《圓錐曲線(1)：橢圓》導(dǎo)學(xué)案(復(fù)習(xí)版)

1、圓錐曲線（1）：橢圓導(dǎo)學(xué)案（復(fù)習(xí)版）一知識(shí)全解（一）概念1.知識(shí)：1）概念：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離 等于常數(shù)（ |）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 ，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的 ，一般用 表示。定義式 。2）要素：橢圓是個(gè)軸對稱圖形，有兩條互相垂直的對稱軸，以其建立坐標(biāo)系，則：1）焦點(diǎn)與焦距;橢圓定義中的兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，焦點(diǎn)的距離叫 ，一般用 表示，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，0）和（ ，0）（焦點(diǎn)在軸），或（0， ）和（0， ）（焦點(diǎn)在軸）。2）頂點(diǎn)與長、短軸；橢圓與其對稱軸交點(diǎn)叫頂點(diǎn)，同一對稱軸上交點(diǎn)的距離，較長的叫 ，較短的叫 ，分別用 和 表示，其四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次是（ ，0）、（ ，0）、

2、（0， ）、（0， ）（焦點(diǎn)在軸），或（0， ）、（0， ）、（ ，0）、（ ，0）（焦點(diǎn)在軸）3）“半長軸”、“半短軸”、“半焦距”的關(guān)系： 。2.全解：1）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)這個(gè)常數(shù)等于|）時(shí)，存在嗎，若存在，是什么？若不存在，說明理由。2）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)點(diǎn)的軌跡，當(dāng)這個(gè)常數(shù)小于于|）時(shí)，存在嗎，若存在，是什么？若不存在，說明理由。3）判斷下列點(diǎn)的軌跡是不是橢圓，若是，寫出的值，及以其對稱軸為坐標(biāo)軸時(shí)的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離為6，一動(dòng)點(diǎn)到兩定的距離之和為6，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡。（2）平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離為8，一動(dòng)點(diǎn)到兩定的距離之

3、和為6，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡。（3）平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離為6，一動(dòng)點(diǎn)到兩定的距離之和為8，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡。(二)標(biāo)準(zhǔn)方程1.知識(shí)：1）標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸： （2）焦點(diǎn)在軸： （3）統(tǒng)一方程： 。2）參數(shù)意義：1）是 （“半長軸”或“半短軸”或“半焦距”）2）是 （“半長軸”或“半短軸” 或“半焦距”）3）是 （“半長軸”或“半短軸” 或“半焦距”）3）軌跡法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的一般步驟（1）建： （2）設(shè)： （3）列： （4）表： （5）化： 。2.全解：1）知道橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判定其焦點(diǎn)的位置？2）什么情況下選擇統(tǒng)一方程？3）根據(jù)下列橢圓的方程，畫出橢圓的草圖（1）；（2）4）根據(jù)下列條件，直接寫出橢

4、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）和（0，4），。（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）和（4，0），（3）。（三）簡單性質(zhì)1.知識(shí)：1）對稱性：橢圓既是 圖形，又是 圖形，由標(biāo)準(zhǔn)方程所確定的橢圓其對稱軸是 ，對稱中心是 。2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線 和 所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)分別滿足 ， 。 3）離心率：（1）定義：橢圓的 與 的比叫做橢圓的離心率，用 表示，即 。（2）范圍：取值范圍是 。（2）意義：描述橢圓 程度的代數(shù)量。越大，橢圓 ，越小，橢圓 。2.全解：1）判斷;（1）橢圓的對稱軸是兩個(gè)坐標(biāo)軸，對稱中心是原點(diǎn)。（2）離心率越大橢圓越圓，離心率越小橢圓越扁。（3）

5、若焦點(diǎn)在軸上，則。2）說明離心率的取值范圍是如何確定的？3）求下列情況下，橢圓的離心率（1）；（2）。4）根據(jù)下列條件，直接寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1），離心率為；（2），。二技能全解1.利用橢圓的軌跡定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不是橢圓例1：已知是兩個(gè)定點(diǎn)，,且的周長是22，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不是橢圓，若是，指出常數(shù)和焦距的值。變式：中，的坐標(biāo)分別為，且三邊成等差數(shù)列，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不是橢圓，若是，指出常數(shù)和焦距的值。2.根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的相關(guān)要素，并畫出橢圓的草圖例2：根據(jù)下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出橢圓頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及長軸、短軸、焦距，并畫出橢圓的的草圖。變式：根據(jù)下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出橢圓

6、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及長軸、短軸、焦距，并畫出橢圓的的草圖。3利用軌跡法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3：已知是兩個(gè)定點(diǎn)，,且的周長是22，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡。變式：中，的坐標(biāo)分別為，且三邊成等差數(shù)列，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡。4利用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例4：已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程變式：已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0，1)、F2(0,1)，P是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF22F1F2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。5利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例5：若橢圓經(jīng)過點(diǎn)和,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式：橢圓過點(diǎn)和，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。6利用離心率的定義求離心

7、率例6：求橢圓的離心率。變式：求橢圓的離心率。三題型全解 1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1：中，的坐標(biāo)分別為，且邊所在的直線的斜率之積等于，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡。變式：若ABC頂點(diǎn)B, C的坐標(biāo)分別為(8, 0), (8, 0)，AC, AB邊上的中線長之和為30，求ABC的重心G的軌跡。例2：已知橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式：求過點(diǎn)，且與橢圓的焦點(diǎn)相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.求橢圓的離心率例3：已知矩形，則以為焦點(diǎn)，且過兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 。變式：若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為,則橢圓的離心率為 。例4：橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長軸分成3：2兩部分線段，求離心率變式：P是橢圓+=1（ab0）上

