數(shù)學(xué)折疊問題

1、1.同學(xué)們，在學(xué)習(xí)了軸對稱變換后我們經(jīng)常會遇到三角形中的“折疊”問題我們通常會考慮到折疊前與折疊后的圖形全等，并利用全等的性質(zhì)，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等來研究解決數(shù)學(xué)中的“折疊”問題（1）如圖，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在ABC內(nèi)部時，我們不僅可以發(fā)現(xiàn)AE=AE，AD=_，而且我們還可以通過發(fā)現(xiàn)AED=AED，ADE=_，A=A，從而求得1+2=2A（2）如圖，當(dāng)點A落在ABC外部時，我們發(fā)現(xiàn)2=DFA+_，DFA=1+_，那么（1）中的1+2=2A在這里還成立嗎？如成立，請說明理由如不成立，請寫出成立的式子并說明理由（3）已知RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，將它

2、的一個銳角翻折，使該銳角頂點落在其對邊的中點D處，折痕交另一直角邊于E，交斜邊于F，請你模仿圖，圖，畫出相應(yīng)的示意圖并求出CDE的周長答案解：（1）AD=AD，ADE=ADE，（1分）（2）2=DFA+A，DFA=1+A（3分）如圖由圖形翻折變換的性質(zhì)可知，A=A，連接AA，則2=DAA+DAA=DAE+EAA+DAE+AAE，=2A+EAA+AAE=2A+1即2-1=2A；（3）當(dāng)如圖所示折疊時，CDE的周長=CD+CE+DE=CD+CE+EB=CD+CB=AC+CB=×6+8=11；當(dāng)如圖所示折疊時，CDE的周長=CD+CE+DE=CD+CE+AE=CD+AC=CB+AC=

3、15;8+6=10解析分析：（1）根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知，AD=AD，ADE=ADE，由圖形翻折變換的性質(zhì)可得到A=A，再由2=DFA+A即可得出1+2=2A；（2）由圖形翻折變換的性質(zhì)可得到A=A，再根據(jù)2=DAA+DAA即可求出答案；（3）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)即可得出結(jié)論點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即圖形翻折變換后所得圖形與原圖形全等2.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE若DE：AC=3：5，則的值為1. A. 2. B.3. C.4. D.答案A解析分析：根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BAC=EAC，再根據(jù)矩形的對邊平行

4、可得ABCD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得DAC=BCA，從而得到EAC=DAC，設(shè)AE與CD相交于F，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AF=CF，再求出DF=EF，從而得到ACF和EDF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出=，設(shè)DF=3x，F(xiàn)C=5x，在RtADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等求出AB，然后代入進(jìn)行計算即可得解解答：矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，BAC=EAC，AE=AB=CD，矩形ABCD的對邊ABCD，DCA=BAC，EAC=DCA，設(shè)AE與CD相交于F，則AF=CF，AE-AF=CD-CF，即DF=EF，=，又AFC=EFD，ACFEDF，=，設(shè)DF

5、=3x，F(xiàn)C=5x，則AF=5x，在RtADF中，AD=4x，又AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，=故選A點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3.如圖，四邊形ABCD是矩形，AB：AD=4：3，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，則DE：AC=_答案7：25解析分析：根據(jù)題意可得四邊形ACED是等腰梯形，即求上底與下底的比值，作高求解解答：解：從D，E處向AC作高DF，EH設(shè)AB=4k，AD=3k，則AC=5k由AEC的面積=4k×3k=5k×E

6、H，得EH=k；根據(jù)勾股定理得CH=k，四邊形ACED是等腰梯形，CH=AF=k，所以DE=5k-k×2=所以DE：AC=：5k=7：25故答案為：7：25點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是利用折疊的特點及三角形面積的計算，求得EH、CH、DE的長，4. 如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=12，AD=5，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，則DE：AC 的值是1. A.2：32. B.119：1693. C.23：274. D.12：13答案B解析分析：根據(jù)題意可得四邊形ACED是等腰梯形，從D，E處向AC作高DM，EN，利用三角形的面積公式求出D

