工程力學 第四章 軸向拉伸與壓縮

1、課 時 授 課 計 劃授課日期2011.10.22班 別1044-3題 目第四章 軸向拉伸與壓縮 目的要求Ø 會應用截面法求指定截面的軸力Ø 能較熟練的分析拉（壓）桿件的內(nèi)力，繪制相應的軸力圖。Ø 掌握拉（壓）變形的應力及強度的計算。重點截面法求軸力、繪制軸力圖、強度計算難點截面法、強度計算教 具課本教 學 方 法課堂教學報書設計第四章 軸向拉伸與壓縮第一節(jié) 軸向拉（壓）桿的內(nèi)力與軸力圖第二節(jié) 軸向拉（壓）桿橫截面上的正應力第三節(jié) 軸向拉（壓）桿的強度計算第四節(jié) 軸向拉（壓）桿的變形計算第五節(jié) 材料在拉伸和壓縮時的力學性能教學過程：復習： 1、復習平面一般力系的平

2、衡條件及平衡方程。 2、復習平面平行力系的平衡方程。新 課：第四章 軸向拉伸與壓縮第一節(jié) 軸向拉（壓）桿的內(nèi)力與軸力圖一、用截面法求軸向拉（壓）桿的內(nèi)力1、內(nèi)力外力：作用在桿件上的載荷和約束反力統(tǒng)稱為“外力”。內(nèi)力的概念：構(gòu)件的材料是有許多質(zhì)點組成的。構(gòu)件不受外力作用時，材料內(nèi)部質(zhì)點之間保持一定的相互作用力，使構(gòu)件具有固體形狀。當構(gòu)件受外力作用產(chǎn)生變形時，其內(nèi)部質(zhì)點之間相互位置改變，原有內(nèi)力也發(fā)生變化。這種由外力作用而引起的受力構(gòu)件內(nèi)部質(zhì)點之間相互作用力的改變量成為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。軸向拉伸的內(nèi)力計算實踐證明，對于特定的材料，內(nèi)力的增加有一定的限度，超過了這個限度，桿件就會被拉斷而破壞。2、

3、截面法1）截面法如左圖所示的構(gòu)件，在桿端沿桿的軸線作用著大小相等、方向相反的兩個力，桿件處于平衡狀態(tài)，求斷面上的內(nèi)力。（1）為顯示內(nèi)力，用一假想截面將構(gòu)件在斷面處切開，將構(gòu)件分為段和段。任意保留一段（如段）為研究對象，棄去另一段（如段）。（2）在保留段的截面上，各處作用著內(nèi)力，設這些內(nèi)力的合力為，它是棄去部分對保留部分的作用力。（3）由于整個桿件原來處于平衡狀態(tài)，所以截開后的任意一部分仍應保持平衡，故可對保留部分建立平衡方程。 ， 故 即是截面上的內(nèi)力。由作用和反作用公理可知，若保留段研究，也可得出同樣的結(jié)果。式稱為內(nèi)力方程，它反映了截面上的內(nèi)力與該截面一側(cè)外力間的關系。上述利用假想截面將桿件

4、切開，以顯示并計算內(nèi)力的方法，稱為截面法。在其他基本變形中，內(nèi)力也都用此方法求得。2）截面法求內(nèi)力的步驟可歸納為:（1）截開:在欲求內(nèi)力截面處,用一假想截面將構(gòu)件一分為二。（2） 代替:棄去任一部分,并將棄去部分對保留部分的作用以相應內(nèi)力代替(即顯示內(nèi)力)。然后畫出作用于留下部分的受力圖。（3）平衡:根據(jù)保留部分的平衡條件（N=F）,確定截面內(nèi)力的大小和方向。軸若取右側(cè)為研究對象，則在截開面上的軸力與部分左側(cè)上的軸力數(shù)值相等而指向相反。 注意：桿件受到的外力多于兩個的情況下，需要先根據(jù)外力的作用點將桿件進行分段后再計算軸力。3、軸力受軸向拉壓桿件，由于外力的作用與桿件的軸線重合，根據(jù)連續(xù)性假設

