期權(quán)價值敏感性——希臘字母

1、第三章 期權(quán)敏感性（希臘字母）顧名思義，期權(quán)敏感性是指期權(quán)價格受某些定價參數(shù)的變動而變動的敏感程度，本章主要介紹期權(quán)價格對其四個參數(shù)（標(biāo)的資產(chǎn)市場價格、到期時間、波動率和無風(fēng)險利率）的敏感性指標(biāo)，這些敏感性指標(biāo)也稱作希臘值（Greeks）。每一個希臘值刻畫了某個特定風(fēng)險，如果期權(quán)價格對某一參數(shù)的敏感性為零，可以想見，該參數(shù)變化時給期權(quán)帶來的價格風(fēng)險就為零。實際上，當(dāng)我們運用期權(quán)給其標(biāo)的資產(chǎn)或其它期權(quán)進行套期保值時，一種較常用的方法就是分別算出保值工具與保值對象兩者的價值對一些共同的變量（如標(biāo)的資產(chǎn)價格、時間、標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率、無風(fēng)險利率等）的敏感性，然后建立適當(dāng)數(shù)量的證券頭寸，組成套期保值

2、組合，使組合中的保值工具與保值對象的價格變動能相互抵消，也就是說讓套期保值組合對該參數(shù)變化的敏感性變?yōu)榱?，這樣就能起到消除相應(yīng)風(fēng)險的套期保值的目的。本章將主要介紹Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho五個常用希臘字母。符號風(fēng)險因素量化公式Delta標(biāo)的證券價格變化權(quán)利金變化/標(biāo)的證券價格變化Gamma標(biāo)的證券價格變化Delta 變化/標(biāo)的證券價格變化Vega波動率變化權(quán)利金變化/波動率變化Theta到期時間變化權(quán)利金變化/到期時間變化Rho利率變化權(quán)利金變化/利率變化本章符號釋義：為期權(quán)到期時間為標(biāo)的證券價格，為標(biāo)的證券現(xiàn)價，為標(biāo)的證券行權(quán)時價格為期權(quán)行權(quán)價格 為無風(fēng)險利率 為標(biāo)

3、的證券波動率 為資產(chǎn)組合在t時刻的價值為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積密度函數(shù)，可以查表或用計算機(如 Excel)求得為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)，第一節(jié) Delta （德爾塔，）1.1 定義Delta衡量的是標(biāo)的證券價格變化對權(quán)利金的影響，即標(biāo)的證券價格變化一個單位，權(quán)利金相應(yīng)產(chǎn)生的變化。新權(quán)利金=原權(quán)利金+Delta×標(biāo)的證券價格變化案例3.1 有一個上證50ETF看漲期權(quán)，行權(quán)價為1.900元，期權(quán)價格為0.073元，還有6個月到期，此時上證50ETF價格為1.800元。無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。Delta為0.4255。在其他條件不變的情況下，如果上證50ETF的

4、價格變?yōu)?.810 元，即增加了0.010元，則期權(quán)理論價格將變化為：1.2 公式從理論上，Delta 準(zhǔn)確的定義為期權(quán)價值對于標(biāo)的證券價格的一階偏導(dǎo)。根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價公式，歐式看漲期權(quán)的Delta公式為： （3.1）看跌期權(quán)的Delta公式為： （3.2）其中 （3.3）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積密度函數(shù)，可以查表或用計算機(如 Excel)求得。顯然，看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的Delta只差為1，這也正好與平價關(guān)系互相呼應(yīng)。案例3.2 有兩個行權(quán)價為1.900的上證50ETF期權(quán)，一個看漲一個看跌，離期權(quán)到期還有6個月。此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，

5、波動率為20%。則：1.3 性質(zhì)1) 期權(quán)的Delta取值介于-1到1之間。也就是說標(biāo)的證券價格變化的速度快于期權(quán)價值變化的速度。 2) 看漲期權(quán)的Delta是正的；看跌期權(quán)的Delta是負(fù)的。 對于看漲期權(quán)，標(biāo)的證券價格上升使得期權(quán)價值上升。對于看跌期權(quán)，標(biāo)的證券價格上升使得期權(quán)價值下降。 圖3-13) 隨標(biāo)的價格的變化： 對于看漲期權(quán)，標(biāo)的價格越高，標(biāo)的價格變化對期權(quán)價值的影響越大。對于看跌期權(quán)，標(biāo)的價格越低，標(biāo)的價格變化對期權(quán)價值的影響越大。也就是說越是價內(nèi)的期權(quán)，標(biāo)的價格變化對期權(quán)價值的影響越大；越是價外的期權(quán)，標(biāo)的價格變化對期權(quán)價值的影響越小。 圖3-24) Delta 隨到期時間的

