九年級數(shù)學圓弧、弦、圓心角間的關系圓周角定理及其推論精選例題和練習

1、圓周角定理及其推論一、知識點總結(jié)1圓心角：頂點在圓心的角注意：圓心角的底數(shù)等于它所對弧的度數(shù)2 在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距中，只要有一組量相等，那么另外三組量也分別相等考點一：圓心角，弧，弦的位置關系二、弧、弦、圓心角、弦心距間的關系舉例例1 如圖，AB為O的弦，點C、D為弦AB上兩點，且OC=OD，延長OC、OD分別交O于點E、F，試證明弧AE=弧BF分析：“弧AE=弧BF”“_=_”把證弧相等轉(zhuǎn)化為證_證明：例2 如圖，點O是BPD的平分線上的一點，以O為圓心的圓和角的兩邊分別交于點A、B和C、D求證：AB=CD分析：把證明弦相等轉(zhuǎn)化為證明_弦心距_相等例3如圖所示，已知AB為

2、O的直徑，CD是弦，且ABCD于點E，連接AC、 OC、BC(1)求證：ACO=BCD(2)若EB=8cm，CD=24cm，求O的直徑分析：(1)ACO=_，而_=_(2)在Rt_中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如圖，在ABC中，AD，BD分別平分BAC和ABC，延長AD交ABC的外接圓于E，連接BE求證：BE=DE分析：把證BE=DE轉(zhuǎn)化為證_=_1.如圖1，在O中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，則下列結(jié)論中不正確的是（）2.如圖2，BE是半徑為6的圓D的 14圓周，C點是BE上的任意一點，ABD是等邊三角形，則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是（）2、 已知 AB、 CD是同圓

3、的兩段弧，且 AB=2CD，則弦AB與2CD之間的關系為（）A、 AB=2CD B、AB2CD C、AB2CD D、不能確定 4、下列語句中正確的是（）A、相等的圓心角所對的弧相等B、平分弦的直徑垂直于弦 C、長度相等的兩條弧是等弧 D、經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸 5、 在一扇形統(tǒng)計圖中，有一扇形的圓心角為60°，則此扇形占整個圓的（ ）6、 有下列說法：等弧的長度相等；直徑是圓中最長的弦；相等的圓心角對的弧相等；圓中90°角所對的弦是直徑；同圓中等弦所對的圓周角相等其中正確的有（ ）7、如圖3，AB是O的直徑，AB=AC，BC交O于點D，AC交O于點E，BAC=4

4、5°，給出下列五個結(jié)論：EBC=22.5°；BD=DC；AE=2EC；劣弧AE是劣孤DE的2倍；AE=BC其中正確結(jié)論的序號是（ ） 圖1圖2 圖38. 如圖所示，O半徑為2，弦，A為弧BD的中點，E為弦AC的中點，且在BD上，則四邊形ABCD的面積為9.如圖，在O中，AB是直徑，CD是弦，ABCD（1）P是 CAD上一點（不與C、D重合），求證：CPD=COB；（2）點P在劣弧CD上（不與C、D重合）時，CPD與COB有什么數(shù)量關系？請證明你的結(jié)論3圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半1.如圖1，A是O的圓周角，且A35&#

5、176;,則OBC=_.2.如圖2，圓心角AOB=100°，則ACB=3：如圖3，是O的直徑，點都在O上，若，則 º4：如圖4，O的直徑過弦的中點，則 OABC圖3EFCDGO圖4BOCA 圖2 圖14圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑注：有直徑時，常添加輔助線，構造直徑所對的圓周角，由此轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題考點2：圓周角定理1、 如圖，ABC中，A=60°，BC為定長，以BC為直徑的O分別交AB，AC于點D，E連接DE，已知DE=EC下列結(jié)論：BC=2DE；BD+CE=2DE其中一定正確的有（ ）2.一個