5、由此而產(chǎn)生的內(nèi)力也是連續(xù)分布在截面上的，分布內(nèi)力的合力的作用線也必然與桿的軸線重合，這種內(nèi)力也稱為軸力。常用字母N表示。通常規(guī)定拉伸時軸力取正號（即軸力的箭頭背離截面），壓縮時軸力取負號（即軸力的箭頭指向截面）。計算軸力時可設軸力為正，這樣求出的軸力正負號與變形保持一致。二、軸力圖檔桿件同時受到多個軸向外力作用時，桿件內(nèi)不同的橫截面處有不同的軸力。為了清楚地表明桿內(nèi)軸力隨截面位置的改變而變化的情況，引用軸力圖。軸力圖的繪制方法：用平行于桿軸線的坐標軸x表示桿件橫截面的位置，以垂直于桿軸線的坐標軸FN表示相應截面上的軸力的大小，正的軸力畫在x軸上方,負的軸力畫在x軸下方。這種表示軸力沿桿件軸線變

6、化的規(guī)律的圖形，稱為軸力圖 。在軸力圖上，除應標明軸力的大小、單位外，還應標明軸力的正負號。繪制軸力圖的注意事項：1）軸力圖的橫坐標要與桿件長度相對應；2）軸力圖的縱坐標大小要成比例；3）軸力圖的縱坐標要標明數(shù)值大小及正負；4）軸力圖是一條連續(xù)的圖線，不能間斷，在集中力作用處，軸力圖有突變，突變的大小等于集中力的大??；5）在軸力圖上要畫出陰影線。軸力圖的意義 直觀反映軸力與截面位置變化關系； 確定出最大軸力的數(shù)值及其所在位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。例題第二節(jié) 軸向拉（壓）桿橫截面上的正應力一、應力概念兩根材料相同而粗細不同的桿件，承受著相同的軸向拉力，兩桿的內(nèi)力大小是相同的。

7、但是隨著拉力的增加，細桿將首先被拉斷，這說明只知道內(nèi)力大小還不能判斷桿件是否會因強度不足而破壞，還必須知道內(nèi)力在橫截面上分布的密集程度（集度）。細桿被拉斷，是因為內(nèi)力在較小面積上分布密集度大。應力：內(nèi)力在單位面積上的分布集度。它反應了內(nèi)力在橫截面上分布的密集程度。通常應力與截面既不垂直也不相切，將它分解成垂直于截面的分量和相切于截面的分量，垂直于截面的應力分量稱為正應力或法向應力，用表示；相切于截面的應力分量稱為剪應力或切向應力，用表示。應力的單位是：Pa（帕斯卡）、kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）1Pa=1N/m2、1kPa=103Pa、1MPa=1N/mm2=106Pa、1G

8、Pa=109Pa工程上常用MPa作為應力的單位，1MPa=1N/mm2。二、軸向拉（壓）桿橫截面上的正應力 平面假設：桿件變形前橫截面為平面，變形后橫截面仍然保持為平面且垂直于桿軸線，只是沿桿軸線方向作了平行移動。軸向拉伸與壓縮時，橫截面上各處產(chǎn)生正應力，且均勻分布。設桿件橫截面面積為A，截面上的軸力為FN，則軸向拉伸與壓縮時等直桿橫截面上的正應力的計算公式：=FN/As 的符號與軸力FN 的符號相同：當軸力為正號時（拉伸），正應力也為正號，稱為拉應力； 當軸力為負號時（壓縮），正應力也為負號，稱為壓應力 。 =FN/A的適用條件：只適用于軸向拉伸與壓縮桿件。結(jié)論：軸向拉壓桿橫截面上的正應力除