7、M、EN，然后利用勾股定理求出AM、CN，繼而可得出DE的長度，也就得出了DE：AC的值解答：從D，E處向AC作高DM，EN，AB=12，AD=5，則AC=13，由AEC的面積=×EC×AE=30，得EN=，根據(jù)勾股定理得CN=，同理AM=所以DE=13-=，所以DE：AC=119：169故選B點評：本題考查了翻折變換及矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用折疊的特點及三角形面積的計算，求得DM，EN的長，從而求得DE的長，然后求比值，難度一般5. 如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點F處，連接DF，CF與AD相交于點E，求DE的長和A

8、CE的面積答案解：由題意，得FC=BC=4，AF=AB=3，1=2，四邊形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，1=32=3AE=CE，AD-AE=CF-CE，即DE=FE設(shè)DE=x，則FE=x，CE=4-x，在RtCDE中，DE2+CD2=CE2即x2+32=（4-x）2，解得：x=即DE=，則AE=AD-DE=，則SACE=AECD=解析分析：由題意，得FC=BC=4，AF=AB=3，1=2，又由四邊形ABCD是矩形，易得AEC是等腰三角形：DE=FE，然后設(shè)DE=x，則FE=x，CE=4-x，在RtCDE中，DE2+CD2=CE2，即可得方程x2+32=（4-x）2，解此方程即可求得DE

9、的長，繼而求得ACE的面積點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用6. 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=8，AD=4，把矩形沿直線AC折疊，點B落在E處，連接DE，其中AE交DC于P有下面四種說法：AP=5；APC是等邊三角形；APDCPE；四邊形ACED為等腰梯形，且它的面積為25.6其中正確的有個1. A.1個2. B.2個3. C.3個4. D.4個答案C解析分析：分別根據(jù)圖形翻折變換前后圖形對應(yīng)相等，以及利用勾股定理全等三角形的判定分別分析即可解答：在矩形紙片ABCD中，AB=8，A

10、D=4，矩形沿直線AC折疊，BAC=CAE，CDAB，BAC=DCA，DCA=PAC，PC=PA，假設(shè)PC=x，則PA=x，DP=8-x，AD2+DP2=AP2，42+（8-x）2=x2，解得：x=5，AP=5，故此選項正確；PC=PA，APC是等腰三角形，故此選項錯誤；CE=AD，EPC=DPA，ADP=CEP，APDCPE；故此選項正確；作EQAC，可證EACDAC，兩三角形面積相等，DEAC，AD=EC，四邊形ACED為等腰梯形，PC=5，DP=3，AP=5，PE=3，EQ×AC=AE×EC，EQ=，DPECPA，=，DE=，梯形面積為：××（+）

11、，=25.6它的面積為25.6故此選項正確；其中正確的有3個故選：C點評：此題主要考查了圖形的翻折變換，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及翻折變換前后對應(yīng)相等情況是解題關(guān)鍵7. 如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，把它沿CE折疊，使點B落在AD上的B處，點F在折痕CE上且F到AD的距離與F到點B的距離相等則點F到AD的距離是1. A.32. B.43. C.4. D.5答案C解析分析：過B點作BHBC于H點，交CE于F點根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BCE=BCE，CB=CB=10，EB=EB，根據(jù)勾股定理可計算出DB=8，在RtAEB中，設(shè)EB=x，則BE=x，AE=6-x，利用勾股定理得到（

