生活中的幾何──歐式幾何

1、生活中的幾何歐式幾何幾何學(xué)發(fā)展簡況“幾何”這個詞在漢語里是“多少？”的意思，但在數(shù)學(xué)里 “幾何”的涵義就完全不同了?！皫缀巍边@個詞的詞義來源于希臘文，原意是土地測量，或叫測地術(shù)。幾何學(xué)和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實(shí)踐，也可以說幾何產(chǎn)生的歷史和 算術(shù)是相似的。在遠(yuǎn)古時代，人們在實(shí)踐中積累了十分豐富 的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概 念，并且逐步認(rèn)識了這些概念之間、它們以及它們之間位置 關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來就成了幾何學(xué)的基本 概念。正是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗 淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數(shù)是經(jīng)驗(yàn) 性的，但是幾何學(xué)就是建立在這些零散、經(jīng)

2、驗(yàn)性的、粗淺的 幾何知識之上的。幾何學(xué)史數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是在數(shù)學(xué)這個領(lǐng)域里 最基礎(chǔ)的分支之一。 古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、 古希臘都是幾何學(xué)的重要發(fā)源地。大量由土文物證明，在我 國的史前時期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識，看一 看遠(yuǎn)古時期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的 圖案的繪制，一些簡單設(shè)計(jì)但是講究體積和容積比例的器 皿，都足以說明當(dāng)時人們掌握的幾何知識是多么豐富了。第1頁幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學(xué)科，希臘學(xué)者的工作曾起了 十分關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產(chǎn)比較 發(fā)達(dá)，一批學(xué)者熱心追求科學(xué)知識，研究幾何就是最感興趣 的內(nèi)容，在這里應(yīng)當(dāng)提及的

3、是哲學(xué)家、幾何學(xué)家柏拉圖和哲 學(xué)家亞里士多德對發(fā)展幾何學(xué)的貢獻(xiàn)。柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識 受邏輯學(xué)的指導(dǎo)逐步趨向于系統(tǒng)和嚴(yán)密的方向發(fā)展。柏拉圖 在雅典給他的學(xué)生講授幾何學(xué)，已經(jīng)運(yùn)用邏輯推理的方法對 幾何中的一些命題作了論證。亞里士多德被公認(rèn)是邏輯學(xué)的 創(chuàng)始人，他所提由的“三段論”的演繹推理的方法，對于幾 何學(xué)的發(fā)展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學(xué)中， 仍是運(yùn)用三段論的形式來進(jìn)行推理。但是，盡管那時候已經(jīng)有了十分豐富的幾何知識，這些知識 仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總結(jié)成一門 具有比較嚴(yán)密理論的學(xué)科的，是希臘杰生的數(shù)學(xué)家歐幾里 得。歐幾里得在公元前

4、 300年左右，曾經(jīng)到亞歷山大城教學(xué)，是 一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數(shù)學(xué)，深知柏 拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當(dāng)時所能知道的 一切幾何事實(shí)，按照柏拉圖和亞里士多德提由的關(guān)于邏輯推 理的方法，整理成一門有著嚴(yán)密系統(tǒng)的理論，寫成了數(shù)學(xué)史 上早期的巨著幾何原本。幾何原本的偉大歷史意義在于它是用公理法建立起演繹 的數(shù)學(xué)體系的最早典范。在這部著作里，全部幾何知識都是 從最初的幾個假設(shè)除法、運(yùn)用邏輯推理的方法展開和敘述 的。也就是說，從幾何原本發(fā)表開始，幾何才真正成為 了一個有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。歐幾里得的幾何原本歐幾里得的幾何原本共有十三卷，其中第一卷講三角形

5、全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角 形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角 形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切 多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第 九、第十卷講述比例和算術(shù)得里論；最后講述立體幾何的內(nèi) 容。從這些內(nèi)容可以看由，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主 要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在幾何原本里了。因此長期以來， 人們都認(rèn)為幾何原本是兩千多年來傳播幾何知識的標(biāo)準(zhǔn) 教科書。屬于幾何原本內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐 幾里得幾何學(xué)，或簡稱為歐式幾何。幾何原本最主要的特色是建立了比較嚴(yán)格的幾何體系， 在這個體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理

6、、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）。幾何原本第一卷列有 23個定義，5 條公理，5條公設(shè)。（其中最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最著名的長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。)這些定義、公理、公設(shè)就是幾何原本全書的基礎(chǔ)。全書 以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個部分的。比如后面由現(xiàn)的每一個定理都寫明什么是已知、什么是求 證。都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明。關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提由了分析法、綜合法和歸 謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這 時候成立的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從