9、與荷載有關外，還和橫截面的面積有關，而與桿件的材料無關。可以用應力作為判斷桿件強度高低的標準。第三節(jié) 軸向拉（壓）桿的強度計算一、許用應力與安全系數(shù)在工程實際中，若要使桿件能夠安全、正常地工作，桿件必須具有一定的強度，即桿件必須具有足夠的抵抗破壞的能力。當塑性材料達到屈服極限時，有較大的塑性變形；當脆性材料達到強度極限時，會引起斷裂。構(gòu)件工作時，這兩種情況是不允許發(fā)生的。我們把構(gòu)件發(fā)生顯著變形或斷裂時的最大應力，稱為極限應力，用so表示。對塑性材料以屈服極限為極限應力： 對脆性材料以強度極限為極限應力： 公式=FN/A為軸向拉壓桿在載荷作用下的實際應力，稱為工作應力。為了保證構(gòu)件安全、正常工作

10、，僅把工作應力限制在極限應力以內(nèi)是不夠的。因?qū)嶋H構(gòu)件的工作條件受許多外界因素及材料本身性質(zhì)的影響，故必須把工作應力限制在更小的范圍，以保證有必要的強度儲備。為保證桿件能夠安全正常工作，工程中規(guī)定了材料容許使用的最大正應力值，稱為許用應力，用s表示。式中：s材料的許用應力； so材料的極限應力： K安全系數(shù)，K>1。確定安全系數(shù)K時，主要考慮的因素有：材料質(zhì)量的均勻性，荷載估計的準確性，計算方法的正確性，構(gòu)件在結(jié)構(gòu)中的重要性及工作條件等。一般構(gòu)件在常溫、靜載條件下：塑性材料： Ks=1.52.5脆性材料： Kb=23.5許用應力s是強度計算中的重要指標，其值取決于極限應力so及安全系數(shù)K。

11、塑性材料：為材料的名義屈服極限。脆性材料：安全系數(shù)的選取和許用應力的確定，關系到構(gòu)件的安全與經(jīng)濟兩方面。二、軸向拉（壓）桿的正應力強度條件拉壓桿的強度條件：桿件的最大工作應力不能超過材料的許用應力。即式中：橫截面上的最大工作應力；產(chǎn)生最大工作應力界面的軸力，這個截面稱為危險截面；A危險截面的橫截面積；材料的許用應力。對于等直桿，軸力最大的截面為危險截面；對于變截面直桿，若軸力不變，橫截面積最小的截面為危險截面；若桿件為變截面桿，且軸力也是變化的，F(xiàn)N/Amax所在的截面為危險截面。三、強度條件的應用1、三類強度問題（1）強度校核若已知桿件所受載荷（可求出軸力FN）、截面尺寸（可求出面積A）及材

12、料的許用應力，用強度條件可判斷桿件是否滿足強度要求，及是否滿足的要求，若不滿足應重行進行截面設計。（2）設計截面尺寸若已知構(gòu)件所受荷載（FN）、材料的許用應力，確定橫截面積A，有強度條件得該式求出的是截面的最小面積。（3）確定許可載荷已知構(gòu)建的橫截面積（A）、材料的許用應力，則構(gòu)建所能承受的最大軸力為該式求出的FN的最小值。根據(jù)FN與外載荷P之間的關系就可以求出P。結(jié)合書P83-84 例3-5、例3-6對強度計算進行詳細講解。2、例題例1：一直徑d=14mm的圓桿，許用應力=170MPa，受軸向拉力P=2.5kN作用，試校核此桿是否滿足強度條件。滿足強度條件。例2： 剛性桿ACB有圓桿CD懸掛

13、在C點,B端作用集中力F=25kN,已知CD桿的直徑d=20mm,許用應力s=160MPa，試校核CD桿的強度,并求：（1）結(jié)構(gòu)的許可荷載F;（2）若F=50kN,設計CD桿的直徑.第四節(jié) 軸向拉（壓）桿的變形計算一、彈性變形和塑性變形彈性：當載荷不超過某一定范圍時，大多數(shù)材料在去除載荷后能即刻恢復它的原有形狀和尺寸。彈性變形：在去除載荷后能夠消失的變形。塑性：當載荷超過某一定范圍時，在去除載荷后，變形只能部分地恢復，而殘留下一部分變形不能消失。塑性變形：不能恢復而殘留下來的變形。二、胡克定律桿件受軸向力作用時，沿桿件軸線方向會伸長或縮短，同時桿件的橫向尺寸將縮小或增大。我們把桿件沿軸線方向伸