12、6-x）2+22=x2，解得x=，易證BCFBCF，得到FB=FB，設(shè)BF=y，再利用勾股定理得到y(tǒng)2=22+（6-y）2，解得y=，于是得到點F到AD的距離是解答：過B點作BHBC于H點，交CE于F點，矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在AD上的B處，BCE=BCE，CB=CB=10，EB=EB，在RtDCB中，DB=8，AB=AD-DB=10-8=2，在RtAEB中，設(shè)EB=x，則BE=x，AE=6-x，AE2+AB2=EB2，（6-x）2+22=x2，x=，在BCF和BCF中，BCFBCF，F(xiàn)B=FB，設(shè)BF=y，在RtBHF中，F(xiàn)H=6-y，BH=AB=2，BF=y，y2=22+（6

13、-y）2，y=，點F到AD的距離是故選C點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等也考查了矩形的性質(zhì)與勾股定理8. 如圖，在RtABC中，AB=CB，BOAC，把ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連接DE、EF下列結(jié)論：tanADB=2；圖中有4對全等三角形；若將DEF沿EF折疊，則點D不一定落在AC上；BD=BF；S四邊形DFOE=SAOF，上述結(jié)論中正確的是_答案解析分析：根據(jù)折疊的知識，銳角正切值的定義，全等三角形的判定，面積的計算判斷所給選項是否正確即可解答：解：由折疊可得BD=DE，而DCDE，DCBD，tanADB2，故錯誤；圖

14、中的全等三角形有ABFAEF，ABDAED，F(xiàn)BDFED，（由折疊可知）OBAC，AOB=COB=90°，在RtAOB和RtCOB中，RtAOBRtCOB（HL），則全等三角形共有4對，故正確；AB=CB，BOAC，把ABC折疊，ABO=CBO=45°，F(xiàn)BD=DEF，AEF=DEF=45°，將DEF沿EF折疊，可得點D一定在AC上，故錯誤；OBAC，且AB=CB，BO為ABC的平分線，即ABO=OBC=45°，由折疊可知，AD是BAC的平分線，即BAF=22.5°，又BFD為三角形ABF的外角，BFD=ABO+BAF=67.5°，易

15、得BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，BFD=BDF，BD=BF，故正確；連接CF，AOF和COF等底同高，SAOF=SCOF，AEF=ACD=45°，EFCD，SEFD=SEFC，S四邊形DFOE=SCOF，S四邊形DFOE=SAOF，故正確故答案為：點評：此題主要考查了有折疊得到的相關(guān)問題；注意由對稱也可得到一對三角形全等；用到的知識點為：三角形的中線把三角形分成面積相等的2部分；兩條平行線間的距離相等9. 如圖，將矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點D在邊0C上，點E在邊OA上，把矩形沿直線DE翻折，使點O落在邊AB上的點

16、F處，且tanBFD=若線段OA的長是一元二次方程x2-7x-8=0的一個根，又2AB=30A請解答下列問題：（1）求點B、F的坐標(biāo)；（2）求直線ED的解析式：（3）在直線ED、FD上是否存在點M、N，使以點C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由答案解：（1）x2-7x-8=0，xl=8，x2=-1（舍）OA=8又2AB=30A，AB=12EFD=90°DFB+EFA=EFA+AEF=90°AEF=DFBtanDFB=tanAEF=設(shè)AF=4k，AE=3k，根據(jù)勾股定理得，EF=EO=5k，3k+5k=8k=1AE=3，

17、AF=4，EF=EO=5點B的坐標(biāo)為（12，8），點F的坐標(biāo)為（4，8）（2）過D作DHAB，設(shè)FH=x，=tanBFD=，解得：x=6，AH=OD=10，D（10，0）設(shè)直線ED的解析式是y=kx+b直線ED經(jīng)過（0，5），（10，0）兩點，y=-x+5；（3）如圖，當(dāng)CM1DF時，直線DF的解析式為：y=-x+，直線CM1的解析式為：y=-x+16，聯(lián)立：，解得：x=，y=-，M1（，-）；當(dāng)NM2CD時，此時點M2與M1關(guān)于點D對稱，M2（，）綜上可得：M1（，-），M2（，）解析分析：（1）根據(jù)題意解方程x2-7x一8=0求出OA=8，再根據(jù)條件2AB=30A求出AB=12，這樣就得到