8、一點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，已知 橢圓的離心率為 例5：橢圓(ab0)的半焦距為c，若直線y=2x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c求離心率 。變式：橢圓的焦距，短軸，長軸成等差數(shù)列，求其離心率。4.求橢圓離心率的范圍例6：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使，求離心率的取值范圍。變式：知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，求離心率的取值范圍。四針對演練1. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和不小于的常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 橢圓 線段 橢圓或線段 不存在 2若方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A.(-16，25)B.( ，25)C.(-16，)D.( ，+)3.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

9、（ ） A(7, 0) B(0, 7) C(,0) D(0, )4點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)F1, F2為頂點(diǎn)的三角形的面積為1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）A(, 1) B(, 1) C(, 1) D(, 1)5已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且2a10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_。6過點(diǎn)(3,2)且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_。7.橢圓過A(6,0)，B(0,8) ，則其標(biāo)準(zhǔn)方程 。8.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)距離分別是10和4，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 。9若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_10. 已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

10、方程是1(a5)，它的兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且F1F28，弦AB過點(diǎn)F1，則ABF2的周長為_11已知橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上的一點(diǎn)，Q是PF1的中點(diǎn)，若OQ1，則PF1_.12設(shè)F1、F2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1PF221，則PF1F2的面積等于_13已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于 14.已知?jiǎng)t當(dāng)mn取最小值時(shí)，橢圓的的離心率為 。15若橢圓短軸端點(diǎn)為滿足，則離心率為 。16設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 17已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別

11、為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時(shí)，其離心率 。18已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍 。19設(shè)橢圓（ab0）的兩焦點(diǎn)為F1、F2，若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使F1QF2=120，橢圓離心率e的取值范圍為 20已知橢圓x22y2a2(a0)的左焦點(diǎn)F1到直線yx2的距離為2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程21已知圓C：(x3)2y2100及點(diǎn)A(3,0)，P是圓C上任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線l與PC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程22已知定點(diǎn)和，定圓的圓心為，且半徑為，動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與定圓相切。若，試求動(dòng)圓圓心的軌跡。23已知F1、

12、F2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)1)若F1PF2，求F1PF2的面積；2)求PF1PF2的最大值答案與解析：二技能全解：例1：答案：是橢圓但除去與橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)，；考點(diǎn)：橢圓的第一定義。變式：答案：是橢圓但除去與橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)，；考點(diǎn)：橢圓的第一定義。例2：略變式：略。例3：答案：；考點(diǎn)：軌跡法、定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式：答案：；考點(diǎn)：軌跡法、定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例4：答案：或；考點(diǎn)：定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式：答案：1；考點(diǎn)：定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例5：答案：；考點(diǎn)：待定系數(shù)法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式：答案：；考點(diǎn)：待定系數(shù)

13、法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例6：答案：；考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，參數(shù)的關(guān)系，離心率的定義。變式：答案：；考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，參數(shù)的關(guān)系，離心率的定義。三題型全解：例1：答案：；考點(diǎn)：軌跡法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式：答案：；考點(diǎn)：軌跡法或定義法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2：答案：；考點(diǎn)：定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式：答案：；考點(diǎn)：定義法和待定系數(shù)法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例3：答案：；考點(diǎn)：離心率的定義、橢圓參數(shù)的幾何意義。變式：答案：；考點(diǎn)：離心率的定義、橢圓參數(shù)的幾何意義。例4：答案：；考點(diǎn)：整體和方程思想（一元一次方程）、離心率的定義。變式： 答案：；考點(diǎn)：整體和方程思想（一元一次方程）、離心率的

14、定義。例5：答案：；考點(diǎn)：整體和方程思想（一元二次方程）、離心率的定義。變式： 答案：；考點(diǎn)：整體和方程思想（一元二次方程）、離心率的定義。例6：答案：；考點(diǎn)：離心率的定義和范圍、均值不等式（或橢圓的范圍、數(shù)形結(jié)合法）變式：答案：；考點(diǎn)：離心率的定義和范圍、余弦定理、均值不等式（或橢圓的范圍、數(shù)形結(jié)合法）四針對演練1.答案：C；考點(diǎn)：橢圓的第一定義。2.答案：B；考點(diǎn)：橢圓參數(shù)的關(guān)系。3.答案：D；考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)的關(guān)系。4.答案：D；考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)的關(guān)系，橢圓的對稱性，數(shù)形結(jié)合。5.答案：1；考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其參數(shù)關(guān)系，待定系數(shù)法。6.答案：1；考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其參

15、數(shù)關(guān)系，待定系數(shù)法或定義法。7.答案：；考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法。8.答案：或；考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何要素，待定系數(shù)法。9.答案：1(y0)）；考點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡法或定義法。10.答案：4；考點(diǎn)：橢圓的第一定義。11.答案：6；考點(diǎn)：橢圓的第一定義。12.答案：4；考點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程。13.答案：；考點(diǎn)：離心率的定義，整體和方程思想。14.答案：；考點(diǎn)：離心率的定義，整體和方程思想。15.答案：；考點(diǎn)：離心率的定義，參數(shù)的幾何意義，整體。16.答案：；考點(diǎn)：離心率的定義，參數(shù)的幾何意義，整體。17.答案：；考點(diǎn)：離心率的定義，整體和方程思想。18.答案：；考點(diǎn)：離心率的定義和范圍，參數(shù)關(guān)系，整體思想。19.答案：；考點(diǎn)：離心率的定義和范圍，參數(shù)關(guān)系，余弦定理，均值不等式整體思想。20.答案：1.；考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、待定系數(shù)法、點(diǎn)到直線的距離公式。21.答案：1；考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義法、線段中垂線的性質(zhì)。22.答案：；考點(diǎn)：圓內(nèi)、外切的充要條件，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方