14、長或縮短稱為縱向變形；橫截面方向尺寸的改變量稱為橫向變形。FFFF1ll桿件在拉伸或壓縮時長度發(fā)生改變，其改變量稱為絕對變形，用表示。設桿件變形前的長度為，變形后的長度為，則其絕對變形 顯然，拉伸時絕對變形為正，壓縮時絕對變形為負。單位：m（米）或mm（毫米）。FPLALµD實驗證明，材料在彈性范圍內(nèi)發(fā)生變形時，與外力FP和桿長L成正比，與橫截面積成A反比。即引入比例系數(shù)E，且FP=N，EAL=DFNL則上式可寫作式中：E材料的拉(壓)彈性模量，它與材料的性質(zhì)有關，是衡量材料抵抗變形的一個指標，單位是Pa或GPa。該式所表達的關系稱作拉壓胡克定律。EA稱為抗拉（壓）剛度，它反映了桿件

15、抵抗拉（壓）變形的能力。對于長度相同、受力相同的桿件，EA越大，縱向變形就越??；EA越小，縱向變形就越大。絕對變形與桿件的長度有關，為去掉桿件原長對變形的影響，常用單位長度的變形量來表示桿件的變形程度，稱之為縱向線應變（或線應變），用表示 為無量綱的量，其正負號取決于絕對變形：拉伸時為正值；壓縮時為負值。上式是胡克定律的另一種表示方法，其意義為：在彈性范圍內(nèi)，正應力和正應變成正比。虎克定律的適用范圍：1)桿件的應力必須在彈性范圍內(nèi)；2）應用公式時，在桿長L內(nèi)，桿件軸力N、材料的彈性模量E及截面面積A都應是常數(shù)。第五節(jié) 材料在拉伸和壓縮時的力學性能力學性能：材料在外力作用下，在受力和變形方面所表

16、現(xiàn)出來的各種力學性能。不同的材料具有不同的力學性能。材料的力學性能可通過實驗得到。常溫靜載下的拉伸壓縮試驗常溫靜載實驗：通過材料在室溫、靜載的條件下進行的拉伸、壓縮試驗測定出來的。一、材料在拉伸時的力學性能標距：試件中間部分是一段等直桿用來測量變形，其間的長度成為標距。常用的標準試件有圓截面和矩形截面兩種。圓截面試件標距l(xiāng) 和截面直徑d的比例關系有兩種：l = 10d或l =5d 。矩形截面試件標距l(xiāng) 和截面面積A的比例關系有兩種：1、低碳鋼的拉伸試驗1）拉伸圖和應力應變圖表示F和D l關系的曲線，稱為拉伸圖。拉伸圖與試樣的尺寸有關。為了消除試樣尺寸的影響，把拉力F除以試樣的原始面積A，得正應

17、力；同時把D l 除以標距的原始長度l ，得到應變。表示應力和應變關系的曲線，稱為應力-應變圖。2）拉伸過程的四個階段（1）彈性階段（oab）這一階段可分為：斜直線Oa和微彎曲線ab，該段范圍內(nèi)，試件變形是彈性的，卸載后變形可完全恢復。Oa段：變形是線彈性的，應力與應變成正比。直線oa為線彈性區(qū)，其應力與應變之比稱材料的彈性模量（楊氏模量）E，幾何意義為應力-應變曲線上直線段的斜率，即E=/=tg，它是反映材料彈性性能的指標，單位為MPa、GPa。oa段地最高點a點所對應的應力p稱為比例極限，它是材料滿足虎克定律的最大應力。：在比例極限內(nèi)，正應力與正應變成正比關系。B點所對的應力e是材料發(fā)生彈