18、B點坐標(biāo)，然后證出AEF=DFB，從而得到tanAEF=，再根據(jù)折疊，利用勾股定理求出即可得到AF，AE的長，進(jìn)而得到F點坐標(biāo)（2）首先根據(jù)tanBFD=，求出D點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，把E，D兩點坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式，可得到直線ED的解析式（3）利用平行四邊形的性質(zhì)對邊相等得出即可點評：此題主要考查了一元二次方程的解法以及圖形的翻折變換、平行四邊形、矩形的性質(zhì)以及解直角三角形，熟練地應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)注意分類討論思想的應(yīng)用，不要漏解10. （1）如圖1，把ABC沿DE折疊，使點A落在點A處，試探索1+2與A的關(guān)系（不必證明）（2）如圖2，BI平分ABC，CI平分ACB，把ABC折疊，使點A與點I重

19、合，若1+2=130°，求BIC的度數(shù)；（3）如圖3，在銳角ABC中，BFAC于點F，CGAB于點G，BF、CG交于點H，把ABC折疊使點A和點H重合，試探索BHC與1+2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論答案解：（1）1+2=2A；（2）由（1）1+2=2A，得2A=130°，A=65°IB平分ABC，IC平分ACB，IBC+ICB=（ABC+ACB）=（180°-A）=90°-A，BIC=180°-（IBC+ICB），=180°-（90°-A）=90°+×65°=122.5°；（3）

20、BFAC，CGAB，AFH+AGH=90°+90°=180°，F(xiàn)HG+A=180°，BHC=FHG=180°-A，由（1）知1+2=2A，A=（1+2），BHC=180°-（1+2）解析分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；（2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出IBC+ICB=90°-A，得出BIC的度數(shù)即可；（3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，AFH+AGH=90°+90°=180°，進(jìn)而求出A=（1+2），即可得出答案點評：此題主要考查了圖形的翻著變換

21、的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，正確的利用翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵11.在下圖中，直線l所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5，l與y軸交于點C，O為坐標(biāo)原點（1）請直接寫出線段OC的長；（2）已知圖中A點在x軸的正半軸上，四邊形OABC為矩形，邊AB與直線l相交于點D，沿直線l把CBD折疊，點B恰好落在AC上一點E處，并且EA=1試求點D的坐標(biāo)；若P的圓心在線段CD上，且P既與直線AC相切，又與直線DE相交，設(shè)圓心P的橫坐標(biāo)為m，試求m的取值范圍答案解：（1）OC=5；（2）解法一：設(shè)D點的橫坐標(biāo)為m，由已知得，它的縱坐標(biāo)為：-m+5BC=OA=m，CA=CE+AE=

22、m+1，在RtOAC中，OA2+OC2=AC2，即m2+52=（m+1）2，解得m=12，即D點的坐標(biāo)為；解法二：設(shè)D點的橫坐標(biāo)為m，由已知得，它的縱坐標(biāo)為：-m+5，AD=-m+5，DE=AB-AD=m，在RtADE，EA2+ED2=AD2，即12+（m）2=（-m+5）2，解得m=12，-m+5=，即D點的坐標(biāo)為（12，）；解法三：設(shè)D點的橫坐標(biāo)為m，由已知得，它的縱坐標(biāo)為：-m+5，在RtOAC和RtADE中，AOC=AED=90°，ACO+OAC=90°，OAC+EAD=90°，ACO=EAD，RtOACRtADE，即：，解得m=12，-m+5=，即D點的