6、變化： 看漲期權(quán)： 價內(nèi)看漲期權(quán)（標(biāo)的價格>行權(quán)價）Delta收斂于1 平價看漲期權(quán)（標(biāo)的價格=行權(quán)價）Delta收斂于0.5 價外看漲期權(quán)（標(biāo)的價格<行權(quán)價）Delta收斂于0 看跌期權(quán)： 價內(nèi)看跌期權(quán)（標(biāo)的價格<行權(quán)價）Delta收斂于-1 平價看跌期權(quán)（標(biāo)的價格=行權(quán)價）Delta收斂于-0.5 價外看跌期權(quán)（標(biāo)的價格>行權(quán)價）Delta收斂于0 圖3-3第二節(jié) Gamma(伽馬，)2.1 定義在第一節(jié)里我們用Delta度量了標(biāo)的證券價格變化對權(quán)利金的影響，當(dāng)標(biāo)的證券價格變化不大時，這種估計是有效的。然而當(dāng)標(biāo)的證券價格變化較大時，僅僅使用Delta會產(chǎn)生較大的估計

7、誤差，此時需要引入另一個希臘字母Gamma。Gamma衡量的是標(biāo)的證券價格變化對Delta的影響，即標(biāo)的證券價格變化一個單位，期權(quán)Delta相應(yīng)產(chǎn)生的變化。新Delta=原Delta+Gamma×標(biāo)的證券價格變化Gamma同時也間接度量了標(biāo)的證券價格變化對權(quán)利金的二階影響。新權(quán)利金=原權(quán)利金+Delta×標(biāo)的價格變化+1/2×Gamma×標(biāo)的價格變化2案例3.3 有一個上證50ETF看漲期權(quán)，行權(quán)價為1.900元，期權(quán)價格為0.073元，還有6個月到期，此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。Delta為

8、0.4255，Gamma為1.540。在其他條件不變的情況下，如果上證50ETF的價格變?yōu)?.850 元，即增加了0.050元，則Delta將變化為期權(quán)價格將變化為2.2 公式從理論上，Gamma的定義為期權(quán)價值對于標(biāo)的證券價格的二階偏導(dǎo)。Gamma衡量了Delta關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價格的敏感程度。當(dāng)Gamma比較小時，Delta變化緩慢，這時為了保證Delta中性所做的交易調(diào)整并不需要太頻繁。但是當(dāng)Gamma的絕對值很大時，Delta對標(biāo)的資產(chǎn)變動就很敏感，為了保證Delta中性，就需要頻繁的調(diào)整。 根據(jù)Black-Scholes公式，對于無股息的歐式看漲與看跌期權(quán)的Gamma公式如下： (3.4

9、)其中，由式（3.3）給出，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。 在參數(shù)相同時，看漲期權(quán)、看跌期權(quán)的Gamma是相同的。案例3.4 有兩個行權(quán)價為1.900元的上證50ETF期權(quán)，一個看漲一個看跌，離期權(quán)到期還有6個月。此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。則2.3 性質(zhì)1） 期權(quán)的Gamma是正的。標(biāo)的證券價格上漲，總是使期權(quán)的Delta變大。 圖 3.42） Gamma隨標(biāo)的價格的變化：當(dāng)時，Gamma取得最大值。圖 3.53）Gamma隨到期時間的變化： 平價期權(quán)（標(biāo)的價格等于行權(quán)價）的Gamma是單調(diào)遞增至無窮大的。非平價期權(quán)的Gamma先變大

10、后變小，隨著接近到期收斂至0。 圖 3.64) Gamma隨波動率的變化： 波動率和Gamma最大值呈反比，波動率增加將使行權(quán)價附近的Gamma減 小，遠(yuǎn)離行權(quán)價的Gamma增加。 圖 3.7第三節(jié)Vega (維嘉, )3.1 定義Vega衡量的是標(biāo)的證券波動率變化對權(quán)利金的影響，即波動率變化一個單 位，權(quán)利金應(yīng)該產(chǎn)生的變化。新權(quán)利金=原權(quán)利金+Vega波動率變化案例3.5 有一個上證50ETF看漲期權(quán)，行權(quán)價為1.900元，期權(quán)價格為0.073元，還有6個月到期。此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。Vega為0.4989。在其他條件不變的