18、性變形的最高應力，稱為彈性極限。（2）屈服階段（bc）當應力超過b點后，試樣的荷載基本不變而變形卻急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服。 屈服：應力基本不變，而應變顯著增加的現(xiàn)象。在此階段，材料暫時失去抵抗變形的能力。：屈服段內(nèi)最低的應力值。表面磨光的試件（低碳鋼），屈服時可在試件表面看見與軸線大致成45°傾角的條紋。這是由于材料內(nèi)部晶格之間相對滑移而形成的，稱為滑移線。因為在45°的斜截面上剪應力最大。（3）強化階段（ce）過屈服階段后，材料又恢復了抵抗變形的能力， 要使它繼續(xù)變形必須增加拉力.這種現(xiàn)象稱為材料的強化。強化階段的變形絕大部分是塑性變形。強化階段的最高點e所對應的應力

19、是材料能承受的最高應力b，稱為強度極限（拉伸過程中最高的應力值）。它是衡量材料強度的另一重要指標。（4）頸縮斷裂階段（ef）過e點后，試樣在某一段內(nèi)的橫截面面積顯箸地收縮，出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象，一直到試樣被拉斷。在此階段內(nèi)試件的某一橫截面發(fā)生明顯的變形，至到試件斷裂。比例極限p、屈服極限s、強度極限b，其中s和b是衡量材料強度的重要指標。3）延伸率和截面收縮率（1）伸長率d試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長度由 l 變?yōu)?l1，這個變化率稱為延伸率，用d表示。d>5%的材料為塑性材料如低碳鋼，它的延伸率高達20%30%是很好的塑性材料；d< 5%的材料為脆性材料，如鑄鐵、玻璃

20、、混凝土等。（2）截面收縮率y試件拉斷處橫截面積由原來的A變?yōu)锳1，這個變化率稱為截面收縮率，用y表示。低碳鋼的截面收縮率一般為60%70%。4）冷作硬化冷作硬化：常溫下把材料予拉到塑性變形階段，然后卸載，再次加載時，材料的線彈性范圍將增大，使材料屈服極限提高，而塑性降低。工程上常利用冷作硬化來提高材料屈服極限，從而提高承載能力，如冷拉鋼筋、冷拔絲剛等。2、其他材料拉伸時的力學性能（1）其他塑性材料拉伸時的力學性能所有材料的拉伸變形都分為四個階段。各類碳素鋼中，隨著含碳量的增加，屈服極限和強度極限逐漸上升，伸長率逐漸下降。工程上以這些材料產(chǎn)生=0.2%的塑性變形時所對應的應力作為屈服極限，稱為

21、名義屈服極限。對于沒有明顯屈服階段的材料用名義屈服應力表示0.2。（2）鑄鐵拉伸時的力學性能圖中沒有明顯的直線部分，且拉力很小時鑄鐵就被拉斷。斷裂時的應力就是強度極限b，b是衡量脆性材料強度的唯一指標。通常把產(chǎn)生0.1%的應變所對應的應力范圍作為彈性范圍，并認為材料在這個范圍內(nèi)近似的服從虎克定律。它的彈性模量使用割線代替應力應變曲線，以割線的斜率tg為的近似值，稱為割線彈性模量。鑄鐵的彈性模量E約為115160GPa。二、材料在壓縮時的力學性能1、低碳鋼的壓縮試驗壓縮的實驗結(jié)果表明：低碳鋼壓縮時的彈性模量E屈服極限ss都與拉伸時大致相同。屈服階段后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大，抗壓面積增大，抗壓能力曾強，試樣不可能被壓斷，因此得不到壓縮時的強度極限。2、鑄鐵的壓縮試驗鑄鐵壓縮時破壞端面與橫截面大致成45° 55°傾角，表明這類試樣主要因剪切而破