6、圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，已知橋AB長100m，測得圓周角ACB=45°，則這個人工湖的直徑AD為（）3.如圖AB是O的直徑， AC所對的圓心角為60°， BE所對的圓心角為20°，且AFC=BFD，AGD=BGE，則FDG的度數(shù)為（）4. 如圖，AB是O的直徑，C，D兩點在O上，若C=40°，則ABD的度數(shù)為（）1題圖2題3題4題5：已知：如圖，AD是O的直徑，ABC=30°，則CAD=_._D_C_B_A_O 6：已知O中，則O的半徑為7.已知：如圖等邊內(nèi)接于O，點是劣弧上的一點（端點除外），延長至，使，連結(jié)（1）若過圓心，

7、如圖，請你判斷是什么三角形？并說明理由AOCDPB圖AOCDPB圖（2）若不過圓心，如圖，又是什么三角形？為什么？8. 如圖AB是圓O的直徑，C是圓O 上的一點，若AC=8，AB=10，ODBC于點D，求BD的長9.如圖，在O中，直徑AB與弦CD相交于點P，CAB=40°，APD=65°（1）求B的大??；（2）已知圓心0到BD的距離為3，求AD的長10.11.如圖，AB、CD是O的兩條弦，它們相交于點P，連接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的長是 12.如圖，已知點C、D在以O為圓心，AB為直徑的半圓上，且OCBD于點M，CFAB于點F交BD于點

8、E，BD=8，CM=2（1）求O的半徑；（2）求證：CE=BE13.5. 圓內(nèi)接多邊形：一個多邊形的頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓6. 圓內(nèi)接四邊形：圓內(nèi)接四邊形的對角互補如圖所示，A、B、C三點在圓O上，AOC=100°，則ABC等于（ ） A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7. 確定圓的條件：不在同一直線上的三個點確定一個圓小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖5所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是（ ）A第塊B第塊 C第塊D第

9、塊BEDAC8.三角形的外心：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。直角三角形的外心在斜邊上BACDO1.如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點A、B、C。用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；2. 如圖，已知：ABC是O的內(nèi)接三角形，ADBC于D點，且AC=5，DC=3，AB=，則O的直徑等于 。3.如圖，在RtABC中，ACB90°，AC5，CB12，AD是ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE。ACBDE（1）求證：ACAE；（2）

10、求ACD外接圓的半徑。 思維導圖如下：綜合練習一1 選擇題1. 如圖，在O中，若圓心角AOB=100°，C是上一點，則ACB等于( )A80°B100°C130°D140°2已知，如圖, AB為O的直徑，ABAC，BC交O于點D，AC交O于點E，BAC45°。給出以下五個結(jié)論：EBC22.5°；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正確的有( )個A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第1題圖 第2題圖 第3題圖3如圖，設O的半徑為r，弦的長為a，弦與圓心的距離為d，弦的中點到所對劣弧中點的距離為h，下面說

11、法或等式： 已知r、a、d、h中任意兩個，可求其它兩個。其中正確結(jié)論的序號是( ) A僅 B C D4如圖，在O中，弦AB的長是半徑OA的倍，C為中點，AB、OC交于點P，則四邊形OACB是( ) A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形5如圖所示，AB是O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點C，則圖中與BCE相等的角有（ ） A、2個 B、3個 C、4個 D、5個 第4題圖 第5題圖 第6題圖 6如圖所示，AB是O的直徑，弦CDAB于點E，CDB30°，O的半徑為cm，則弦CD的長為( )Acm B3cm Ccm D9cm二、填空題7.如圖，AB和DE是O的直徑，弦ACDE，若弦BE

12、=3，則弦CE=_. 第7題 第9題8半徑為2a的O中，弦AB的長為，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是_.9如圖，O的直徑AB與弦CD相交于點E，若AE=5,BE=1,則AED= °. 10如圖所示，AB、CD是O的兩條互相垂直的弦，圓心角AOC130°，AD、CB的延長線相交于P，則P_°11.如圖所示，在半徑為3的O中，點B是劣弧的中點，連接AB并延長到D，使BDAB，連接AC、BC、CD，如果AB2，那么CD_ NPMOAB（第12題圖） （第10題圖） （第11題圖）12如圖，MN是O的直徑，MN2，點A在O上，AMN30°，點B為中點，P直徑MN上