11、情況下，如果上證50ETF的波動率變?yōu)?1%，即增加了1%，則期權(quán)理論價格將變化為3.2 公式從理論上，Vega準(zhǔn)確的定義為期權(quán)價值對于標(biāo)的證券波動率的一階偏導(dǎo)。根據(jù)Black-Scholes理論進行定價，則 (3.5)其中，由式（3.3）給出，為正態(tài)分布的密度函數(shù)。在參數(shù)相同時，看漲期權(quán)、看跌期權(quán)的Vega是相同的。案例3.6 有兩個行權(quán)價為1.900元的上證50ETF期權(quán)，一個看漲一個看跌，離期權(quán)到期還有6個月。此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。則3.3 性質(zhì)1） 期權(quán)的Vega是正的。波動率增加將使得期權(quán)價值更高，波動率減少將降低期

12、權(quán)的價值。圖 3.82） Vega隨標(biāo)的價格的變化：當(dāng)時，Vega取得最大值。在行權(quán)價附近，波動率對期權(quán)價值的影響最大。圖 3.93） Vega隨到期時間的變化：Vega隨期權(quán)到期變小。期權(quán)越接近到期，波動率對期權(quán)價值的影響越小。圖 3.10第四節(jié) Theta（西塔，）4.1 定義Theta衡量的是到期時間變化對權(quán)利金的影響，即到期時間過去一個單位， 權(quán)利金應(yīng)該產(chǎn)生的變化。新權(quán)利金=原權(quán)利金+Theta流逝的時間案例3.7 有一個上證50ETF看漲期權(quán)，行權(quán)價為1.900元，期權(quán)價格為0.073元，還有6個月到期。此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率

13、為20%。Theta為-0.1240。在其他條件不變的情況下，如果離行權(quán)日只有5個半月了，即流逝了半個月的時間（0.0833），則期權(quán)理論價格將變化為4.2 公式 從理論上，Theta 的定義為期權(quán)價值對于到期時間變化的一階偏導(dǎo)。根據(jù)Black-Sholes理論進行定價，則 （3.6） （3.7）案例3.8 有兩個行權(quán)價為1.900元的上證50ETF期權(quán)，一個看漲一個看跌，離期權(quán)到期還有6個月。此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。則其中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積密度函數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。4.3 性質(zhì)1）看漲期權(quán)的Theta是負(fù)的；看跌

14、期權(quán)的Theta一般為負(fù)的，但在價外嚴(yán)重的情況下可能為正。因此通常情況下，越接近到期的期權(quán)Theta值越小。圖 3.112）隨標(biāo)的價格的變化：在行權(quán)價附近，Theta的絕對值最大。也就是說在行權(quán)價附近，到期時間變化對期權(quán)價值的影響最大。 圖 3.123）Theta隨到期時間的變化：平價期權(quán)（標(biāo)的價格等于行權(quán)價）的Theta是單調(diào)遞減至負(fù)無窮大。非平價期權(quán)的Theta將先變小后變大，隨著接近到期收斂至0。因此隨著期權(quán)接近到期，平價期權(quán)受到的影響越來越大，而非平價期權(quán)受到的影響越來越小。 圖 3.13第五節(jié) Rho（柔，）5.1 定義Rho衡量的是利率變化對權(quán)利金的影響，即利率變化一個單位，權(quán)利金

15、相應(yīng)產(chǎn)生的變化。新權(quán)利金=原權(quán)利金+Rho利率變化案例3.9 有一個上證50ETF看漲期權(quán)，行權(quán)價為1.900元，期權(quán)價格為0.073元，還有6個月到期。此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。Rho為0.3463。在其他條件不變的情況下，如果利率變?yōu)?.00%，即利率增加了0.50%，則期權(quán)理論價格將變化為5.2 公式 從理論上，Rho 的定義為期權(quán)價值對于利率的一階偏導(dǎo)。 根據(jù)Black-Sholes理論進行定價，則 （3.8） （3.9）其中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積密度函數(shù)。案例3.10 有兩個行權(quán)價為1.900元的上證50ETF期權(quán)，一個