7、以前證 明過的事實(shí)開始，逐步的導(dǎo)生要證明的事項(xiàng)；歸謬法是在保 留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面由發(fā)，由此導(dǎo)由 和已證明過的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而 證實(shí)原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。歐幾里得幾何原本的誕生在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中具有重 要意義。它標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個有著比較嚴(yán)密的理論系 統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。從歐幾里得發(fā)表 幾何原本到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多年， 盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，但是歐幾里得幾何學(xué)仍舊是中學(xué)生 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的好教材。由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴(yán)密的邏輯演繹方 法相結(jié)合的特點(diǎn)，在長期的實(shí)踐中表明，它巳成為培養(yǎng)、提高青、少年邏輯思維能力的好

8、教材。歷史上不知有多少科學(xué) 家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而作曲了偉大的貢獻(xiàn)。少年時代的牛頓在劍橋大學(xué)附近的夜店里買了一本幾何原 本，開始他認(rèn)為這本書的內(nèi)容沒有超生常識范圍，因而并 沒有認(rèn)真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標(biāo)幾何”很感興趣而 專心攻讀。后來，牛頓于 1664年4月在參加特列臺獎學(xué)金 考試的時候遭到落選，當(dāng)時的考官巴羅博士對他說：“因?yàn)?你的幾何基礎(chǔ)知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的?！边@ 席談話對牛頓的震動很大。于是，牛頓又重新把幾何原本 從頭到尾地反復(fù)進(jìn)行了深入鉆研，為以后的科學(xué)工作打下了 堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。近代物理學(xué)的科學(xué)巨星愛因斯坦也是精通幾何學(xué)，并且應(yīng)用 幾何學(xué)的思想方法，開創(chuàng)自己

9、研究工作的一位科學(xué)家。愛因 斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特別提到在十二歲的時候“幾何學(xué)的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容 的印象”。后來，幾何學(xué)的思想方法對他的研究工作確實(shí)有 很大的啟示。他多次提由在物理學(xué)研究工作中也應(yīng)當(dāng)在邏輯 上從少數(shù)幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中， 愛因斯坦就是運(yùn)用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公 理上：相對原理和光速不變原理。在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中，歐幾里得的幾何原本起了重大 的歷史作用。這種作用歸結(jié)到一點(diǎn)，就是提生了幾何學(xué)的第5頁“根據(jù)”和它的邏輯結(jié)構(gòu)的問題。在他寫的幾何原本中,就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學(xué)，這項(xiàng)工作， 前人未曾作到

10、。但是，在人類認(rèn)識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家， 都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得 在幾何原本中提由幾何學(xué)的“根據(jù)”問題并沒有得到徹 底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線 的定義實(shí)際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定 義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什么作用。又如，歐 幾里得在邏輯推理中使用了 “連續(xù)”的概念，但是在幾何 原本中從未提到過這個概念。現(xiàn)代幾何公理體系人們對幾何原本中在邏輯結(jié)果方面存在的一些漏洞、破 綻的發(fā)現(xiàn)，正是推動幾何學(xué)不斷向前發(fā)展的契機(jī)。最后德國 數(shù)學(xué)家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他1899年發(fā)表的幾何基礎(chǔ)一書中提由了一

11、個比較完善的幾何學(xué)的公 理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。希爾伯特不僅提生了一個完善的幾何體系，并且還提由了建 立一個公理系統(tǒng)的原則。就是在一個幾何公理系統(tǒng)中，采取 哪些公理，應(yīng)該包含多少條公理，應(yīng)當(dāng)考慮如下三個方面的 問題：第一，共存性（和諧性），就是在一個公理系統(tǒng)中，各條公理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。第二，獨(dú)立性，公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨(dú)立而互 不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸由來的。第三，完備性，公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證明 本學(xué)科的任何新命題。這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學(xué)中的基本對象和它的關(guān)系的 研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里 得在幾何原本提由的體系叫做古典公理法。公理化的方法給幾何學(xué)的研究帶來了一個新穎的觀點(diǎn)，在公 理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象 的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關(guān)系、性 質(zhì)。從公理法的角度看，我們可以任意地用點(diǎn)、線、面代表 具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結(jié)合關(guān) 系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿足公理系統(tǒng)中所 規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學(xué)。因此，