23、坐標(biāo)為（12，）；由于BCD和CDE關(guān)于直線L對稱，所以P與直線AC相切，與DE相交相當(dāng)于與直線BC相切，與BD相交，過點P作PMOA，交OA于M，交BC于N；作PHAB，交AB于H，由題意知：只要PNPH即可，PN=MN-PM=，PH=12-m，即：12-m，解得m10，又P在線段CD上，所以m12，即m的取值范圍是10m12解析分析：（1）直線l所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5，則b=5，所以點C的坐標(biāo)為（0，5），OC=5；（2）：設(shè)D點的橫坐標(biāo)為m，點D在直線l上，則它的縱坐標(biāo)為：-m+5由于四邊形CBAO是矩形，有BC=OA=m，CA=CE+AE=m+1在RtOAC中，由勾股定理知，

24、OA2+OC2=AC2，即m2+52+（m+1）2，求解可得到m的值，從而求得D點的坐標(biāo)為（12，）；由于BCD和CDE關(guān)于直線L對稱，所以P與直線AC相切，與DE相交相當(dāng)于與直線BC相切，與BD相交，過點P作PMOA，交OA于M，交BC于N，作PHAB，交AB于H，由題意知：只要PNPH即可，就可求得m的取值范圍點評：本題利用了：折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相切的概念，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解12. 把等邊ABC沿直線l對折，使點B落在AC上得P處，A

25、PPC=12，則BEBF等于1. A.1：22. B.2：33. C.3：44. D.4：5答案D解析分析：設(shè)AP=a，BE=x，BF=y，則PC=2a，AC=3a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=BC=AC=3a，ABC=C=A=60°，則根據(jù)折疊的性質(zhì)得PE=BE=x，PF=BF=y，EPF=60°，所以1+2=120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有1+3=120°，代換后得2=3，根據(jù)相似三角形的判定得到AEPCPF，則=，即=，根據(jù)比例性質(zhì)有3ay-xy=2ax，ay=3ax-xy，變形得到4ay=5ax，所以x：y=4：5解答：如圖，設(shè)AP=a，BE=x

26、，BF=y，則PC=2a，AC=3a，ABC為等邊三角形，AB=BC=AC=3a，ABC=C=A=60°，AE=3a-x，CF=3a-y，等邊ABC沿直線l對折，使點B落在AC上得P處，PE=BE=x，PF=BF=y，EPF=60°，1+2=120°，1+3=120°，2=3，AEPCPF，=，即=，3ay-xy=2ax，ay=3ax-xy，+得4ay=5ax，x：y=4：5，即BEBF=4：5故選D點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等也考查了等邊三角形性質(zhì)和相似三角形的

27、判定與性質(zhì)13. 如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸，y軸上，連OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在A的位置，若OB=，tanBOC=，則點A的坐標(biāo)1. A.（-，）2. B.（-，）3. C.（-，）4. D.（-，）答案C解析分析：即求A點關(guān)于OB的對稱點的坐標(biāo)通過解方程組求解解答：tanBOC=，OC=2BCOC2+BC2=OB2=5，BC=1，OC=2所以A（1，0），B（1，2）直線OB方程：y-2=2（x-1），A和A關(guān)于OB對稱，假設(shè)A（x0，y0），AA'中點：x=，y=在直線OB y-2=2（x-1）上，-2=2（-1），y0

28、=2（x0+1）x02+y02=OA'2=OA2=1，x02+4（x0+1）2=1，5X02+8X0+3=0X0=-1或者-，y0=0或者x0=-1，y0=0不合題意，舍去所以A（-，）故選C點評：主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和翻折變換以及三角函數(shù)的運用要熟練掌握才會靈活運用14. 如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸、y軸上，連接AC，將矩形紙片OABC沿AC折疊，使點B落在點D的位置，若B（1，2），則點D的橫坐標(biāo)是_答案-解析分析：首先過點D作DFOA于F，由四邊形OABC是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得AEC是等腰三角形，然后在RtAEO中，利用勾股定理求得AE，OE的長，然后由平行線分線段成比例定理求得AF的長，即可得點D的橫坐標(biāo)解答：解：過點D作DFOA于F，四邊形OABC是矩形，OCAB，ECA=CAB，根據(jù)題意得：CAB=CAD，CDA=B=90°，ECA=E