16、看漲一個看跌，離期權(quán)到期還有6個月。此時上證50ETF價格為1.800元，無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。則5.3 性質(zhì)1）看漲期權(quán)的Rho是正的；看跌期權(quán)的Rho是負(fù)的。對于看漲期權(quán)，利率上升使得期權(quán)價值上升。對于看跌期權(quán)，利率上升使得期權(quán)價值下降。圖 3.142）隨標(biāo)的價格的變化：Rho隨標(biāo)的證券價格單調(diào)遞增。對于看漲期權(quán)，標(biāo)的價格越高，利率對期權(quán)價值的影響越大。對于看跌期權(quán)，標(biāo)的價格越低，利率對期權(quán)價值的影響越大。越是價內(nèi)（標(biāo)的價格>行權(quán)價）的期權(quán)，利率變化對期權(quán)價值的影響越大；越是價外（標(biāo)的價格<行權(quán)價）的期權(quán)，利率變化對期權(quán)價值的影響越小。圖 3.15

17、 3）Rho隨時間的變化：Rho隨著期權(quán)到期，單調(diào)收斂到0。也就是說，期權(quán)越接近到期，利率變化對期權(quán)價值的影響越小。圖 3.16第六節(jié) 希臘字母應(yīng)用6.1 期權(quán)的希臘字母前文中分別介紹了五個最常用的希臘字母Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho。影響因素看漲期權(quán)多頭看跌期權(quán)多頭買入標(biāo)的證券Delta標(biāo)的證券價格1Gamma標(biāo)的證券價格0Vega波動率0Theta到期時間0Rho利率0由于期權(quán)空頭的價值為期權(quán)多頭的負(fù)數(shù)，因此融券、期權(quán)空頭的希臘字母也為股票、期權(quán)多頭的負(fù)數(shù)。影響因素看漲期權(quán)空頭看跌期權(quán)空頭融入標(biāo)的證券Delta標(biāo)的證券價格-1Gamma標(biāo)的證券價格0Vega波動率0

18、Theta到期時間0Rho利率06.2 資產(chǎn)組合的希臘字母案例3.11 上證50ETF現(xiàn)價為1.800元，行權(quán)價為1.900元，六個月后到期的看漲期權(quán)，權(quán)利金為0.073元。行權(quán)價格為1.900元，六個月后到期的看跌期權(quán)，權(quán)利金為0.140元。無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%。構(gòu)建資產(chǎn)組合A：買入一手看跌期權(quán)，賣空一手看漲期權(quán)，買入10000股上證50ETF則組合A的希臘字母如下：組合A一手看漲期權(quán)一手看跌期權(quán)10000股ETFDelta0-4255-574510000Gamma0ega0-498949890Theta6531240-5870Rho-

19、9335-3463-58720組合A的成本由看漲期權(quán)多頭、看跌期權(quán)空頭、ETF構(gòu)成成本=10000-0.073+0.140+1.8=18670元組合A的到期收益由看漲期權(quán)多頭、看跌期權(quán)空頭、ETF構(gòu)成組合A的價值為到期收益現(xiàn)值和上面計算的希臘字母結(jié)果一致，組合A的價值不受50ETF的價格的影響，也不受波動率的影響，單受利率和到期時間的影響。利率上升，組合A的價值將下降；到期時間越近，組合A的價值越高。一個同標(biāo)的資產(chǎn)組合的希臘字母為其各個部分的希臘字母之和。當(dāng)一個資 產(chǎn)組合的希臘字母為0，組合將不受相應(yīng)市場因素的影響，損益是被鎖定的， 可以認(rèn)為組合在這個因素上是無風(fēng)險的。6.3 風(fēng)險管理五個希臘

20、字母分別度量了標(biāo)的證券的價格、標(biāo)的證券波動率、期權(quán)到期時間、市場利率對期權(quán)價格的影響，是管理期權(quán)風(fēng)險的主要指標(biāo)。 一個資產(chǎn)組合在時刻的價值，可以用下面這個公式來近似其中主要需要考慮的是Delta、Gamma及Vega三個字母，只要管理好這些 希臘字母就能有效的控制資產(chǎn)組合的風(fēng)險。在目前的國內(nèi)市場，缺乏合適的工 具來對沖Gamma和Vega，但可以利用標(biāo)的現(xiàn)貨來管理Delta。案例3.12 上證50ETF現(xiàn)價為1.800元，行權(quán)價為1.900元，六個月后到期的看跌期權(quán)，權(quán)利金為0.140元。無風(fēng)險利率為3.5%，上證50ETF波動率為20%?，F(xiàn)在投資者手中持有一手看跌期權(quán)，則可計算期權(quán)的Delt

