1/2”數(shù)的本身，而非“6的1/2”。所以，“比6多1/2的數(shù)”應該是“6+1/2”。當然，如果

13、題目確定為“比6多它的1/2的數(shù)”，那答案則屬于后者。13、計算出勤率可不可以不乘100%？求“××率”其結(jié)果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實際出勤人數(shù)占應出勤人數(shù)的百分之幾。如果公式只寫成：出勤率=實際出勤人數(shù)應出勤人數(shù)，我們說這只是分數(shù)形式（也即是求實際出勤人數(shù)占應出勤人數(shù)的“幾分之幾”），并不是百分數(shù)。因此，在公式后面乘上“”，既可以使計算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié)果形式滿足百分數(shù)的要求。因此，計算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率的公式中，都應乘“”。14、小于度的角都是銳角嗎？根據(jù)課標教材定義：小于度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產(chǎn)生一個新的問題：度的角是什么角，也是銳角嗎？事實是，銳角定義有一個隱含的前提，就是小學數(shù)學中所討論的角都是正角。習慣上，我們把射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做負角，當一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時，就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應分為正角、負角、和零角。由此，嚴格意義上的銳角定義應是：大于度而小于度的角叫做銳角。（建議教材作出修改）15、足球比賽記分牌上的“”是數(shù)學中的“比”嗎？我們至少可以從兩個方