13、的一個動點，則PAPB的最小值是 .13已知O的半徑OA=2，弦AB、AC分別為一元二次方程x2-（2+2）x+4=0的兩個根，則BAC的度數(shù)為_三、解答題14.如圖，在O中，OB，OC分別交AC，BD于、，求證15如圖所示，以ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，交AD，BC于E，F(xiàn)，延長BA交O于G，求證： 16如圖所示，AB是O的直徑，C為的中點，CDAB于D，交AE于F，連接AC，求證：AFCF17.如圖所示，O的直徑AB長為6，弦AC長為2，ACB的平分線交O于點D，求四邊形ADBC的面積綜合練習二一、選擇題1、如圖1，O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，那么弦AB的

14、長是（ ）A4 B6 C7 D82、如圖2，O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的一個動點，則線段OM長的最小值為（）A2 B3 C4 D5 圖1 圖2 圖33、過O內(nèi)一點M的最長弦為10 cm，最短弦長為8cm，則OM的長為（ ）A9cm B6cm C3cm D4、如圖3，小明同學設計了一個測量圓直徑的工具，標有刻度的尺子OA、OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE=8個單位，OF=6個單位，則圓的直徑為（ ）A12個單位 B10個單位 C1個單位 D15個單位5、如圖4，的直徑垂直弦于，且是半徑的中點，則直徑的長是（）A B C D

15、 如圖4 如圖5 如圖66下列命題中，正確的是（ ）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑 B平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心 D在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對的弦的直線必經(jīng)過這個圓的圓心7、如圖5，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。淇缍葹?4米，拱的半徑為13米，則拱高為( )A5米 B8米 C7米 D5米 8、有4個命題，直徑相等的兩個圓是等圓；長度相等的兩條弧是等??；圓中最長的弦是通過圓心的弦；一條弦把圓分為兩條弧，這兩條弧不可能是等弧。其中真命題是( )A B C D9、在半徑為5cm的圓中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，則AB和CD的距離

16、是( )A7cm B1cm C5cm D7cm或1cm10、 如圖6，EF是O直徑，OE=5cm，弦AB=8cm，EF兩點到MN的距離之和等于( )A12cm B6cm C8cm D3cm二，填空題1、 A、B是半徑為2的O上不同兩點，則AB的取值范圍是_2、在同一平面內(nèi)，1個圓把平面分成2個部分，2個圓把平面最多分成4個部分，3個圓把平面最多分成_個部分3、如圖，AB是O直徑，弦CD與AB交于E，若_，則CE=DE(只需填寫一個)；4、某圓半徑為4cm，一弦中點到所對劣弧中點的距離為2cm，則此弦長為_；5、直徑30cm的O中有兩平行弦AB和CD，AB=18cm，CD=24cm，則AB與CD

17、的距_；6、如圖，O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上的一個動點，那么OP長的取值范 ；7、如圖，在半徑為6cm的O中，兩弦ABCD于E，若CE=3cm，DE=7cm，則AB=_；8、如圖，C是O直徑AB上一點，過C作弦DE，使CD=CO，若所對圓心角度數(shù)為 40°，則所對圓心角度數(shù)為_；9、半徑為1的圓中，長度等于的弦所對圓心角是_度；10、圓的一條弦分圓為4：5兩部分，則其中優(yōu)弧所對圓心角為_度11、已知AB是O的直徑，弦CDAB，E為垂足，CD=8，OE=1，則AB=_12、過O內(nèi)一點M的最長的弦長為，最短的弦長為，則OM的長等于 cm13、在半徑為10的圓中有一條長為16

18、的弦，那么這條弦的弦心距等于 三解答題1、 如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點C，交弦AB于點D。已知：AB，CD。 （1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）； （2）求（1）中所作圓的半徑。 2、已知：如圖，P是AOB的角平分線OC上的一點，P與OA相交于E，F(xiàn)點，與OB相交于G，H點，試確定線段EF與GH之間的大小關系，并證明你的結(jié)論3、如圖，MN為半圓O的直徑，半徑OAMN，D為OA中點，過D作弦BCMN，求證：四邊形ABOC為菱形 4、直徑為1Om的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油面寬AB=8m，那么油的最大深度是多少？5、已知：如圖，AB、CD是O的兩條直徑，弦AE