21、a為-5745。如果投資者希望能夠避免資產(chǎn)受上證50ETF價格變化的影響，則可以通過買入50ETF現(xiàn)貨來中和Delta。構(gòu)建投資組合B：一手看跌期權(quán)，買入5700股上證50ETF（股票一手為100股）。則組合B的希臘字母如下：組合B一手看跌期權(quán)5700股ETFDelta-45-57455700Gammega498949890Theta-587-5870Rho-5872-58720組合B的Delta為-45，組合B的成本由看跌期權(quán)多頭，ETF構(gòu)成成本=100000.140+57001.800=11660元 模擬上證50ETF價格變化時，組合價值的變化上證50ETF價格變

22、化組合B價值變化不對沖Delta的情況+0.200+291-850+0.100+75-490-0.100+83+650-0.200+300+1440對沖了Delta后，組合B受標(biāo)的價格影響大大減少。案例中提到的對沖Delta的方法成為Delta中性策略，是最常用的對沖資產(chǎn)組合風(fēng)險的方法。本章問題：期權(quán)行情中能看到希臘字母嗎？能在交易軟件上看到嗎？ 答：由于希臘字母是對于期權(quán)價格變化的一種估計，沒有一定的參數(shù)和計算公式，交易所不會提供相關(guān)數(shù)據(jù)。 至于在交易軟件上能否看到，取決于投資者使用的軟件，某些軟件可能采用某種模型來計算期權(quán)的希臘字母。 為什么用書中的公式計算希臘字母，發(fā)現(xiàn)效果不好？ 答：首

23、先，希臘字母是對期權(quán)價值變化的一個度量，由于價格是有市場多空雙方的供需決定的，不一定準(zhǔn)確反映了期權(quán)價值的變化。其二，文中使用的是 Black-Scholes模型，此模型對市場有諸多修正，如無交易成本、股價符合對數(shù)正態(tài)分布等。即使 Black-Scholes公式，也不能完全準(zhǔn)確刻畫期權(quán)的價值。因此利用文中公式計算的希臘字母，可能與實際市場中的期權(quán)價格敏感度存在差距。 希臘字母是不是絕對值越小越好？ 答：希臘字母可以理解為期權(quán)在某一個市場因素下的風(fēng)險。誠然希臘字母絕對值越小，投資者承擔(dān)的相應(yīng)風(fēng)險越小，但是可能的收益也越小。收益總是伴隨著風(fēng)險。 通過希臘字母，投資者可以把各個方面的風(fēng)險進行分解。然后

24、通過資產(chǎn)組合管理希臘字母，承受愿意承擔(dān)的風(fēng)險部分，對沖不愿承擔(dān)的風(fēng)險部分。 例如投資者判斷未來股價將發(fā)生較大的變化，但不知道股價是漲或是跌， 則投資者可以把資產(chǎn)組合的Delta和Gamma調(diào)整至0，而把Vega調(diào)高。則投資者把自己對市場的判斷體現(xiàn)在了投資組合上，同時回避了其他可能的風(fēng)險。 希臘字母的正負(fù)號，絕對值的大小分別有什么含義？答；希臘字母的正負(fù)號意味著對應(yīng)風(fēng)險因素與期權(quán)價值變化是正相關(guān)或是負(fù) 相關(guān)。如正的Delta意味著標(biāo)的價格上升會導(dǎo)致期權(quán)價格上升，負(fù)的Delta意味著標(biāo)的價格上升會導(dǎo)致期權(quán)價格下降。 希臘字母的絕對值意味著期權(quán)價值對于相應(yīng)風(fēng)險因素的敏感度。如Delta 是1，則股價

25、增加1元，期權(quán)價值也增加1元；如果Delta是-0.5， 則股價增加1元，期權(quán)價格減少0.5元。 一個歐式看漲期權(quán)Delta為0.3意味著什么？如果一個投資者做空了100份看漲期權(quán)（假設(shè)一份期權(quán)對應(yīng)一份股票），為了保持Delta中性，他需要買多少股票？答：Delta為0.3，意味著股票價格微小變動，會導(dǎo)致期權(quán)價格變動相應(yīng)的0.3倍，比如說，當(dāng)前股價10元，股價微漲千分之一，即股價上漲了1分錢，則這時對應(yīng)的期權(quán)上漲0.3分錢，同樣如果股價下跌1分錢，期權(quán)下跌0.3分錢。如果投資者做空了100份期權(quán)，那他的Delta為-0.3乘以100，及-30，由于標(biāo)的股票的Delta為1，這時他需要買入30份

26、股票，才能保證組合的Delta為0。假如一個投資者做空了1份歐式看漲期權(quán)，他能用股票來對沖掉Gamma風(fēng)險嗎？如果不能，可以采用什么辦法來使Gamma中性？答：投資者不能用股票來對沖Gamma，因為股票的Gamma總是0。關(guān)于對沖Gamma，最簡單的辦法，他可以買入相同執(zhí)行價格、相同到期日、相同標(biāo)的資產(chǎn)的看跌期權(quán)來對沖Gamma風(fēng)險。當(dāng)然也可以用相同標(biāo)的資產(chǎn)、不同其他條款（如執(zhí)行價格不同或者到期日不同）的期權(quán)，但是必須要計算出兩個期權(quán)的Gamma，假設(shè)原來看漲期權(quán)的Gamma等于G0，現(xiàn)在用來對沖的期權(quán)的Gamma為G1，則為了是Gamma中性，他需要買入G0/G1份期權(quán)來保證Gamma中性。

27、為什么期權(quán)的希臘值是重要的？答：期權(quán)的希臘值刻畫了期權(quán)價值與市場參數(shù)的敏感程度。期權(quán)投資者通過希臘值可以了解當(dāng)市場參數(shù)變化時，期權(quán)價格的變化方向和程度。對于進行對沖交易的投資者，可以通過希臘值確定用于對沖的期權(quán)數(shù)量，并且動態(tài)的管理對沖組合的風(fēng)險。為什么當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格在行權(quán)價附近時看漲期權(quán)Delta大約是0.5？答：看漲期權(quán)Delta的數(shù)學(xué)公式是，若直觀地解釋，此為最后標(biāo)的資產(chǎn)價格在行權(quán)價之上的概率。如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在行權(quán)價附近，如果假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格隨機變動，粗略的看最后有一半的概率落在行權(quán)價之上，所以其Delta大約是0.5。為什么當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格在行權(quán)價附近時期權(quán)Delta變化最快？即Gamm

28、a最大？答：由上述Delta的概率解釋，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格在行權(quán)價附近時，有一半左右的概率最后價格落在行權(quán)價之上。但是當(dāng)資產(chǎn)價格大于行權(quán)價時，由于標(biāo)的資產(chǎn)價格的隨機變動的假設(shè)，最后落在行權(quán)價之上的概率會顯著大于0.5；同理當(dāng)資產(chǎn)價格小于行權(quán)價時，最后落在行權(quán)價之上的概率會顯著小于0.5。因此當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與行權(quán)價很接近時，此概率變化最為敏感，所以Delta的變化最快。為何需要研究Delta的變化速率Gamma？答：對于進行Delta對沖的投資者或套利者，Gamma衡量了對沖的誤差。每次進行動態(tài)對沖，買入賣空Delta份標(biāo)的資產(chǎn)時，一般需要持有一小段時間到下一次動態(tài)調(diào)整 由于交易費用的存在，動態(tài)對沖

29、是離散的而不是連續(xù)的。，這期間Delta可能變化，變化速率是Gamma，因此Gamma的大小就刻畫了這期間對沖的誤差。因此整個對沖過程的誤差就是把每一小段的對沖誤差合在一起，也是受Gamma值所影響的。對于平價期權(quán)為何Gamma越到期就越大？而價外和價內(nèi)期權(quán)就無此現(xiàn)象？答：Gamma衡量的是Delta的變化速度。當(dāng)快到期時，如果標(biāo)的資產(chǎn)價格等于行權(quán)價，則有大約一半的概率最后高于行權(quán)價；當(dāng)資產(chǎn)價格高于行權(quán)價，則此概率顯著大于0.5（越接近到期，則概率越接近1）；當(dāng)資產(chǎn)價格低于行權(quán)價，則此概率顯著小于0.5（越接近到期，則概率越接近0）。因此越接近到期，資產(chǎn)價格在行權(quán)價附近時，Delta的變動就越劇烈，所以Gamma就越大。但是越接近到